APPLICATIONS DE LA FORMULE DU BINOME

Somme des puissances semblables des termes d'une progression % arithmétique.

2,75. La formule générale à laquelle nous allons parvenir permet de trouver d'une autre manière les sommes des puissances semblables des rti premiers nombres (274).

Soient a, b, c, d, . .,, h, k, l les m -\-\ premiers termes d'une progression par différence, de raison /•. Nous aurons {Alg. élém., 322)

Élevons à la puissance n -h i toutes ces égalités. Nous aurons, d'après la formule du binôme (235),

/i -f- I ( /i -f- 0 /? „ , « + I /.«+' = a"-^* M -^ra" + -^ r- «"-' + . . .H r'' a + /«+',

/î H- I , (n + i)n^,, n -\- \ c"+' = ^"+1 -{ rb" + ^ '— /■- b"-^ -h ... H /•" b + /•"+',

Représentons par S,, S,, . . ., S«-i, S„ les sommes des premières, deuxièmes, ..., {n — j)^'-'"'-^^ ,^iMi,es puissances des m premiers termes a, b, c, d, . . ., h, k de la progression considérée.

En ajoutant alors toutes les égalités précédentes membre à membre et en supprimant les termes communs, nous aurons

ALGÈBRE SUPÉRIKURE. 233

évidemment

;«+, ^«.^1 ^ 'J LJ. ,.S„+ in + ^)n ^.,g^^ ^ ^ ^

n-hi

Cette formule générale permet d'exprimer l'une quelconque des sommes S,, Sj, •••, S„,, S„ en fonction de toutes les autres et des quantités données, et, par conséquent, d'obtenir ces sommes successivement de proche en proche dès qu'on en connaît une.

Il n'est pas inutile de se rappeler (2o6) que le nombre des termes du second membre est /i + 2.

276. Supposons mainlenanl qu'on prenne pour progression arithmétique la suite

des m -+- 1 premiers nombres entiers.

(3n aura alors

et les sommes S,, S,, . . ., S„|, S„ se rapporteront ai/.r m premiers nombres entiers. La formule générale (i) deviendra d'ailleurs

Nous allons l'appliquer à la recherche des sommes S,, Sj, S3, Sj, en remarquant qu'on a {Alg. élém., 4.2)

So= i" 4- 2» + 3» + . . . + /«"= m.

277. Pour calculer S, ou la somme des m premiers nombres, nous ferons n ■= i dans la formule (2), dont le second membre contiendra alors (275) n -\- 2 ou 3 termes. 11 viendra donc

( /?t + I )- =n I + 2 S, -f- Sq.

Il en résulte, en remplaçant Sq par m,

(m H- i)- — (m -h i) m(m-hi)

comme nous venons de le retrouver C^lk).

278. Pour calculer Sa ou la somme des carrés des m premiers nombres, nous ferons n ^ 2 dans la formule (2), dont le second mem])re contiendra 4 termes. Il viendra donc

(m + i)*=i + 38,+ 3SiH- Sq.

Il en résulte, en substituant à So et à S, leurs valeurs,

3S, = (m4-i)^ — (m + i) — 3 ^!(Z!iltii , et l'on en déduit facilement, comme précédemment (274),

279. Pour calculer S3 ou la somme des cubes des m premiers nombres, nous ferons « = 3 dans la formule (2) dont le second membre contiendra 5 termes. Nous aurons donc

Il en résulte, en substituant à So, S,, S2 leurs valeurs,

et l'on en déduit facilement, comme précédemment (274),

m^{m -hi)- r m{m + i)

280. Pour calculer enfin S4 ou la somme des quatrièmes puissances des m premieis nombres, nous ferons « =: 4 dans la formule (2), dont le second membre contiendra six termes. Il viendra donc

Il en résulte, en remplaçant So, Sj, Sa, S3 par leurs valeurs,

5S4^(m -hi)' — (m H-i) — o — ^^

m{in -f- ) ) ( 2 /?i 4- I ) m- ( /?? 4- i ) -

Ou en déduit facilement

3o S;:= m(m + i)(6m^H- gm^ 4- m — i). Le dernier facteur du second membre s'annulant pour

m =: ) il est exactement divisible par m-\ — (13), et l'on

obtient le quotient 6m--i-6/n — 2. Ce dernier facteur peut

donc être remplacé par le produit

On a, par conséquent,

Sommation des piles de boulets.

281. Aujourd'hui, on emploie deux espèces de projectiles : les projectiles cylindroconiques, destinés aux pièces rayées, et les projectiles sphériques, destinés aux pièces à âme lisse.

Les premiers se rangentd'une seule manière dans les arsenaux; pour les seconds, on peut adopter plusieurs dispositions.

Nous nous proposons de trouver des formules simples permettant de calculer rapidement le nombre de projectiles de même calibre contenus dans une pile déterminée.

282. I. Piles de projectiles cylindroconiques. — Pour construire cette pile, on forme une première file de m projectiles reposant sur le sol et se touchant tout le long d'une génératrice cylindrique. Au-dessus, on établit une file de m — i projectiles, posés de façon que chacun d'eux soit appuyé sur deux projectiles du premier rang dont il remplit l'intervalle. De même, la deuxième file reçoit et supporte une troisième

fiie ûe m — 2 projectiles. Et, ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ne puisse plus placer qu'un projectile sur les deux précédents.

Il est évident que la tranche verticale ainsi obtenue représente un triangle équilatéral dont le côté renferme m projectiles; car, pour arriver à un seul boulet, il faut de m retrancher m — I, ou placer m — i files au-dessus de la première.

A la suite de la tranche triangulaire et verticale ainsi construite, on en place parallèlement plusieurs autres. Toutes ces tranches sont en contact et présentent ainsi plus de stabilité. On voit que la pile complète offre l'aspect d'un prisme triangulaire droit couché sur l'une de ses face? latérales.

Comptons d'abord le nombre de projectiles d'une tranche. Il est évidemment égal à

ïn-{- {m — I ) -1- ( m — 2 ) -I- . . . -1- 2 4- i .

C'est la somme des m premiers nombres naturels ou le /?i'*'™« nombre figuré du deuxième ordre (272, 2Ti, i")

Ce rapprochement explique pourquoi les nombres figurés du deuxième ordre ont reçu le nom de nombres triangulaires (271).

Si la pile contient p tranches, il suffit de répéter/? fois le résultat précédent, et l'on a simplement, pour le nombre total de projectiles cylindroconiques qu'elle renferme,

Pour se servir de cette formule, il suffit de compter sur le sol le nombre des projectiles, tant dans le sens de leur largeur, c'est m, que dans le sens de leur longueur, c'est/?.