II. Piles de projectiles sphékiques
1° Piles triangulaires. — Prenons d'abord une pile triangulaire. Cette pile est formée de tranches horizontales représentant des triangles équilatéraux, comme les tranches verticales que nous venons de considérer (282). La tranche qui repose sur le sol a un côté renfermant m boulets; la suivante, un côté renfermant m — i boulets; et ainsi de suite, jusqu'à ce
ALGÈBRE SUPÉniEURE. zSj
qu'on parvienne à un seul boulet. Chaque boulet, à partir de la deuxième tranche, repose ainsi sur trois boulets, et la pile complète offre l'aspect d'une pyramide triangulaire ou, plus exactement, d'un tétraèdre régulier; car toutes les arêtes latérales sont égales comme contenant m boulets.
Il résulte de ce qui précède (282) que le nombre total de boulets renfermés dans la pile, somme des nombres de boulets des différentes tranches, est la somme des m premiers nombres figurés du deuxième ordre ou le /«'«"'« nombre figuré du troisième ordre (272, 274, 2"), c'est-à-dire
m{rn -\-ï) {m -{- 2)
Ce rapprochement explique pourquoi les nombres figurés du troisième ordre sont appelés aussi nombres pyramidaux (271).
2" Piles à base carrée ou piles quadr angulaires. — Une pareille pile est formée de tranches carrées dont les côtés contiennent successivement un boulet de moins, jusqu'à ce qu'on arrive à un seul boulet. Ici, chaque boulet repose sur quatre boulets, et la pile complète a l'aspect d'une pyramide quadrangulaire à base carrée.
Si m est le nombre de boulets contenu dans le côté de la première tranche reposant sur le sol, cette tranche renferme m- boulets. La tranche suivante, dont le côté contient m — i boulets, en renferme (m — i)-; et ainsi de suite. On a donc à calculer la somme des carrés des m premiers nombres
et le résultat cherché est (274, 2», 278)
3° Piles rectangulaires. — Ce sont les plus usitées. On les construit en formant sui" le sol un rectangle dont les deux côtés renferment respectivement n et m boulets {n<.m) : on a ainsi n jlies de m boulets en contact. Posons
La première tranche horizontale est, comme on vient de le dire, un rectangle comprenant n files de m boulets. La
deuxième tranche horizontale, dont chaque boulet repose sur quatre boulets de la première tranche, est un rectangle qui comprend évidemment n — i files de m — i boulets; la troisième tranche est un rectangle qui comprend n — 2 files de m — 2 boulets; et ainsi de suite. La /i'«™* tranche, qui est la dernière, comprend n — {n — i) ou \ file de m — {n — i) ou de m — n-\-i boulets, c'est-à-dire de p -\-\ boulets.
Ainsi, la pile rectangulaire a l'aspect d'un prisme triangulaire reposant sur une de ses faces latérales et tronqué régulièrement à ses deux extrémités {Géom., 50i) ou, si l'on aime mieux, d'un comble à quatre pentes. En partant de sa partie supérieure, on peut dire qu'elle est composée de i (île de p-hi boulets, reposant sur 2 files de p -\- 2 boulets, reposant sur 3 files de /> + 3 boulets, ..., reposant sur n files de p -h n boulets.
Le nombre total des boulets renfermés dans la pile, ou le nombre à calculer, est donc égal à
p + i-l-2(yO + 2)-i-3(/>4-3)-)-...4-n(/3-|-n);
cette somme revient à
et, par suite (277, 278), à
En effectuant et en simplifiant, la formule cherchée est donc finalement
/i ( /i + I ) ( 3 /p + 2 /i H- I ) n{n -\- i) {d>in — n + i)
Si l'on fait n^:^m, on retombe sur la formule applicable aux piles à base carrée (2°).
Les deux expressions dont nous avons dû faire la somme pour arriver au résultat définitif montrent que la pile rectangulaire peut être considérée comme l'ensemble d'une pile à base carrée (2°) dont le côté renfermerait n boulets et d'un prisme triangulaire analogue à celui des piles cylindroconiques (282), sauf l'obliquité; ce qui est évident au point de vue géométrique.
284. Les piles que nous avons considérées successivement peuvent être tronquées. On les calcule alors en les regardant comme la différence de deux piles complètes, faciles à restituer.
Prenons, par exemple, pour fixer les idées, le cas d'une pile rectangulaire tronquée ayant à la base m et n boulets et, à la tranche supérieure, m'+ i et /«'h- i boulets. Il lui manque évidemment, pour être complète, tous les boulets renfermés dans la pile rectangulaire complète qui aurait à sa base m' et n' boulets. Le nombre de boulets de la pile tronquée sera donc
285. Remarque générale. — Nous terminerons, en observant que les calculs précédents dépendent d'une seule formule qu'on peut trouver directement, sans s'appuyer sur le triangle arithmétique ou la sommation générale des puissances semblables des termes d'un progression arithmétique.
Toutes les relations démontrées aux n°* 282 et 283 n'exigent, en effet, que la connaissance de la somme des m premiers nombres naturels et celle de la somme de leurs carrés qu'on appelle aussi nombres carrés. C'est ce qui a été mis en lumière pour les piles cylindroconiciues, les piles à base carrée et les piles rectangulaires. Nous allons le prouver pour les piles triangulaires (283, i").
Les tranches d'une pareille pile, à partir de celle qui repose sur le sol, contiennent successivement (282), en changeant m en w« — \ , ni — 2, . . . ,
boulets ou ~ m- -\ — m, 2 2
» » -(m — iY -\ — ini — i),
2 ){in-
2/\0 ALGÈBRE SUPÉRl'^.L Rr.
Par suite, le nombre total de boul»^ ts est éunl è
la notation employée signifiant que les deux sommes doivent être appliquées aux valeurs entières de m, comprises entre I et m.
La sommation des piles de projectiles exige donc simplement que l'on connaisse, en dehors de la somme des m premiers nombres, la somme de leurs carrés, et on l'obtient immédiatement par le calcul suivant, qui n'est, d'ailleurs, qu'un cas particulier de la sommation générale des puissances semblables des termes d'une progression arithmétique.
Posons
2'={j-hiy =1^4-3.12+3.1+1,
m^= (/?z — i + i)3= (m— 1)'+ 3 (m — 1)^+3 (m— i) 4- i, [m -\- i)^=^ {m -\- ly ^ m^+ 3/n2+ 3/« + I .
Si nous ajoutons toutes ces égalités membre à membre, en simplifiant et en représentant par So, Si, Sa les sommes dos puissances zéro, des premières puissances et des carrés des m premiers nombres, il vient évidemment
(/?i + i)5=i + 3S24- 3Si+ So;
c'est la formule obtenue au n" 278, et nous en déduirons de
même
On en conclura, pour le nombre total des boulets contenus dans la pile triangulaire,
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 24 I
c'esl-à-dire
comme précédemment (283, 1°).
De la probabilité mathématique dans les épreuves répétées
286. On entend par épreuves répétées celles qu'on renouvelle successivement dans des circonstances identiques : ce sera, par exemple, la recherche des jets successifs dun même point avec un dé à jouer, ou bien la recherche des tirages des mêmes cartes prises dans un jeu déterminé et remises chaque fois pour ne pas altérer les conditions du tirage.
Quand il s'agit d'épreuves répétées, la solution dépend du principe des probabilités composées (249, 1°, 2S1) et devient une application de la formule du binôme.
287. Pour aider à comprendre ce qui va suivre, prenons d'abord un cas particulier.
Soit l'événement simple A dont la probabilité est p, et l'événement contraire B dont la probabilité est q. Si l'on répète deux fois ré|)reuvc d'amener A ou B, on forme un événement composé, possible de quatre manières différentes, figurées, si l'on veut, par les notations AA, AB, BA. BB.
La probabilité simple d'amener A une fois étant p, celle de l'amener deux (ois de suite ou de produire l'événement composé AA sera p x p ou /;2 (2iQ, I»).
La probabilité d'amener l'événement composé AB sera, de même, pq^ et celle d'amener l'événement composé BA sera qp.
Enfin la [)robabilitc d'amener l'événement composé BB sera q^.
Si l'on con\ icnt de ne pas tenir compte de l'ordre de succession des événements sim])les formant l'événement composé, l'événement AB sera identique à l'événement BA, et, par suite, la probabilité d'amener cet événement AB sera (2yJ ) PQ -^ qp = 2/?<jr.
En résumé, les probabilités des événements composés AA, AB, BB, son! exprimées par
/'^ 2/97, ryî,
c" est-à-dire par les termes du déveluppement ( p -+- q)^.
Si les épreuves sont répétées trois fois, on forme un événement composé, possible de huit manières ditîérentes, figurées par les notations
AAA, AAB, ABB, BBB.
