Chercher les racines imaginaires de l'équation

428. Soient l'équation x^-^ ^px-— 3qx -^ r =: o et la quantité A =^p''—q.

Démontrer que, si les trois racines de l'équation sont réelles, elles sont respectivement séparées par les quantités

— p — 2A, —p — X, —p — A, —p-^iX.

Lorsque l'équation proposée n'a qu'une seule racine réelle, cette racine est extérieure à l'intervalle

429. Déterminer les fonctions de Sturm pour l'équation complète du troisième degré.

Rép. X = Ao-c3 H- kix- -^ k-ix -~- A3, Xi = 3Ao-2^--T- aAi^r -;- A2, X2=2(Af — 3AoA2).r-T-rA,A2 — 9A0A3), Xa = - 4 Ao A? A3 -^ 1 8 kl Al A2 A3 - 27 Aâ Al -I- Ao Af AI - 4 Ag Ai .

430. Toute équation algébrique à coefficients entiers, réels ou imaginaires, dont le coefficient du premier terme est égal à l'unité, ne peut avoir de racines imaginaires fractionnaires. (Waxtzel.)

431. Déterminer un nombre de trois chiffres, sachant que le produit des trois chiffres est 54, que le chiffre du milieu est le sixième de la somme des deux autres et que, en soustrayant 094 du nombre cherché, on obtient un nombre formé des mômes chiffres pris en ordre inverse.

Rép. 928.

432. Trouver la base du système de numération dans lequel le nombre décimal 538 est exprimé par 4123.

Rép. 5.

433. D'une manière générale, A étant un nombre décimal exprimé,

SUR L ALGEBRE SUPERIEURE.

dans le système dont la base inconnue est .r, par les n chiffres a, h. c. . . . . i<, on a l'équation

«ji-«-'— hx'^--— c.r«-3__ L. „ X,

qui n'admet qu'une racine positive, laquelle doit être entière et supérieure aux chiffres o, h. c, .... u.

43i. Résoudre l'équation

(Sï

[L'une des racines est égale à 2.]

43b. Partager un triangle par une droite parallèle à sa base, de manière que, si le triangle tourne autour de cette base, le volume engendré par le trapèze ainsi déterminé soit la moitié du volume total engendré par le triangle tournant.

[Il faut que la parallèle à la base passe par le milieu de la hauteur du triangle.]

436. a étant un entier, appliquer la méthode de recherche des racines commensurables à l'équation

x^ — (la ~\) x^ — a{a — 1) X — a {a -^ ^ ) = o.

[L'une des racines est o-^ i.]

437. a et 6 étant des entiers, appliquer la méthode de recherche des racines commensurables à l'équation

x^— 3 ax^ — ( b'^-r- b'*^ b- — 3 a-)x — b^-^ ab'*— b'*^- ab^-r- ab- — à^) = o.

[Les trois racines sont — fa -i- i), — (a-\-b-), b{b — i)— a.]

438. Trouver les valeurs entières de x et der qui satisfont aux deux

équations

Rép. .r = 5, j — j.