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l'équation proposée admet au moins deux racines imaginaires.

( OSSIAX-BONXET.)

410. Si les coefficients de trois termes consécutifs d'une équation algébrique, /(^) = o, sont en progression par quotient, cette équation admet au moins deux racines imaginaires.

^ ' '*- QUESTIONS PROPOSÉES

411. Si les coefficients de quatre termes consécutifs d'une équation algébrique, /(.r i = o. sont en progression par différence, celle équation admet des racines imaginaires.

(Hermite. Grand Concours de i84a.)

412. Lorsque, dans une équation algébrique, les coefficients de quatre termes consécutifs sont en proportion, les antécédents des deux rapports égaux ayant le même signe, l'équation proposée a des racines imaginaires. , Pvll Serret.)

413. Démontrer, comme application du Hiéorème de Rolle, que, si l'on donne

l'équation fn(x) — o, formée par la «"»* dérivée de la fonction égalée à zéro, a ses n racines réelles et inégales, et comprises entre — t et — f.

414. Démontrer la même proposition comme application du théorème de Slurm.

4lo. La moyenne arithmétique de deux nombres réels et inégaux surpasse leur moyenne géométrique: c'est l'inverse. lorsqu'il s'agit de deux imaginaires conjuguées.

Trouver, en s'appuyant sur cette propriété connue, les conditions de réalité des racines de l'équation du troisième degré

.r^ — px — r/ = o.

[On devra supposer q négatif, ce qui est permis.]

416. Trouver, dans cette hypothèse, les mêmes conditions de réalité, en ramenant l'équation

X^ — px -r- (j — o

au second degré.

417. Chercher, en appliquant les tliéorèmes généraux, la relation qui doit avoir lieu entre les coefficients de l'équation

x'x^ — px — q = o,

pour qu'elle admette le plus grand nombre possible de racines réelles.

418. Déterminer la nature des racines d'une équation trinôme quelconque et, en particulier, le nombre des racines positives de l'équation

X"' — px'>~ 7 = o,

SUR L ALGEBRE SUPÉKIEURE. 8l3

OÙ les signes sont explicites, mais oi!i les exposants peuvent être pairs ou impairs.

419. Démontrer que, si l'équation algébrique /(j;)= o a toutes se» racines réelles, il en est de même de l'équation

420. L'équation du «'™'^ degré, formée en égalant à zéro la jî"'"^' dérivée de

a toutes ses racines réelles et comprises entre o et i. A'ù.ï. Résoudre léquation

422. Les quantités Ai, A2, . . . , r/-,. «,. et B étant des quantités

réelles, l'équation

X — Ui X — «2 -V ^'m

a toutes ses racines réelles.

423. En appliquant la transformation s ^- -- = .r aux deux équations

ZÎn ! 227i-l | 32/i-2 . . 32 i 3 | I = o,

démontrer, comme application du théorème de Sturm, que les équations en X qu'on en déduit ont toutes leurs racines réelles.

i'il. Démontrer que les deux équations

5797 .x* — 4931-^^ -1- Ô892^--T- 2876X — 694'. = o, o447^'*-^i456ox5—2243oa:i—25857.r3— 29193 .r2-- II 596X— 5602 = 0

ont toutes leurs racines imaginaires.

[Mémoire de Le Verrier sur la planète Uranus. — Connaissance des Temps, 1849.]

423. Trouver les limites entre lesquelles doit varier le coefficient a, pour que l'équation

ait ses quatre racines réelles.

[École Polytechnique, 1876, Composition d'admissibilité.]

8l4 QUESÏIOKS PROPOSÉES

i'2C}. L'équation algébrique du n'""" degré

(x — «i)(.r — a3)(x — «s) . . . (.r — a-in-i)

où /* est positif, où m est un entier positif et où les différences «i — n. «2 — «3, «3— 04, • • • j «2«-i — «2/1, sont positives, a toutes ses racineréelles et respectivement comprises entre les nombres «1 et a2. «3 et a,. «5 et rt'G, . . .,«2/1-1 et «o/j.