Résoudre l'équation

(4 — 3a:-)siii./- — 4'' COS.i- = o.

[Cette équation, qu'on rencontre dans la théorie des vibrations des corps élastiques, a une infinité de racines réelles, qui sont deux à deuxégales et de signes contraires. Les racines positives sont terminées dans les quadrants de rang pair. La plus petite racine positive est ./- = o. Poisson (Mémoires de l'Académie des Sciences, t. VIIH trouve, pour la

seconde racine positive comprise entre — et -, la valeur 2,563'34 et.

3r [)0ur la troisième racine positive com[)rise entre — ■ et 2-, la valeur

.■jUU. Résoudre l'équation

( e-^ -^- c— «■ ) cos .i' — 2 = o .

[Cette équation, qu'on rencontre dans la même théorie, a ses racines deux à deux égales et de signes contraires et. à chaque racine réelle a, correspond une racine imaginaire ni. La plus petite racine positive est

x = o. La seconde racine [)ositive est comprise entre — -" et 1-. Poisson

(loc. cit.) indique pour cette racine la valeur 4,73ooo3.]

oOl. Trouver le nombre des racines réelles qu'admet l'équation

./ = A sin.r — B,

pour chaque système de valeurs des coefficients A et R. et effectuer la séparation de ces racines.

Appliquer les résultats obtenus à l'équation

■V =-- 3 142 sin./- — I J7.

Jiép. L'équation ci-dessus admet 1999 racines réelles.

(Ecole Polytechnique, concours de 1857.1

I Voir J.-A. Serrkt : Note sur l'équation dont dépend l'anomalie excen-

' ^'^ OUESTIONS PUOPOSÉKS

iriquc Cl sur les séries qui se présentc.U dans la ihéoric du mouvement elliptique des corps célestes {Annales de V observatoire de Paris, t. V).]

502. Trouver les racines réelles de l'équation n^ -4- h^ =z r^.

où a. h. c sont des nombres positifs.

o03. Trouver les racines réelles et imaginaires de l'équation

e2^ j ga: ,

oOi. Dans un cercle de rayon ;•, on donne la corde ia et l'aire S d'un segment circulaire moindre qu'un demi-cercle. On demande de calculer le plus petit arc ix qui répond à la corde in.

Appliquer le résultat obtenu au cas où le segment considéré est suppose équivalent au carré construit sur sa demi-corde.

Rép. i.v^ i38°ii'53"(à i" près).

50:J. a- est un nombre donné; a est un angle également donné, compris entre o° et i8o- A, <., q sont des inconnues auxiliaires liées entre elles par les relations

G siUji,'^ — — sina, G cos o- = k sin a - cos x, Gsin^a

Cela posé, 0,1 demande de déterminer toutes les racines réelles de I équation

//sin^r = sin(.r — x).

On donnera à G le signe de /.-.

( Concours i^c/ie'ral, 1 858 . )

[L'équation dont il s'agit se rencontre en Astronomie, lorsqu'on veut trouver 1 orbite d'une planète à l'aide de trois observations seulement ( Gauss, Theoria motus corporum cœlestium ..., 1 809 ) . ]

Rép. n étant un nombre entier quelconque, positif, négatif ou nul, on a, pour les racines réelles de l'équation proposée, les quatre lormules suivantes :

M" 3 5' j"-f- //.SGo",

suii l'algèbre supérieure. S'HJ

506. Partager un demi-cercle en deux parties équivalentes, par une corde menée de l'extrémité du diamètre qui lui sert de base.