ORIGINE DES QUANTITÉS LMAGINAIRES

Du véritable rôle de l'Algèbre.

799. Il ne sera pas inutile de revenir ici, très succinctement, sur des notions déjà établies (t. I, Alg. élém.), afin de définir plus complètement le rôle de l'Algèbre.

Comme nous l'avons dit, ily a trois cboses à distinguer dans la résolution d'un problème d'Algèbre : sa mise en équations, la résolution des équations ainsi obtenues, la discussion des valeurs qu'elles fournissent pour les inconnues.

La mise en équations n'est que la traduction algébrique des relations établies par l'énoncé entre les données et les inconnues du problème. D'autre part, la résolution des équations est soumise à des règles fixes. Par conséquent, si aucune erreur ne s'est glissée dans la mise en équations et dans la

4 ALGI;BRE StPElilEURE.

ri'solulion qui raccompagne, les valeurs trouvées pour les inconnues, quelle que soit leur forme, doivent nécessairement satisfaire aux équations du problème ou les transformer en identités; et c'est ce qui a toujours lieu.

Mais l'Algèbre, en raison des symboles généraux, qu'elle \ emploie, conduit, pour les valeurs des inconnues, à des formules qui correspondent à tous les cas, possibles ou impossibles actuellement, du problème qu'on étudie. Il faut donc discuter ces formules, c'est-à-dire en déduire les conditions de possibilité du problème tel qu'il a été posé, cherclier entre quelles limiles les données doivent se mouvoir pour que ces conditions soient remplies, et interpréter les résultats auxquels on parvient lorsque les données franchissent ces limiles.

C'est ainsi que l'Algèbre, après avoir indiqué dans ses formules toutes les opérations nécessaires à la détermination des inconnues, sans se préoccuper de savoir d'avance si ces opérations pourront ou non s'effectuer directement dans certains cas, nous laisse le soin de rechercher ce que les diverses formes de résultats peuvent signifier, suivant la nature du problème à résoudre.

800. L'entière généralité des formules algébriques n'est apparue aux géomètres que très lentement. Pendant longtemps, les racines négatives des équations, par exemple, ont été regardées comme des solutions fausses.

On sait aujourd'hui, et nous sommes entré précédemment dans de longs détails à ce sujet {Alg. élém., 199 à 203), que, toutes les fois qu'une grandeur, représentée dans ses états successifs pai- des longueurs prises à une échelle déterminée, est susceptible d'être comptée, sur une même ligne et à partir d'une certaine origine fixe, dans deux sens nettement différents, le changement de sens est lié algébriquement au changement de signe: de sorte que, si l'on regarde comme positives, dans la mise en équations, les valeurs de cette grandeur (|ui sont comptées, à partir de l'origine, dans un certain sens d'ailleurs arbitraire, les résultats négatifs indiquent ensuite simplement des valeurs de la même grandeur comiUées en sens contraire à partir de la même origine.

On voit par laque les quantités négatives peuvent être tout aussi admissibles, tout aussi palpables, tout aussi réelles que les quantités positives. El c'est pourquoi l'on a admis d'abord

ALGEBRE SUPERIEU HE. O

que ces deux, espèces de quautilés constituent, dans leur ensemble, les quantités dites réelles.

801. On comprend facilement quelle extension peut prendre dans les applications le principe fondamental que nous venons de rappeler. >îous n'insisterons pas sur ce point, et nous renverrons à l'Algèbre élémentaire et à la Géométrie analytique.

Nous rappellerons seulement qu'une solution négative peut n'être pas acceptable et indiquer une impossibilité complète de satisfaire à la question, lorsqu'il s'agit de grandeurs non susceptibles d'être directement opposées ou pour lesquelles un changement de sens ne modifie en rien les conditions inti'insèques du problème {Alg. élém., âOi).

Il peut en être de même, d'ailleurs, d'une solution positive, lorsque certaines conditions de l'énoncé n'ont pu être exprimées dans la mise en équations {Alg. élém., 198).

802. Finalement, il importe lie comprendie c[ue l'Algèbre ne crée ou ne détruit rien. Elle ne fait que traduire exactement l'énoncé de la question qu'on lui soumet, sans modifier les rapports qui en résultent; et elle se borne à mettre sous nos yeux, à l'aide de ses symboles et des signes adoptés, le Tableau des opérations qui permettent de déduire les inconnues des données.

Si, par suite des valeurs attribuées aux données, ces opérations présentent quelques particularités inattendues ou quelques impossibilités, l'Algèbre nous avertit ainsi, par un don merveilleux, de l'état critique de la question et sollicite notre interprétation.

En un mot, les quantités confiées à l'Algèbre conservent en elles-mêmes toute leur réalité; mais elles peuvent, lors de la résolution des équations, se trouver engagées dans des opérations qui deviennent impossibles au point de vue abstrait ou au point de vue primitivement adopté, quand les données reçoivent certaines valeurs. Le véritable rôle de l'Algèbre consiste à dénoncer ces impossibilités par les formes spéciales que revêtent, dans ce cas, les valeurs des inconnues. A nous, ensuite, de les expliquer.

Nous allons étendre ces considérations, déjà amplement vérifiées à l'égard des quantités négatives, aux quantités dites iinas;inaires.

G ALGÈBRE SUPÉniEURE.

Origine des quantités imaginaires.

803. On sait (. J/a"^. élém.. 233 et siiiv.) (jue l'équalion générale (lu second degré à une inconnue

aœ- -r- bx ~ c ^= o

a jiour expression de ses racines

— b±i \l b- ^ \ac

La quanlilé b- — Liac placée sous le radical de la valeur de x pouvant être positive, négative ou nulle, il y a trois cas à distinguer.

Si l'on a b^ — ^ac'>o, les racines sont réelles et inégales. Si l'on a b^— liac = o, elles sont réelles et égales. Enfin, si l'on a b- — ^ac <io, elles sont dites imaginaires.

Cette expression vient de ce que, dans ce dernier cas, aucune valeur réelle (800) de x ne peut satisfaire à l'équation.

En effet, b'^ — [\ac étant une quantité négative, on peut poser, en désignant par /.• une quantité réelle dont le carré sera nécessairement positif,

Z>- — \ac^=. — k-.

L'équation donnée peut alors, comme on l'a vu, se mettre sous la forme

{lax -^ b)'^ ~- k- Tzz o .

Son premier membre étant la somme de deux carrés reste donc positif pour toutes les valeurs réelles de x. Par conséquent, aucune valeur réelle de x ne peut l'annuler, et l'Algèbre doit avertir de cette impossibilité (802) par une forme spéciale que nous allons préciser et simplifier. En remplaçant b"- — \ac par — k-, on a, pour les racines.

Or la racine carrée d'une quantité négative — /.- ne peut être, par définition (130, 2"), représentée par aucun résultat réel. Et c'est par celte impossibilité équivalente que l'Algèbre répond

ALGÈBRE SUPÉRIEUKE. -

à celle manifestée par la forme du premier membre de l'équalioii.

Mais les règles trouvées pour les opérations successives (levant rester immuables, quelles que soient les quantités qui y sont soumises, sous peine d'enlever à l'Algèbre son caractère fondamental d'universalité, il faut toujours que y/— k- élevée au carré reproduise — A-. Il faut, en outre, que, pour élever un produit au carré, on n'ait qu'à élever cbaque facteur au carré et que, par conséquent, pour extraire la racine carrée d'un produit, on n'ait qu'à extraire la racine carrée de cbaque fadeur.

Nous écrirons donc

Cette transformation a l'avantage de faire porter Viniagiiutrité sur le seul sjanbole v' — i- Nous disons symbole, parce qu'il n'y a dans — k- que la quantité positive A- soumise à une soustraction indiquée par le signe moins, de sorte que \l — i revient au fond à un signe d'opération.

D'ailleurs, pour qu'il y ait identité entre les carrés des deux membres de l'égalité (i), il faut que le carré de \/— i soit, lui aussi, regardé comme étant égal à — i.

Nous poserons, suivant l'usage,

sj— I = /,

sous la réserve de remplacer toujours clans les calculs i- par

En revenant à l'expression des racines, nous aurons, d'après les notations précédentes,

— b± ki

et, en posant ^ = se, — =3, a et 3 étant des quantités

réelles, il viendra finalement

Telle est la forme générale des quantités ou des expressions imaginaires auxquelles la résolution de V équation générale du second degré à une inconnue peut donner naissance.

- Ces expressions comprennent deux quantités réelles associées par le signe + ou par le signe —, la seconde de ces quantités élanl aiïectée du facteur ou du signe d'opération /. On a proposé, par suite, de donner aux expressions imaginaires du second degré la dénomination de fjuantilés complexes. Et cette dénomination, qui supprime le mot imaginaire, sera encore mieux justifiée quand nous exposerons le mode de représentation géométrique de ces quantités.

Si l'on suppose a = o (ou 6 = 0), l'imaginaire complexe se réduit à l'imaginaire simple [3/, qui répond à l'équation du second degré privée de son second terme, «x-^+c — o, lorsque les racines de cette équation sont imaginaires.

80i. Il est facile de vérifier que, si l'on applique les règles habituelles de calcul en tenant compte de ce qui précède (803), les valeurs de l'inconnue satisfont à l'équation proposée, aussi bien lorsqu'elles sont imaginaires que lorsqu'elles sont /•ee//e.î (799).

En effet, on a, dans la première bypothèso, en prenant l'équation sous la forme correspondante (803)

(aa.r + ^)- -!- /i-=: o,

et en substituant les valeurs de x (803 s

(— Zv ± A/ + Z>)2 + A-- — o.

803. On peut remarquer que toute écjuation du second degré, à une inconnue et à coefficients réels,

répond à cette question : troin'er deux nombres x' et x" , connaissant leur somme réelle S et leur produit réel P {Alg. élém., 2V3K On a donc

Il en résulte que les racines x' et x" sont réelles tant que le produit P demeure inférieur au carré de la demi-somme

-> et qu'elles sont imaginaires dès que le produit P devient

supérieur à ce carré.

ALGÈBRE SUPÉRIEURP:. q

L'Algèbre indique ainsi qu'il y a conlradiclion entre la réaiité des racines et la condition P > —, et les racines ne revêtent la forme imaginaire que par suite des valeurs spéciales substituées aux données S et P (802).

Si l'on a, comme on vient de le dire,

on en déduit facilement

{jc' — x")'- <i o,

inégalité qui ne peut être satisfaite par aucunes valeurs réellea de x' et de x" .

806. On a essayé d'interpréler les solutions imaginaires d'une manière analogue à celle qui a réussi pour les solutions négatives (.^Z--. élém., 199).

Dans le cas que nous venons de considérer (80,j), les deux racines x' et .r", lorsqu'elles sont imaginaires, peuvent évidemment s'écrire (803)

^l/'>-fv/-. ■'■•=!-\/''-fv/^.

De même que l'on rend positives les racines négatives pour les interpréter par comparaison, il a pu sembler naturel de rendre réelles les deux racines imaginaires, en supprimant dans les formules c'-dessus le signe d'imaginarité /— i, et de chercher ensuite de quelle façon l'énoncé de la question primitive devait être modifié pour s'adapter à ces racines réelles.

Or, la somme des nouvelles racines obtenues étant toujours S, leur produit devient évidemment

et aucune interprétation ne peut être déduite de cette transformation. La condition de réalité des racines de la nouvelle équation