I /| \J.(.I.15Ur. SUPKUIEURK

iiùnios — z el Z ordonnés suivant les puissances croissantes (lo z. Les coefficients du quotient ordonné de même représent(M-onl les sommes S,, S 2, S 3, S;, . . . indéfiniment.

On doit avoir soin d'ailleurs de rélablii' dans les (luotients trouvés les termes manquants en leur donnant le coefficienl G.

lOii. iîxKMPLE. — Un exemple très simple ne sera pas inutile. Prenons léqualion classique

i.p premier membre de Féqualion (3 bis) du n" 10-41 devient ici

-■'- 72-+- 7 <'.han2:eonii dans cette expression z en -• Son- aurons

ou, en multipliant les deux termes par u^ en ayant soin de les ordonner suivant les puissances croissantes de //,

Kn eiiectuant la division, on trouve pour quolienl

3 H- o . // '-■- 1 4 u- — 2 1 //^ -r- ()8 ir — 24 5 «^

— 833«"-- iioiM'-f- 7546«s— ■xi<!S'i%iâ -v-

^w a donc, dans ce cas.

So— ■). Si=0, S.2=li. S:t- -21. s. = 98, 85= — 245,

Se =833, 8: = — 24ot, S8=754ô, 8, = — 22()38

Pour les sommes de [)uissances négatives, on considérera lexprcssion

Z 7 — 7 ' "^ ■•■' En effectuant la division, on trouve pour quotient

ALGEBRE SUPERIEURE. 210

On a donc, dans ce cas,

On peut vérifier ces dernières valeurs à l'aide des formules (B'i du n" 1040, combinées avec les résultats précédents.

Fonctions symétriques d'ordres supérieurs des racines d'une équation algébrique.

1043. Soient toujours l'équation du m''-""' degré Z = o et ses racines a, b, c, . . . , k, l.

Proposons-nous de calculer les fonctions symétriques doni chaque terme contient deux racines, c'est-à-dire les fonctions symétriques doubles.

En supposant d'abord les exposants des deux lettres ditîérenls, chaque terme sera de la forme a^b^, et nous représenterons ces fonctions symétriques doubles par la notation

Cela posé, considérons le produit des ileux fonctions symétriques simples correspondantes, c'est-à-dire (1040) le produit de Sa par Sp.

Comme on a

Sa = ««+ ^a 4- c* -- . . . -h k^ -+- l^,

Sp = a? -i- ^»P -h c? -V . . . -- A-? -^ /^

il est clair ([ue le produit S^S^ comprend deux sortes de termes : des termes tels que a''^? pour toutes les racines, el des termes tels que a^b? pour toutes les combinaisons deux à deux des puissances a et [3 des racines. On a donc précisément

SaS^ =:Sa+,3-Hi«''/>^

<l'où

(i) 2a«Z/P=SaSp-Sa^^.

Si les exposants a et |3 deviennent égaux, on voit que le terme n'^b? ne diffère plus du terme a<^b'^, c'est-à-dire que les termes de la'-^bf' devenant égaux deux à deux, on doit rem-

'M 0 A i. f ; k B R F, S u p F-; lu E ij r, i", .

placer 2i (7^ /m^ par ■^.la'^l/'-. On a, [lac suite, dans celle liypnllièse,

(1 bis) ^''^A^=i[(Sa)^-S,a].

lOH. Passons aux fonclions symélriques dont chaque leiiincontient trois racines, c'est-à-dire aux fonctions symétriquetriples.

En supposant d'aijord les exposants des trois lettres ditlcrents, chaque terme sera de la forme a'^h?cy, et nous représenterons ces fonclions symétriques triples par la notation

On a d'ailleurs

Sp = ^P -1- ^^f» -H C? -- . . . + /P -4- /P, Sy = «T + //.' + CT -^ . . . + Aï + /Y.

et, si l'on multiplie ses trois sommes entre elles, le produit comprend évidemment cinq sortes de termes : des termes de la forme a*+P+V; des termes de la forme a'^-*-^by; des termes de la forme a*-^ï^P; des termes de la forme a^-^-^b^; et, enfin, des termes de la forme a^b'^cy, sans qu'aucune autre combinaison puisse se présenter. Il vient donc, d'après les notations adoptées,

SaSpSy = S^c^^i^y-^ la^+PZ^r-^ ia«+ï6P Mais la formule (i) du numéro précédent donne

ia^+TZ^P^: Sa+yS|3— Sa+jï+y.

On a donc, finalement, la formule suivante pour les fonctions symétriques triples :

('0 ia«Z>!^cV = SaS^Sy— Sx+^Sy— Sa4-ySp— Sp+ySa4-2Sa+p+y..

Lorsque deux des exposants y. et ;3 deviennent égaux, le terme (7*^Pcï ne diffère plus du terme a'^b'^c^, de sorte que, les termes de ia^ôPcY devenant égaux deux à deux, on doit rem-

placer la^b'^c^ par ila'^b'^c^. On a alors

1^ bis) ia^Z^^cT-^KSISy— S,-,.Sv— 2Sa+-ySa+2S,a+Y)-

Lorsque les trois exposants a, (3, y deviennent égaux, les six^ lerines qui correspondent aux permutations des trois lettres II. b, c, sans toucher aux exposants (218), deviennent euxmêmes identiques. On doit donc remplacer, dans ce cas, Irt^b^ci par 62a^&«c«. On a alors

i'.ter) i;«^6«c^ = |(Si-3S,aS.^-t-2S30-

lOio. On continuera de la même manière pour calculer les lonctions symétriques quadruples, quintuples, etc.

U est clair que si, ayant calculé l'expression de la fonction symétrique du n'^™* ordre, k exposants deviennent égaux entre eux parmi les n exposants considérés, il faut diviser l'expression primitive, modifiée en vertu de la même hypothèse, par k' produit k\ (217).

10i6. On conclut de ce qui précède une importante proposition.

Puisque les fonctions symétriques des différents ordres dépendent toujours de celles du premier ordre, toute fonction syniétrique, entière et homogène, des racines d' une équation algébrique, est une fonction rationnelle des coefficients de l'équation (1040). // en est donc de même, d'après les explications données au n" 1039, de toute fonction symétrique et rationnelle des racines.

Remarque. — D'après ce qui précède ( lOiO, Remarque) et d'après les formules qu'on vient d'obtenir (10i3, 10i4), on voit que le poids d'une fonction symétrique double, telle que 'La'^b^, est égal à a -i- (3, et que cette fonction est du deuxième ordre, puisqu'il n'entre que deux facteurs dans chaque terme. Ue même, le poids d'une fonction symétrique triple, telle que 'La'^b^c^, est égal à a -f- [3 -t- y, et cette fonction est du troisième ordre. . ..

Ainsi le poids d'une fonction symétrique de degré [j. des racines d'une équation algébrique est précisément égal à f/, par rapport aux coefficients de l'équation, parce que, d'une manière générale, S,„ est de poids m par rapport à ces mêmes coefficients.

'" ALr.i-BUE .SM'i:niKLItK.

M I on a à considérer, par exemple, la fonction symélrin,.,. a (b-cy, elle est du deuxième ordre et son poids est Kile ne renfermera donc (1040) que des termes en p,p, en / 'M en /;,, et il ne restera plus qu'à trouver les coefficienls nnmeriques de ces termes.

Méthode de Cauchy.

1047. .Nous croyons devoir exposer encore, sur le sujet qi, nous occupe, la méthode si ingénieuse donnée par Cauc, dans ses Anciens exercices de MaihémaUques, et qui perm.i de trouver directement une fonction symétrique et entier.quelconque des racines d'une équation. Cette méthode remarquable repose sur une proposition préliminaire que nous allons développer.

1048. Soient toujours l'équation algébrique du /«i^-- degré

et a, h, c, . . ., /,-, / ses racines.

Désignons par i une fonction symétrique et entière de ces m racines.

Admettons que, par un procédé quelconque, on ait éliminé de 1 expression de 1. toutes les racines, sauf la première a. On pourra alors, en ordonnant I par rapport à ^. la mettre sous la lorme

No, N,, Xa, • • -, \„ étant des coefficienls composés rationnellement (104G) avec ceux de l'équation Z = o.

En substituant a à la place de x; dans cette équation, ilvieni en appelant A le résultat de la substitution,

Le lemme qu'il s'agit d'établir est alors celui-ci :

Si l'on divise l'expression {2) de 1 par la valeur (3) de \

le reste de cette division est indépendant de a et représente

précisément la valeur de 1.

En elTel, soient Q le quotieni obtenu et R le reste. On a

ALGEBRE SUPERIEURE. 2ig

iileiiliquemenl

Mais, puisque a est racine de l'équation (i), on a nccessairement A = o et, par suite,

D'ailleurs, le reste 1» est au plus tlu degré m — i par lapporl à (7, puisque le diviseur A est du degré m par rapport à la même lettre. On peut donc poser

R = 3 = aa'"-' -f- ,3 a'"-- -h y a'"-'^ — ... -f- v « -4- p.

Mais, si, au lieu de conserver dans i la première racine a, on avait conservé l'une quelconque des autres racines b, c, . . ., /.-, l de l'équation considérée, il est clair que, puisque i est une fonction symétrique de ses m racines, on serait parvenu aux mêmes valeurs pour les coefficients y., 5, y, .... v, o, et que le seul changement eût été la substitution à la place de a de la nouvelle racine choisie.

On voit par là que l'équation

1 ^= y.z'"-^-^ ,3g'"---4- yz"'-^~\- . . .-hvz -h p ou

(4; ac'"-' + ;3^'"-2+ys'«-^* + .. .^vz^{p — l) = o

doit être satisfaite par les m valeurs de z égales aux m racines de l'équation (i ). L'équation (4) étant du degré m — i est alors identiquement nulle, c'est-à-dire qu'elle a tous ses coefficients égaux à zéro (1022). Il en résulte a = o, 3 =r o, y :=^ o, .... V = o, et

ce qui démontre le lemme énoncé.

Nous avons supposé dans ce qui précède les racines a, ù, c, . . ., /., /, différentes les unes des autres; mais la proposition subsiste à la limite, lorsque quelques-unes deviennenl égales entre elles, puisque cette proposition demeure vraie lorsque ces mêmes racines présentent entre elles des différences aussi petites qu'on voudia.

lOiO. Venons maintenant à la méthode de Cauchy. Les notations restant les mêmes, divisons Z par z~a; puis, le

220 \Lf;i;BRi. SI pi;nii:LM!i;.

quotient obtenu Z, par z~h; le nouveau (|uulienl Z, p. m - — c; et, ainsi de suite, jusqu'à ce que nous parvenions à m, quotient Z,„, du premier degré, qui ne contiendra plus qn.. le facteur premier :: — / (1017).

Considérons alors les m équations

La première, qui est l'équation proposée, a pour raciii. o, b, c, . . ., A-, /. La deuxième, dont on calculera le premi( membre Z, par la règle indiquée (102'*), a pour racines b,c,.... /., /, et ses coefficients, d'après celte règle, sont exprim<sous forme entière en fonction de la première racine a ci des coefficients de Z; la troisième a pour racines c, . . ., X, /. et ses coefficients sont de même exprimés sous forme entière en fonction de la deuxième racine b et des coefficieni^ de Z,, c'est-à-dire en fonction des deux premières racines <i et b et des coefficients de Z; .... D'une manière générale, les coefficients de l'une quelconque des m équations considérées sont exprimés sous forme entière en fonction de^ coefficients de la première et des racines qui ne satisfont plus à l'équation à laquelle on est parvenu ou des racino supprimées jusque-là.

Dans ces conditions, désignons par A, B, C, . . ., K, L, le> valeurs des premiers membres des m équations (i), lorsqu'on y substitue respectivement à la place de s les m racino a, b, c, . . ., k, l. Nous aurons nécessairement

La fonction symétrique et rationnelle 1 dont nous voulons trouver la valeur indépendamment des racines de Z = o est fonction symétrique des racines de cette équation, aussi bien que des racines des autres équations (i); ce qui va nous permettre d'éliminer successivement de l'expression de I les m racines a, b, c, ..., k, l, en nous fondant toujours sur la proposition du n° lOiS.

Nous commencerons par éliminer la dernière racine l o\, pour cela, nous n'aurons qu'à résoudre l'équation du premier degré L=ro, qui nous donnera la valeur de / à substituer dans 1. II est préférable, pour opérer toujours de même, d'ordonner 1 par rapport à / et d'effectuer ensuite sa division par L : le reste obtenu sera i débarrassé de /.

ALGEBRE SUPERIELIIE. 22 1

En legardanl à présent la valeur de 1 comme une fonction symétrique des deux racines k et /, dont la dernière est éliminée, et en ordonnant cette valeur par rapport à k, on divisera i par k, et le reste obtenu sera la valeur de - débarrassée de A et, par conséquent, de k et de /.

En continuant successivement de la même manière, on parviendra à une valeur de 1 qui ne contiendra plus que a. On l'ordonnera par rapport à a, on la divisera par A, et le reste obtenu sera la valeur de 1 qu'on voulait trouver, débarrassée de toutes les racines a, b,c, . . ., A, /, et exprimée seulement en fonction des coefficients de l'équation proposée.

1050. Le premier terme de cbaque polynôme diviseur ayant pour coefficient l'unité, les divisions n'introduiront par elles-mêmes aucun dénominateur. Il en résulte que les différents restes ne pourront renfermer d'autres dénominateurs que ceux qui se trouvent dans les coefficients mêmes de l'équation considérée.

ï. est donc nécessairement une fonction symétrique et rationnelle de ces coefficients ; et, si ces mêmes coefficients sont entiers, la valeur définitive de i est elle-même un nombre entier.

Cette remarquable propriété est la généralisation ou l'extension de celle énoncée au n" lO'j-6. Cette extension découle immédiatement de la métliode de Cauchy, tandis que la méthode de Newton ne peut y conduire directement.

Application.

1051. Proposons-nous de déterminer par la méthode précédente (lOW) la fonction symétrique qui représente le produit des carrés des différences des racines d'une équation donnée, prises deux à deux.

En conservant toujours les mêmes notations, nous aurons

en même temps que, pour l'inconnue cherchée,

\ l:^{a — by-{a — cf-{a — d)- . . .

^' ^"^ i x{h-c)Hb-dr...^k-if.

>.o, \I.(.i;UllK SUPÉRIEURE.

Kn appliqiioiit la règle du ti" 102V, formons l'équation

Nous aurons

(2) Zi=c'«-'+a

+ th

-h Pi Cl

et la inènic fonction symétrique pour l'équation {:>.) sera

{'ibis) l, — {b — cy-{b — d)\..{k~- lyK

On aura donc

(3 ) 1 = (a — b )Ha — cf {a — df . . . {a — l)' i,.

D'autre part, la formule (3) du n° 1040 donne, pour la dérivée Z' du polynôme Z,

Four 5 = a, on a, par hypothèse, Z:=o. Donc, pour celle même valeur, Z' se réduit à la t>/aie valeur àe son premier terme (706). Comme on a, d'une manière générale (935),

Z'= inz'"-^ et (1017)

(tn

l)/^,3'""-M- (/?i — ■2)PiZ'

on voit que l'hypothèse ^ = « conduit à l'idenlité

en désignant ainsi le résultat de la substitution de a à la place de z dans la valeur générale de Z'. On parvient donc finalement à la formule

(ni — ■>.)p.2a'

Il en résulte que, si l'on peut calculer la fonction synié- (rique dont il s'agit pour une équation d'un certain degré,

ALGEBRE SIPKIUEI'RE. 2'î.>

on aura immédiatement sa valeur pour une équatioti de degré supérieur d'une unité.

En elîet, si l'on admet qu'on sache exprimer lii en fonction des coefficients de l'équation (2), c'est-à-dire en fonction de a et des coefficients de l'équation (i), on voit que, par la formule (4), ^ sera exprimée de la même manière. Par suite, en l'ordonnant par rapport à a et en la divisant par Z,, ou par A (10i9), le reste de la division ainsi effectuée représentera la valeur de 1 débarrassée de toutes les racines et en fonction des seuls coefficients de la proposée.

Or on peut calculer immédiatement le produit des carrés des différences des racines pour une équation du second degré. On passera donc de là à la même fonction symétrique pour l'équation du troisième degré, puis pour celle du quatrième degré, et ainsi de suite.

IO/):2. Soil l'cquation du second degré

Zi-^pz^q =0.

dont ks racines sont a et (/. Nous aurons

(a — Ij)- = f(- — if^ih — b- — {a -^ ù)- — \(fù. .Mais (103G)

Il en résulte

a -^ b = — p et ah = q. ( a — /; )2 = p2 — 4 q.

10o3. Nous pouvons maintenant considérer léqualion complète du troisième degré sous la forme

Z = z^^- pz^-T- (/ z -T- /■ = 0,

en désignant ses trois racines par a, b, c. Nous poserons, d'après ce qui précède (^ lOol 1,