DES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

Définitions.

1039. Les relations établies à la fin du Chapitre précédeni entre les coefficients d'une équation algébrique et ses racines nous conduisent naturellement à exposer les notions fondamentales relatives à la théorie des fonctions symétriques, puisque les coefficients d'une pareille équation sont précisément des fonctions symétriques de ses racines.

D'une manière générale, on entend par fonction symélriqu,de plusieurs quantités une fonction qui ne change pas lorsqu'on échange entre elles, de toutes les manières possibles, les quantités qui y entrent. Ainsi, une expression renfermant Iilusieurs lettres et qui reste la même quand on permute deux lettres quelconques est une fonction symétrique de ces lettres.

Nous ne considérerons que des fondions symétriques rationnelles.

Les expressions

(C-+h^+c\ ab + ac-^hc, ^ + l!^ 4- ^,

sont des fonctions rationnelles et symétriques des trois lettres o, b, c : les deux premières sont entières, la troisième est rationnelle ou fractionnaire.

Toute fonction symétrique non entière peut être ramenée, par la réduction au même dénominateur, à une fraction dont les deux termes sont des fonctions symétriques et enlières.

Ainsi, la dernière fonction indiquée ci-dessus peut être ramenée à la forme

(Jn peut donc s'occuper seulement des fonctions symétriques entières.

De plus, lorsqu'une fonction symétrique entière n'est pas liomogène (580), elle est forcément la somme de plusieurs fonctions symétriques homogènes, comme, par exemple,

ab -^ ac -\- bc — abc.

11 est permis, par conséquent, de se borner à l'étude des fonctions symétriques entières et homogènes. Mais, dans cette hypothèse même, il y a encore lieu de distinguer, la fonction considérée pouvant être la somme de deu\ ou d'un plus grand nombre de fonctions symétriques de même degré, mais différentes, qu'on peut calculer séparément. Ainsi, on a (308, 309)

(a H- 6 -h c H-. . . 4- /)-= irt--i- ilab,

(« -1- 6 -r- c + . . . -4- ly ^= 1 a^ -\' ?>1a- b -^ 61 abc.

On se restreindra donc finalement aux fonctions symétriques, entières et homogènes, oii les exposants des lettres sont les mêmes dans un terme quelconque, de sorte que la fonction est définie lorsqu'on donne les lettres qui y entrent et un seul de ses termes.

Lorsque chaque terme ne contient qu'une lettre, on a une fonction symétrique simple ou du premier ordre; lorsque chaque terme contient deux lettres, on a une fonction symétrique double ou du deuxième ordre; et ainsi de suite.

Les fonctions symétriques simples de plusieurs quantités ne sont autre chose que les sommes des puissances semblables de ces quantités. Nous avons trouvé précédemment (275 et suiv.) l'expression des fondions symétriques simples relatives aux termes d'une progression arithmétique.

Nous allons nous proposer de chercher les formules qui font connaître les fonctions symétriques simples des racines d'une équation algébrique quelconque, sans qu'on ait besoin de déterminer ces racines.

208 ALGÈBRE SCPÉRÎELRE.

Fonctions symétriques simples des racines d'une équation algébrique. Formules de Newton.

lOVO. Soit l'équalion algébrique de degré m ramenée à la forme

( I) Z = Z'" +/>, C'«-' + p., Z"-' ^ . . . + p,n-i Z -hp,n = O.

Nous désignerons ses m racines par a, b, c, . . ., A, /. Si Z' est la dérivée du premier membre Z, on a toujours (935)

(2) Z' rzz m z"'-' -h {m — i) piz'"-- — {m ~2)p.2z"'-''^...-~p,„i.

On peut indiquer une autre expression de la dérivée Z' et, en l'identifiant avec la précédente, on parviendra aux résultats chercbés.

Nous avons vu, en effet (1017), que

et nous savons (373) que la dérivée d'un produit dun nombre quelconque m de facteurs ou de fonctions {ni étant fini) est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée de chaque facteur ou de chaque fonction par le produit de tous les autres facteurs ou de toutes les autres fonctions. Or, la dérivée du premier facteur z — a par rapport à :; es! l'unité, qu'il faut multiplier par le produit

de tous les autres lacteurs, c'est-à-dire par — - — , et ainsi

de suite. On a donc immédiatement

Mais nous avons indiqué une règle commode pour trouver rapidement le quotient de Z par un binôme de la forme z—a (10-2V, 13). Nous pourrons donc écrire, d'après cette règle et

ALGEBUE SrPURIElRE

en nous reportant à l'équation (i),

-iii-i

a Pi

~ Pi ! — p^a

--rp-,

\- p-ia' h p^a'

+ Pm^ia

Il n'y ;i qu'à remplacer successivement « par les autres racines b, c, . . ., /.-, /, dans le second membre de l'équation (4), pour avoir les autres (piotients

En les ajoutant tous ensemble et avec le précédent, et en représentant d'une manière générale par la notation S,^ la somme a" -+- b" + r'* -i- . . . -;- /." -t- 1", nous aurons évidemment

-1- inp.

+ Pi'^m-l,

P,n-2>^ liiP»i-\

En identifiant les deux valeurs de Z', c'est-à-dire les seconds membres des égalités (2) et (5), et en simplifiant, nous obtiendrons les formules suivantes :

1 S3H-/»iS2 + /)2Si-i-3/>3=:0,

De c. — Cours. IV.

(li)

•^,10 ALGÈBRF. SUPÉUIEUKK.

La |)rcmièrc des formules (A) fait connaître S, ou la somme des racines (1030); la deuxième fait alors connaître Si on l.i sonniie des carrés des racines; la troisième fait connaître S ou la somme de leurs cubes, et ainsi de suite, jusqu'à la {ni — i)'^""'ou dernière qui fait connaître S„,, ou la somme jj des puissances {m — () des racines. En effectuant de proche en proche ces calculs très simples, il vient

Si =—/>!,

Si =/)J — \p]p, 4- 1 Pip3-^ 2pl — 4/^.,

Les formules (A) vont du degré i au degré jh — i. Pour poursuivre au delà ou en deçà, désignons par n un entier positif, négatif ou nul, et multiplions les deux membres de l'équation donnée Z ^o par z" . Elle deviendra

p^ s'"-^" -' + p, z'"^"-^ -h Pi z

-tn+n — i .

llemplaçons alors successivement z par chacune des racines n, b,c, . . . , /. , /, et ajoutons ensuite tous les résultats obtenus. Nous aiu'ons évidemment

En donnant d'abord à n les valeurs positives o, i, 2, 3, . . ., et en remarquant que So= m, nous trouverons cette deuxième série de formules :

S/„ -f- Pi S,„, -h p, S,„., -f- Pi S,„3 4- . . . + p,n-i Si H- nip,„ — 0 S„j+i-f-/>iS,„ 4-/?.S,„,-r/J;,S,„2-+-. . .-h/?„,|S2H-/?„,S, --0

^/H-(-2 4~ Pi ^m + l H~ P2 ^in ~4 /J:t?/„ — 1 -r- . . . -+- p,„ — i 03 -+- pni ^2 —

La première des formules (lî) donne S„,, puisqu'on connaît les autres sommes par les formules (A); la deuxième donne ensuite S„î4.i; la troisième, S„,+2> etc.

On peut remanjuer que les sommes S,, S,, S3, . . ., S„,,, S„,, S„,+i, S„,^.2> •••' 'le renferment dans leurs expressions

ALGEBRE SI PKRIKL KE. "i I I

aucuns dénominateurs (autres que ceux que les coefficienls de l'équation donnée peuvent contenir), puisque les dillérentes inconnues ont toutes pour coefficient l'unité. De plus, chaque somme est une fonction entière des coefficients de l'équation, de même degré (|ue son indice, de sorte que, si ces coefficients sont des nombres entiers, les difl'érenles sommes sont elles-mêmes des nombres entiers.

Les formules (A) et (B) ont été données par Xewto.n. Il est clair que l'on peut indifféremment, à l'aide de ces formules, déterminer les sommes en fonction des coefficients de l'équation, ou les coefficients en fonction des sommes lorsqu'on connaît m de ces dernières.

Si l'on substitue maintenant à n, tiaus l'équation (p;, les valeurs négatives — i, — 2, — 3, . . ., on obtiendra une troisième série de formules qui feront connaître les sommes des puissances semblables à exposants négatifs. Ces formules sont :

S,„i+y;>,S,„,-+-/?2S,„3-h/?3S,„j-+-. . .-H mp,n-i -+-/?„jS i = 0.

S,„-2 -+- P\ S/«-3 -i-/>2 S,„v + pi S„,.-, -+-... -H Pni-l S-i -h pni S 2 = <'• S,„3 H- Pi S,„i H-/», S„,5 -f- /r?.( S,„« -h ... -1- p,n-x S 2 M- p,„ S-:s — O,

Les autres sommes étant connues, la première équation donnera S i; la deuxième donnera ensuite S-^; la troisième, S 3, etc. Mais, à cause du coefficient constant />,„, la remarque faite plus haut n'est pas applicable à ces nouvelles sommes. [Au lieu d'employer les formules (B'), on pourrait changer

simplement dans 1 équation proposée .; en - (nous insisterons plus loin sur cette transformation) et continuer alors à se servir des groupes de formules (A) et (B); caries puissances positives de - sont les puissances négatives de .;.]

Remarque. — Lorsqu'on a une fonction symétrique homogène des coefficients />,, p^, Pi, ..-, le nombre de facteurs contenus dans chaque terme est Vordre de la fonction. Si la fonction n'est pas homogène, son ordre est l'ordre le plus élevé parmi ceux de ses différents termes.

Dans les fonctions symétriciues homogènes que nous venons de considérer, tous les termes ont le même poids, et ce poids

2i:i M.fiKnnt: slpkkieure.

est celui de la ronciioii. Le poids d'un terme est la sommr des indices des fadeurs qui y enlrenl. Ainsi le |)oids du terme PipîP^ est i -i- •? + 3. Le poids du terme

PxPlpl ou p^p■lplP^p^p,

est 1 + 2X2 + 3x3. D'une manière générale, le poids «lu terme/?^/>f/>| est donc a + s^ + Sy, et son ordi-e est i3c + ;3 + 7. II est clair, d'après les formules précédemment établies, que, par rapport aux coefficienls de l'équation donnée, le poids de S, est égal à i, celui de 83 égal à 2, celui de S:j égal à 3, et, d'une manière générale, celui de S„, égal à m.

Autre procédé fondé sur remploi des séries.

lOiL Pour arriver aux mêmes résultats, on peut suivre un autre procédé où une simple division algébrique suffit. Reprenons l'équation (3) du n° 1040 mise sous celle forme :

Si l'on effectue la division de 1 par 5 — a, on trouve

(2) __ — 7 + ^ + Ti+;:t+---'

II est clair (SQL) que la série du second membre est convergente pour toutes les valeurs de z dont le module est supérieur à celui de «; car on peut alors appliquer à la série des modules de ses termes le théorème du n° 371.

Si, dans la relation (2), on remplace successivement a par les m — I autres racines b, c, .... A, /, et qu'on ajoute ensuite membre à membre tous les résultats obtenus, il viendra évidemment, en conservant les mêmes notations que dans le numéro précédent,

Z' m , ^1 , S, , S, Si

yo) ''A ^ z z- ^ z-^ ~ V^ ~^ ^^

Ainsi, en divisant Z' par Z et en remarquant que m = So, on voit que les sommes successives des puissances semblables positii'es des racines de l'équation Z =: o sont les coefficients

ALGÈBRE SUPÉUIEURE. 21 3

(le - •> ., ) ,• • • ) OU de z'\ z^^-, :■-'% . . ., dans le quotient de

la division du polynôme dérivé Z' par le polynôme Z.

Bien que le calcul n'offre aucune difficulté, on peut, pour éviter les exposants négatifs , multiplier d'abord les deux membres de la relation (3) par z; ce qui donne

( 3 bis ) -y- ~ "^ ^ — -^ tI '^ ~~3 ~^ Ti ^^ ■ ■ ■''

puis, clianiçer ensuite r en -• Le premier membre de l'éga- ' it

lité précédente deviendra -jy > Ui et L étant des fonctions entières de 1/, et l'on aura

(4 ) yr = m H- Si w -+- S, n- — S^ ir -I- S4 »' -t- . . . .

En effectuant la division des deux polynômes U, et U, ordonnés suivant les puissances croissantes de a, les coefficients du quotient ordonné de même représenteront les sommes So, S,, So, S:j, . . ., indéfiniment.

On peut trouver d'une manière analogue les sommes S,, S 2, S„;i, . . . des puissances semblables négatives des racines de Z = o.

Posons

et etfectuons la division de i par a — ::. Nous aurons

a a- rr' a*

11 est clair que la série du second membre est convergente pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à celui de a. On aura donc évidemment, en remplaçant successivement a dans la relation précédente par les m — i autres racines et en se reportant à l'équation {\),

Il suffira donc encore d'effectuer la division des deux poly-