Il est aisé de démontrer que, réciproquement, la

68a COURS D*ÀLGÈBKC STJPÉRIEUEE.

relation précédente, admise entre trois racines x., x.^c? •^'«■i-pCf entraîne la résolution par radicaux de Téquation. A cet cfTet, soient d une racine de Téquation binôme x" — I, et

la fonction résolvante de Lagrange. D'après la propriété caractéristique de cette fonction, on pourra, sans altérer sa valeur, ajouter aux indices des racines un nombre entier arbitraire a, et écrire

Cela posé, soit 6 un autre nombre entier arbitraire, mais différent de zéro, et prenons oo de manière qu'on ait

on voit immédiatement que l'on a

et il est clair qu'en employant la relation

on pourra, par des sulislitulioiis successives, transformer le second membre en une fonction rationnelle FI do'^ deux racines x,, x.^ç, de manière à avoir

pour une valeur quelconque de Tindice arbitraire jr.

Cela étant, soil, comme plus haut, X une racine *L" l'équation binôme x"~* - - i , la fonction

conserve la même valeur qunnd on met ce au lieu de c,

SECTION V. CnAPITRE V. 683

c'est-à-dire qu'elle est indépendante de la valeur attribuée à 6. Chacun des termes dont elle se compose est d'ailleurs indépendant de a; donc, en la transformant, au moyen de la relation

en une fonction rationnelle des deux seules racines Xa et J^,+«, cette fonction devra se réduire à une quantité connue. Effectivement, si une fonction

conserve la même valeur, quels que soient les indices a et 0,1e second indice étantdifférentde zéro, on peutécrire

relation dont le second membre est une fonction symétrique de toutes les racines Xo , X| , . . . , x„^ < .

Il résulte de là que nous pouvons regarder les n — i quantités

comme les racines d'une équation abélienne résoluble par l'extraction d'un seul radical de degré n — i. Or, ces quantités une fois obtenues, nous connaissons, pour toutes les valeurs de S, excepté S :^ o, la puissance n**"*' de la fonction résolvante F(6^«); donc, par l'extraction de n — I radicaux du //**"* degré, nous aurons ces diverses fonctions résolvantes, et, par conséquent, les racines elles-mêmes. On sait d'ailleurs, par une observation d'Abel, que ces n — i radicaux s'expriment rationnellement en fonction de Tun d*cntre eux et des quantités sur

684 COURS d'ai.gèbue supéhieube.

lesquelles ils portent, quantités qui sont, comme nous venons de le dire, les racines d'une équation abélienne.

Recherches de M. Kronecker.

599. Je reproduirai ici, en terminant cet Ouvrage, la traduction textuelle d'un Mémoire de M. Léopold Kronecker, communiqué par Lejeune-Dirichlet à la classe des Sciences mathématiques et physiques de l'Académie de Berlin, le 20 juin i853 :

« Les recherches entreprises jusqu'à présent sur la possibilité de résoudre les équations de degré premier, et particulièrement celles d'Abel et de Galois qui ont servi de point de départ à tous les travaux ultérieurs sur le même objet, ont eu pour principal résultat de conduire à deux critérium à l'aide desquels on pût j^ger si une équation donnée est résoluble ou non. Mais, à vrai dire, ces critérium ne fournissaient pas la moindre lumière sur la nature même des équations résolubles. On ne savait même pas si, en outre des équations traitées par Abel dans le tome IV du Journal de Crelle, et de celles qui se ramènent immédiatement aux équations binômes, on ne savait pas, dis-jc, s'il existait d'autres é(|ualionï. satisfaisant aux condilions données de rcsolubililé. Kncore moins savait-on former de pareilles équations, et dans aucune recherche mathématique on n'en avait rencontré. Ajoutons que ces deux théorèmes bien connus d'Abel et de Galois sur les équations résolubles étaient plus propres à en cacher la vraie nature qu'à nous la découvrir, ainsi que je le montrerai plus particulièrement à l'égard de l'un de ces critérium. Le caractère propre des équations résolubles restait donc dans une sorte d'obscurité, et le seul travail (jui jette quelque lumière sur ce point, savoir : une Notice d'Abel sur les racines

SIXTIOW V. CHAPITRE V. 685

des équations du cinquième degré à coefficienls entiers, semble avoir été peu remarqué, sans doute à cause de son objet tout spécial. Mais la question ne pouvait être complètement éclaircie que par la solution du problème suivant : Trouver toutes les équations résolubles. Car, une fois cette solution obtenue, non-seulement on peut trouver une infinité de nouvelles équations résolubles, mais on a en quelque sorte devant les yeux toutes celles qui le sont, et à l'aide de la forme explicite de leurs racines on peut trouver et démontrer toutes leurs propriétés.

» A ces remarques sur le but et le résultat de mes recherches, je dois ajouter que, pour rendre la solution possible, il fallait encore transformer complètement le problème qui vient d'être posé. La manière de formuler la question est, en effet, de la plus grande importance, el, de peur que la brièveté ne nuise à la clarté, je m'étendrai un peu sur ce point.

» Abel, dans un Mémoire dont nous ne possédons que des fragments (t. II, OEuv^res complètes, n" XV), s'est proposé, entre autres problèmes, celui-ci : Trousser l'expression algébrique la plus générale qui puisse satisfaire à une équation algébrique d'un degré donné. Si Von ajoute à cet énoncé ce qui est nécessaire pour rendre la question déterminée, il comprend tous les problèmes qu'on peut se proposer sur la résolution des équations, et il est le plus général qu'on doive substituer à ce problème impossible : Exprimer en fonction algébrique des coefficients la racine d*une équation de degré quelconque. Mais, ainsi qu'on vient de le dire, il fallait rendre la question déterminée en précisant la manière dont l'expression cherchée doit dépendre des coefficients de l'équation ; il convient donc de la poser comme il suit :

» Tr ouvrer la fonction la plus générale de quantités données quelconques A, B, C, . . . , qui satisfasse à une

686 COURS D^ALGLDllE SUPÉRIEURE»

équation d'un degré donné dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de ces quantités,

» Observons qu'on doit supposer ici l'équation irréductible relativement à A, B, C, ..., c'est-à-dire que, A, By C^ ... restant quelconques, l'équation ne doit pas pouvoir se décomposer en facteurs d'un degré moindre dont les coefficients soient des fonctions rationnelles de A, B, C, .... Cela posé, le problème précédent peut s'énoncer de cette manière :

» Etant donné un nombre entier n, trouver la fonction algébrique la plus générale rfe A, B, C, ... telle que, parmi les expressions qu'on en déduit en attribuant aux radicaux leurs diverses valeurs, il y en ait n dont

les fonctions symétriques soient rationnelles en A, B,

» Ce nombre n est aussi le degré de l'équation qui a pour racines les n expressions dont on vient de parler : dans le cas où il est le premier, Abel, dans le Mémoire cité, est parvenu à donner les deux formes suivantes aux expressions algébriques cherchées. La première est

(tome II des OEuvres complétas, p. 2o4), où fx désigne le degré supposé premier de réqualion, po une fonction rationnelle de A, B, C, ...,5 une fonction algébrique des mêmes quantités, eiy^ (5) une fonction rationnelle de s

et de A, B, C. La seconde forme, qu'on trouve à la

[)age 190 du même volume, est

où />o est une fonction rationnelle de A, B, C, ... c\ où Uj, Ha, . . . sont les racines d'une équation du degré

(i — I dont les coefficients sont des fonctions rationnelles

de A, B, C, M. Malmsten a donné de ces deux formes

une démonstration étendue (t. XXXIV du Journal de Crelle)f mais qui aurait besoin, si je ne me trompe, d'être complétée dans quelques-unes de ses parties.

» 11 est bien vrai que toute fonction algébrique, satisfaisant au problème proposé, doit pouvoir se mettre sous ces deux formes ; mais ces formes sont encore trop générales, c'est-à-dire qu'elles renferment des fonctions algébriques qui ne répondent pas à la question. Je les ai donc étudiées de plus près^ et j'ai trouvé d'abord que, parmi les fonctions renfermées dans la forme (a), celles qui satisfont au problème proposé doivent avoir la propriété nonseulement que les fonctions symétriques de Il|, R2, . . . soient rationnelles en A, B, C, ... (ce qu'Abel a remarqué), mais aussi que les fonctions cycliques des quantités Ri, Ro, ..., prises dans un certain ordre (* ), soient également rationnelles en A, B, C, . . . : en d'autres termes, l'éi/ nation de degré /x — i, dont Ri, R2, ... sont les racines y doit être une équation abélienne. J'entendrai toujours ici par équations abéliennes cette classe particulière d'équations résolubles qu'Abel a considérées dans le Mémoire XI du premier volume des OEuvres complètes, et dont je supposerai les coefficients fonctions rationnelles de A, B, C, — En désignant par x^y x^y . . . , Xn des racines prises dans un ordre déterminé, ces équations peuvent être définies soit en disant que les fonctions cycliques des racines sont rationnelles en A, B, C, . . . , soit en disant qu'on a les relations

(*) On nomme fonction cyclique, de n quantités x^, jr„ ..., x^Tcxpres»ion {^x^ -+- otx^ •+■ «'x,-+- . . . h • a"-*x.)", où a est racine do a" — 1.

6S8 COURS d'algèbre supérieure.

oii0(a:)estune fonction entière de x dont les coeffîcients sont rationnels en A, B, C, .... Nous reviendrons tout à l'heure sur ces équations, dont la considération est du plus haut intérêt au point de vue de l'analyse et de la théorie des nombres, et aussi, comme on le voit, au point de vue de l'Algèbre proprement dite.

» Un nouvel examen des formes (i)et(2)foumit encore une détermination plus précise des quantités II qui figurent dans la seconde. On doit avoir, en effet,

o^ ^x9 'Wi» • • • sont les [i — i racines d'une équation abélienne quelconque du degré v — i, c'est-à-dire où les fonctions symétriques et les fonctions cycliques des quantités r (prises dans l'ordre des indices) sont rationnelles en A, B, C, ... où, de plus, F (/•) est une fonction rationnelle de r et de A, B, C, ... et où enfin y m désigne le plus petit reste positif de g^ suivant le module |u, g étant une racine primitive de/:x. Si Ton substitue cette valeur deR, dans l'expression (a), on obtient une forme qui, non-seulement renferme toutes les expressions satisfaisant au problème, mais, ce qui est ici le plus ossenliel, n'en renferme pas d'autres. En d'autres termes, la forme ains" obtenue vérifie identiquement une équation du doi;ié n dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de A ,

B, C, Les autres racines s'obtiennent par la combi

naison des diverses valeurs des radicaux a'*"""* dans la forme ( ?.), de façon que la 7w»*"« racine Zm est donnée par

la formule

(4;3,, ^/;..-i-M,^Rr-4-«^'"RÎ-T-ru^'"'R: h... ^^> '■'''-'•- r;,,

oj désignant une racine a'*™* imaginaire de l'unité, et les quantités R étant déterminées par la formule (3).

SECTION V. CHAPITRB V. 68g

» De là il suit d^abord que, tandis que les fonctions symétriques des quantités z sont rationnelles en A, 6, C, ... y les fonctions cycliques des mêmes quantités prises dans Tordre des indices sont des fonctions rationnelles de A, By Cy ' . . , de Ti y r^, . . . , et de ct>. On voit par là que toute équation résoluble algébriquement d'un degré premier fj. est une équation abélienne, quand on regarde comme connue une quantité p^ qui elle-même est racine d'une équation abélienne du degré fj. — i , ou bien encore que les fi racines d'une équation résoluble sont toujours liées entre elles de/açon que l'on ait

ou/'[z. Pi) désigne une /onction rationnelle de z,depi et de AyByC, ... (*), et oii p^ est la racine d'une équation abélienne dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de A,, B, C, .... Cette relation entre les racines de toute équation résoluble est d'ailleurs la vraie source de la propriété assignée par Abel et Galois comme le caractère spécial des équations résolubles d'un degré premier, savoir : que chaque racine doit être une fonction rationnelle des deux autres. Parmi les conséquences intéressantes qui découlent des résultats précédents, je me bornerai à une seule : c'est que, la quantité r^ étant racine d'une équation abélienne du degré (x — i et ne contenantque des radicaux dont les indices sont diviseurs de jut — I ou pouvant être ramenée à n'en contenir que de tels, la racine elle-même de toute équation résoluble

(*) J'ai fait dans ce passage quelques corrections qui m*ont été indiquées par M. Krunecker lui-même. La quantité que nous représentons ici parp, setrouTe désignée, à tort, dans les Comptes rendus de l' Actidémie des Sciences de Berlin, par la lettre r,. Cette nourelle racine p^ dépend de la racine r, d'une manii^re très-simple ; toutefois ces deux quantités sont difibrentes entre elles.

S. — Atg, sup*t n* 4i

690 COURS D*ÀLGfeB«E STJPélllEURV.

pourra s'exprimer par les radicaux dont on vient de parler et par des radicaux d'indice fx, Âbel (autant que je le sache) n*a fait cette importante remarque que pour (1 = 5, et, pour ce cas, il a donné laforme la plus générale de la racine d'une équation résoluble (t. II des OEuvres complètes, p. 253). Mais il faut observer qu'il s'est borné, dans cette recherche, aux équations dont les coefficients sont des nombres entiers.

» Le problème primitif est maintenant ramené, en vertu de l'équation (3), à trouver la forme la plus générale de la quantité ou, pour mieux dire, de l'expression ri . D'après ce qu'on a établi ci-dessus au sujet de r^ rj, ..., ce second problème peut s'énoncer ainsi :

» Le nombre n étant donné, trouv^er laforme la plus générale d'une fonction algébrique rfe A, B, C, - . . , telle que, parmi les div^erses expressions qui résultent de la combinaison des valeurs des radicaux dans cette fonction, il y en ait n dont les fonctions symétriques et cycliques [celles-ci étant relatives à un ordre déterminé des n expressions) soient rationnelles en A, B, C, ....

» Et l'on voit que ce second problème, énoncé en gros pour ainsi dire, revient à trouver toutes les équations abéliennes, comme le problème primitif consistait, en quelque sorte, à tr ouvrer toutes les équations résolubles.

» En traitant ce second problème, on se trouve ramené à distinguer les cas 011 n est un nombre premier, ou une puissance de nombre premier, ou un nombre composé quelconque ; mais ce dernier cas se ramène aux deux autres, car la solution du problème pour un nombre composé n s'obtient dès qu'on l'a résolu pour les cas où le degré de l'équation abélienne est une des puissanrc> de nombre premier contenues dans n. D'ailleurs, à pari quelques complications, le problème n'offre pas plus de

dilKicultés pour une puissance de nombre premier que pour un nombre premier. Seulement, dans le cas le plus simple en apparence, où n est égal au cube ou à une puissance plus élevée de 2, la méthode que j*ai employée avec succès dans tous les autres cas ne suffit plus à la solution complète du problème, et je n'ai pas encore trouvé la modification qu'elle exige alors. Comme la solution du problème primitif pour le nombre premier /x exige la solution du second problème pour n = [i — i, je ne pourrais donc, jusqu'à présent, donner le résultat complet que pour les nombres premiers fi qui ne sont pas de la forme 8A -h i. Il suffira, du reste, au but de cette communication préliminaire et pour éclaircir la matière, d'examiner ici le cas du second problème, où n est un nombre premier impair. Je ne donnerai pas seulement le résultat relatif à ce cas, mais j'indiquerai brièvement la méthode qui m'y a conduit, attendu qu'elle est extrêmement simple et qu'elle fournit les principes essentiels pour la solution de ce second problème dans les autres cas, et aussi pour la solution du problème primitif.

» En conservant les notations employées par Abel (dans le Mémoire n^XI déjà cité du tome I"des OEuvres complètes) j et en ayant égard à la définition déjà donnée des équations abéliennes, on peut énoncer comme il suit le problème dont il s'agit :

» Trouver la fonction algébrique la plus générale Zq rfe A, B, C, ..., satisfaisant à une équation du n'^'"* degré, et telle que cette/onction Zq et les autres racines Z| , Z2, . • . , Zn^i de l'équation vérifient les relations

oà Q {z) est une fonction rationnelle de z et de A, B, » Admettons que n soit un nombre premier, et, adop-

693 COTJUS D*ÀLGi:BRE SUPÉRIETJES.

tant une notation introduite par M. Jacobi, posons

«0 H- «!« -H z,a* -1- . . . 4- z^^ia*»-* = (a, z), OÙ a désigne une racine /i'*"' de l'unité ; nous aurons

En suivant la marche tracée par Abel, on montrera ensuite que, pour tout nombre entier x, on a les équations

OÙ <f{oi) est une fonction rationnelle de a et de A, B,

» Si maintenant on met pour x une racine primitive g du nombre premier n, tellement choisie que g*~* — i ne soit divisible par aucune puissance de n plus élevée que la première, on obtiendra des équations de cette forme

Elevons la première de ces équations-à la puissance g^~*, la seconde à la puissance g"""*, et ainsi de suite, puis multiplions-les membre à membre ; il viendra

Posons à présent

t m n'étant pas divisible par n, d'après la supposition précédemment faite; nous aurons, en vertu de Téqualion (6),

SF.CTION V. CHAPITRE V. 6gZ

et, en substituant dans Téquation (7), nous trouverons

résultat qui subsiste pour chacune des valeurs de a y comme on peut le démontrer, et qu'on mettra aisément sous cette forme

» Ici il faut entendre par chacun des exposants fractionnaires contenus dans la parenthèse, non pas cet exposant lui-même, mais son plus petit résidu positif relativement au module 72 ; d'ailleurs F (a) désigne commey(a) une fonction rationnelle de a et de A, B, C, ... . Cette expression de (a*», z) étant substituée dans Téquation ( 5 ), on obtient une forme que z^ doit nécessairement avoir, et qui satisfait toujours au problème, quelles que soient les fonctions rationnelles de a et de A, B, C, ... qu'on prenne poury(a) etF(a).

» La comparaison de ce résultat avec la forme générale donnée ci-dessus des racines d'une équation résoluble du degré fx conduit à des propositions intéressantes ; mais des conséquences plus intéressantes encore se tirent de la comparaison de l'expression ( 8 ) , en y supposant que A, B, C, . . . soient des nombres entiers, avec l'expression correspondante que fournissent certaines équations abéliennes qui se présentent dans la théorie de la division du cercle, particulièrement avec la forme très-remarquable donnée pour (a, x) par M. l^ummcr [Journal de C relie, t. XXXV, p. 363). Cette comparaison fournit en effet le théorème suivant, qui a lieu non-seulement pour un degré premier, mais dans tous les cas, savoir que :

» Les racitws de toute équation abélienne à coejjl^

6g4 COURS D^ALG^BRE SUPÉRIEURE.

cients entiers peuvent être exprimées rationnellement au mojren des racines de V unité,

» Ainsi ces équations abéliennes générales ne sont rien autre chose en réalité que les équations de la division du cercle.

» Il existe une relation pareille entre les racines des équations abéliennes dont les coefficients sont des nombres complexes de la forme a + b ^—i et les racines des équations qui se présentent dans la division de la lemniscate : on peut généraliser ce résultat et Tétendre à toutes les équations abéliennes dont les coefficients contiennent des nombres irrationnels déterminés et racines d'équations algébriques.

» J'ajoute encore une remarque : si Ton applique à la forme ( 3 ) le théorème précédent sur les racines des équations abéliennes à coefficients entiers, on trouve que la racine de toute équation résoluble du degré /x à coefficients entiers peut être regardée comme une somme de racines ^iëmes jg nombres complexes rationnels formés avec les racines de Tunité. Ainsi la forme nécessaire et suffisante la plus générale de toute racine d'une équation résoluble du degré [jl à coefficients entiers s'exprime au niovt*n de ces nombres complexes : toutefois, la recherche eHeclive de celte forme exige une suite de propositions sur lr> nombres qui dépasseraient les bornes de cette coniniunication. »