I, T, T*, ..., TP

et désignons par 0/ le résultat obtenu par la substitution T'. Représentons aussi par a une racine de Féquation

jtP— I

et posons

la fonction Q, est évidemment invariable par la substitution T qui a pour eflct de déplacer circulairemcnt les quantités

elle ne varie pas non plus par les substitutions de F, car on a

et, en exécutant une subslilulion S,

On peut conclure de là que la fonction Q est invariable par toutes les subslilutions du système G, qui esl actuellement propre à Téqualion proposée. Il s'ensuit que la valeur de 0 est actuellement connue; si donc on adjoint à Tccpialion le radical

SECTION V. — chapithe y. ^^^^^

la fonction

sera connue.

Les seules substitutions qui laissent cette fonction invariable sont celles de F, et, par conséquent, d'après le théorème VI, T devient, par l'adjonction de VÛ, le système conjugué propre à Téquation.

88S. Les propositions que nous venons d'établir per mettent d'aborder la solution de ce problème :

Dans quel cas une équation est-elle résoluble par radicaux ?

A cet effet, Galois observe que, dès qu'une équation est résolue, une fonction quelconque de ses racines est connue, même lorsqu'elle n'est invariable par aucune substitution. En conséquence, le système conjugue propre à l'équation ne contient plus alors que la seule substitution identique, celle qui est égale à l'unité.

La solution du problème qui a pour objet la résolution d'une équation doit donc consister dans l'abaissement successif de l'ordre du système conjugué propre à l'équation.

« Suivons, dit Galois, la marche des opérations pos- » sibles dans cette solution, en considérant comme opé- » rations distinctes l'extraction de chaque racine de de- » gré premier.

» Adjoignons à l'équation le premier radical extrait » dans la solution. Il pourra arriver deux cas : ou bien, » par l'adjonction de ce radical, l'ordre du système con- » Jugué propre à l'équation sera diminué (*); ou bien,

(*) J'indique par des italiques les lé(;ers changements que nécessito ici l'emploi exclusif des systèmes de substitutions que nous avons adoptés au lieu des groupes de permutations dont Galois fait usa(;o.

602 COURS D^ÂLGÈBUE supéhieure.

)î cette extraction de racine n'étant qu'une simple pré- » paration, le système propre à t équation restera le ) même.

» Toujours sera-t-il qu'après un certain nombre ^m )> d'extractions de racines, r ordre du système propre à » l'équation devra se trouver diminué, sans quoi l'équa- :) tion ne serait pas soluble.

» Si, arrivé à ce point, il y avait plusieurs manières » de diminuer Tordre du système propre à l'équation » proposée par une simple extraction de racine, il fau- )) drait, pour ce que nous allons dire, considérer seule- » ment un radical du degré le moins haut possible parmi » tous les simples radicaux, qui sont tels, que la connais- » sance de chacun d'eux diminue Vor.dre du système » propre à l'équation.

» Soit donc p le nombre premier qui représente ce » degré minimum, en sorte que par une extraction de » racine de degré p on dimiuue V ordre du système propre » à l'équation.

» Nous pouvons toujours supposer, du moins pour ce » qui est relatif au système propre à l'équation, que, » parmi les quantités adjointes précédemment à Téqua- » tion, se trouve une racine yy»*^™* j^ l'unité ; car, comme » cette expression s'obtientpardesextractions de racines » de degrés inférieurs à p, sa connaissance n'altérera en )) rien le système propre à l'équation. »

On voit ici toute l'importance des théoièmes ill et IV. Dans l'hypothèse admise, le système conjugué propre r. Téquation qui est actuellement G se réduit à un système F d'ordre inférieur; il en résulte, d'après les théorèmes III et IV (corollaire), que Tordre de F est un diviseur do l'ordre G, et que ce système reste invariable quand ou exécute dans les cycles de toutes ses substitutions Tune

quelconque des substitutions de G. Et réciproquement, d'après la proposition VII, G étant le système d'ordre V :=::: [jLp actuellement propre à l'équation, si l'on peut trouver un système F d'ordre ii qui soit contenu dans G, et qui reste invariable quand on exécute les substitutions de G dans les cycles de toutes ses substitutions, F deviendra, par l'extraction d'une racine ^^*™« et par l'adjonction de cette racine, le système propre à l'équation.

Ainsi ces propositions découvertes parGalois, et dont nous avons donné des démonstrations complètes et rigoureuses, indiqucfnt la condition nécessaire et suflisante pour l'abaissement de l'ordre du système conjugué propre à l'équation.

Cet ordre ayant été abaissé une première fois par l'adjonction d'un radical, on peut raisonner sur le nouveau système conjugué comme sur le précédent, et il faudra qu'il se réduise aussi de la même manière, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à un système qui ne contienne plus que la seule substitution égale à l'unité.

S86. Il est aisé d'observer cette marche, comme l'a remarqué Galois, dans la résolution connue de l'équation générale du quatrième degré.

Soient

a, b, Cy d

les racines. Le système conjugué G propre à l'équation est ici le système des i. 2. 3. 4 = ^4 substitutions des quatre racines, et l'on obtient (n® 443), en faisant le produit des quatre systèmes,

I, [a,b)[cyd), I, [a,c] (6,rf),

1, [byc).

664 COTTHS D*ALGÈBRE SUPÉRIEmiS.

L'équation dont il s'agit se résout au moyen d*une équation du troisième degré, laquelle exige l'extraction d'une racine carrée. Dans la suite naturelle des idées, c'est par cette racine qu'il faut conmiencer. En adjoignant cette racine carrée à l'équation proposée, on réduit à 1 2 (théorème VII) l'ordre du système conjugué propre à l'équation, lequel devient alors égal an produit des trois

I, [by c, d)^ (*,€/, c). .

Maintenant, par l'extraction d'une racine cubique, on réduira à 4 l'ordre du système propre à l'équation; ce système est le produit des deux

L'extraction d'une racine carrée réduira à a l'ordre du système qui deviendra ainsi

enfin, par une dernière extraclion de racine carrée, le système propre à l'équation se réduit à l'unité; alors Téquation est résolue.

Suite des recherches de Galois, — Applications aux éijuations irréductibles de degré premier,

587. Les applications de la théorie que nous venons d'exposer offrent encore bien des difiicultés {•). Nous

(') M. C. Jor.lan a présenté à rAcadtxnie des Sciences des recfaorcbcs nouvelles sur ce sujet.

nous bornerons à celle que Galois en a faîte aux équations irréductibles dont le degré est un nombre premier.

Lemmc. — Une étjuafion irréductible de degré premier ne peut dex^enir réductible par l* adjonction d'un radical dont l'indice serait autre que le degré même de V équation.

En effet, supposons que l'équation irréductible

de degré premier /i, devienne réductible par l'adjonction d'un radical. Comme l'extraction d'une racine de degré composé se ramène à des extractions successives de racines de degrés premiers, on peut supposer que l'indice du radical dont il s'agit est un nombre premier. Seulement, si la quantité soumise à ce radical ne fait pas partie des quantités actuellement connues, on devra la regarder comme adjointe à l'équation. •

Cela posé, soit m le plus petit nombre premier tel, que l'équation (i) devienne réductible par l'adjonction d'une racine d'une équation de la forme

A étant une quantité connue ou une quantité dont l'adjonction laisse l'équation (i) irréductible. Les racines de l'équation

peuvent être regardées comme faisant partie des quantités connues, en ce sens que ces racines s'obtiennent par des extractions de racines de degrés inférieurs à m, et que, d'après notre hypothèse, leur connaissance ne suffit pas pour effectuer la réduction de l'équation.

Soient r une racine de l'équation (2] et a une racine

666 COURS D^ ALGÈBRE SUPÉRIBUAB.

primitive de Téquation (3); les racines de l'équation (a' seront

Maintenant, si l'adjonction de r réduit Téquation (i), soit 9(:r, r) le diviseur irréductible de /'{jc) qui a le moindre degré; le polynôme y (j:) sera divisible par chacune des fonctions

Le produit de ces diviseurs est une fonction symétrique des racines de l'équation (2), et, par suite, il est exprimable rationnellement par les quantités connues ; d'ailleurs ce produit ne peut s'annuler que pour les valeurs de X qui satisfont à l'équation (i); donc, puisque cette équation est irréductible, le produit dont il s'agit estnécessairemcnt une puissance dey(x), et l'on a

Si les deux équations

ont une racine commune, elles ont toutes leurs racines communes; car, si le contraire avait lieu, les premiers membres de ces équations auraient un diviseur commun ^(x, /•) qui serait rationnel relativement aux quantités connues, et <f{jCy r) ne serait pas le diviseur dey(x) du degré minimum.

Alors, si Ton extrait la racine ^'*°*' des deux membres de la formule (4); on aura un résultat de la forme

(5) /(x) f{,r, r) y'x, ur)^[x,Cr) . .. ^ x, er),

ûr, 6, ..., e désignant des racines de l'équation (3). Mais, le degré dey'(x) étant un nombre premier, la formule (5^

ne peut avoîr lieu que si les polynômes cj» sont du premier degré, et la formule ( 4 ) montre que m est divisible par n ; d'ailleurs m est premier: donc on a m = /i.

Corollaire. — Une équation irréductible de degré premier ne peut dev^enir réductible, à moins que le syS" tème conjugué qui lui est propre ne se réduise à la seule substitution égale à l'unité.

En effet, d'après le lemme précédent, si Téquation proposée se réduit, son premier membre se décompose en facteurs linéaires, et, par suite, elle se trouve résolue.

588. Il nous reste à faire connaître les théorèmes par lesquels Galois a exprimé la condition de résolubilité des équations de degré premier.

Théorème I. — Si une équation irréductible/ [x) = o, d'un degré premier /i, est résoluble par radicaux, ses n racines pourront être représentées par Xz [l'indice z, pris suivant le module n, devant être réduit à l'un des nombres o, i, 2, ..., [n — i)], de telle manière que le système conjugué actuellement propre à l'équation ne renferme que des substitutions linéaires et entières y

c'est-à-dire des substitutions de la forme ( j»

aetb étant des constantes.

En effet, l'adjonction successive de quantités radicales réduira, par hypothèse, à l'unité le système conjugué propre à l'équation, et, d'après le lemme précédent, cette équation restera irréductible jusqu'à la dernière adjonction. Celle-ci, qui est celle d'un radical d'indice /i, opère non-seulement la réduction, mais encore la résolution de l'équation (n<*587), et, d'après le théorème du n** 580, elle divise par n l'ordre du système conjugué propre à l'équation.

668 corms d'algèbie supÉmiEUBC.

Donc, immédiatement avant d'être réduit à Tunilé, Tordre du système propre à Téquation sera égal à n. Mais, quand Tordre d'un système conjugué, relatif à on nombre premier n de lettres, est égal à n, le système se compose des puissances d'une substitution circulaire d'ordre n (n** 426, corollaire III); donc Tavant-demier système propre à Téquation sera formé par les puissances d'une substitution qui sera représentée par

si les 71 indices ont été convenablement distribués entre les n racines. En d'autres termes, le système dont il s'agit se composera des n substitutions linéaires de la forme

où l'on doit donner ^hn valeurs congrues aux nombres

suivant le module n, les indices étant pris, comme nous l'avons dit, suivant le môme module.

Cela posé, je dis qu'en remontant de cet avant-dernier système jusqu'à celui qui est actuellement propre à Wquation, on ne rencontrera dans chaque système que dos substitutions linéaires et entières de la forme

az -\- b\

Cette proposition étant établie à l'égard de l'avant-dcrnîcr système, il nous suffit de démontrer que, si elle a lieu pour un système quelconque F, elle subsiste pour le système G qui précède immédiatement T dans Tordre dos réductions. A cet effet, remarquons que, si T n'est pas Tavanl-

SECTION V. CHAPlTRfi V. 669

dernier système, il renferme néanmoins les substitutions de celui-ci ; soit S/ Tune déciles, on aura

6 étant l'un des nombres i, a, 3, ..., {n — i). Maintenant, si Ton désigne par T Tune quelconque des substitutions de G, on aura, quel que soit /, par le théorème

dun«581,

TS,T, = Sy, ou TS, = Sj T,

Sy étant une substitution de F : cette égalité exprime que Sy est une substitution semblable à S/; en conséquence, cette substitution est circulaire. Or, d'après notre hypothèse, le système F ne renferme que des substitutions linéaires et entières; il s'ensuit que ce système ne peut avoir deux substitutions circulaires S, et Sy d'ordre n qui ne seraient pas puissances l'une de l'autre, car autrement il contiendrait les n^ produits de la forme SfSJ qui seraient tous distincts, et cela est impossible, puisque le nombre total des substitutions linéaires est seulement n {n — i). Ainsi Sy est une puissance de S/, et l'on a

Posons

z-¥a\ zl'

on aura

et, par conséquent,

si l'on remplace z successivement par -z-i-o, z -i- aS, ...,

670 cou as d'algèbre supéhieurb.

z -:- Zo, il viendra

F(z-h2e; --rF(3-f-e)-f- a:~F(3) -f-2tf, Y[z -+-3e)--F(z -€)-f-2^7-~F(z) -h 3^, ....•....• ••••••)

F(2 -^- Ze; =.: F(z H- 6) 4- (Z — i)rt = F(3) -h Ztf;

enfin, si dans la dernière de ces égalités on pose ë = 1, z = o, F(o) = hj on aura

F(Z; = aZ -h ^

a et i étant des constantes. Ainsi le système G ne renferme que des substitutions de la forme

Cette conclusion s'applique en particulier au système qnî est actuellement propre à Téquation.

589. Théorème II. — Réciproquement, si le système G actuellement propre à l'équation irréductible f[x) = 0 de degré premier n ne renferme que des substitutions de la forme

az-^-b

V équation est résoluble algébriquement.

En effet, désignons par a une racine de l'équation

et par r une racine primitive pour le nombre premiers; posons en outre

Toute substitution du système G est le produit d'une puissance de la substitution

par une puissance de la substitution

Les quantités

(5) Xl, X;., X;.*, ..., X;."-»

sont invariables par la substitution (3) (n®494), et elles sont déplacées circulairement par la substitution (4); > donc toute fonction Z des quantités (5), qui reste invariable par la substitution (4) effectuée sur les indices des fonctions X, est une fonction des racines x©, JCt, ..., Xn^t qui est invariable parles substitutions du système G; par conséquent (n^ 578), cette fonction S est rationnellement connue.

En particulier, si Ton désigne par X une racine de Téquation

et que Ton fasse

la quantité S sera connue; donc la quantité

Xj -I- >X^ H- >* X;.* -+- . . . 4- >"-« X^-1 = ""V^

sera elle-même connue après l'extraction d'une racine de degré n — i .

En prenant successivement pour X chacune des racines de l'équation x'*~* — i = o, on aura n — i équations qui feront connaître les quantités (5); ensuite, si l'on extrait la racine /i»*™« des équations (a), on aura un système de

672 COLAS d'algèbre SUPÊRIEUBE*

n — 1 équations du premier degré qui détermineront les n racines x^ puisque la somme de ces racines est connue.

Ainsi Téquation proposée est résoluble algébriquement dans notre hypothèse.

590. Au moyen des théorèmes qui précèdent, Galoîsa pu énoncer, comme il suit, la condition de résolubilité des équations irréductibles de degré premier.

Théorème III. — Pour qu'une équation irréductible de degré premier soit résoluble par radicaux, il faut et il suffit que la uèsolvante de Lagrange ait une racine rationnelle.

En effet, cette résolvante de degré i, a, 3,..., {n — 2) a pour racines les diverses valeurs que prend, par les substitutions des racines x, une fonction symétrique des quantités (5) du n*' 589, par exemple la fonction

où X représente une indéterminée. Or il résulte des théorèmes I et II que, si la proposée est résoluble, cette quantité est connue quel que soit X: donc la résoKanle dont oHe dépend doit avoir une racine rationnelle.

Réciproquement, si la résolvante a une racine rationnelle, la proposée est résoluble : car, dans ce cas, la fonction que nous venons de considérer est connue, quel que st>it X : c'est la racine rationnelle de la résolvante; or cette fonction n'est invariable que par les seules substitutions de la forme 1 " j : donc le système propre à IV-

(] nation ne renferme que de telles sul)Stituti(»ns ^ n**583 . et par conséquent iji^ 589) Téquatiou proposée est résoluble.

SECTION V. CHAPITRE V. 6y3

501. La condition de résolubilité que nous venons de trouver peut encore être formulée d'une autre manière : tel est Tobjet des propositions suivantes :

Théorème IV. — Si une équation irréductible de degré premier est résoluble par radicaux, les racines sont toutes exprimables en fonction rationnelle de deux quelconques d'entre elle.':.

En effet, d'après le théorème I, le système conjugué qui est actuellement propre à Téquation ne renferme que

des substitutions de la forme f '^ j • Or une telle substitution, qui ne se réduit pas à Tunité, déplace les n indices si C--I, et elle déplace n — i indices si a est différent de i . Il résulte de là que, si l'on adjoint à l'équation deux racines

le système propre à cette équation ne pourra plus contenir que la seule substitution égale à l'unité ; car, d'après le théorème du n** 583, les substitutions de ce système ne peuvent déplacer les indices a et S. Donc, les racines x^ et Tf étant regardées comme connues, toutes les autres racines sont en même temps rationnellement connues.

592. Théorème V. — Réciproquement, si toutes les racines d'une équation irréductible de degré premier sont exprimables rationnellement en fonction de deux quelconques d'entre elles y l'équation est résoluble par radicaux.

En effet, soient x«, x^ deux racines quelconques de l'équation proposée

Soient G le système conjugué actuellement propre à l'équation, F ce qu'il devient après l'adjonction de x^ et S. — Alg, sup,. 11. 43

avant celle de x^. Soit aussi

(»-) F(V)--rO

Téquation irréductible que nous avons nommée résol%fanle et dont le degré exprime Tordre du système G.

L^équation (a) devient réductible par Tadjonction de x^, car soit V© Tune de ses racines, x« est exprimable en fonction rationnelle de V© ; et si Ton pose

on pourra supposer (n^ 182) que ^ soit une fonction entière de degré inférieur à F (V). La racine V© est ainsi commune à Téquation

et à Téquatlon ( 2); par conséquent celle-ci cesse d'être irréductible. Mais alors la réduction s'opère (n*^ 580) par la décomposition de F(V) en p facteurs du même degré, p étant un diviseur du degré de Téquation auxiliaire irréductible dont dépend la racine adjointe. Ici cette équation auxiliaire n'est autre que la proposée ellemême dont le degré est le nombre premier n ; par conséquent on di p =^ n. Ainsi l'ordre du syslème F est la w'^"* partie de Tordre G.

Passons à l'adjonction de la racine x^, La racine x, faisant actuellement partie des quantités connues, la racine Xe, qu'il reste à adjoindre, est racine d'une équation irréductible

(3) /i(a:, Xa) r-o,

dont le premier membre est égal au quotient - - ou

il un diviseur rationnel de ce quotient, et, par hypothèse, l'adjonction de Xç doit réduire à l'unité le système propre ù l'équation, lequel est actuellement F. Mais, en vertu

du théorème du n** 580, par radjonction dont il s'agit, Tordre du système propre à réquation est divisé par un facteur m du degré de l'équation auxiliaire, lequel est au plus égal kn — i ; donc Tordre de F est égal à m, et par suite Tordre de G est égal à nin.

Le système G ne peut renfermer une substitution qui laisserait deux indices immobiles, car, les racines étant exprimables rationnellement par deux quelconques d'entre elles, supposons que Ton ait

les différences

sont actuellement connues, puisqu'elles sont nulles; or une substitution autre que l'unité, qui laisserait immobiles les indices a et 6, ferait varier quelques-unes de ces différences. Une telle substitution ne peut donc appartenir à G (n** 578), et, par suite, à F.

Maintenant le système F se compose de celles des substitutions de G qui ne déplacent pas l'indice a (n° 583) ; donc il y a dans G, outre l'unité, m — i substitutions qui laissent l'indice a immobile, et, comme on peut en dire autant des autres indices, on voit que le système G renferme [m — i)/z-hi ou mn — [n — i) substitutions qui ne dépIacentpassimuItanémentles/iindices.Donc le nombre des substitutions de G qui déplacent tous les indices est égal à w — 1 ; je dis que ces substitutions sont circulaires et puissances les unes des autres. En effet, soit T Tune de ces substitutions; décomposons-la en cycles, et soit

Tordre de T est un diviseur de nm] si donc T ne se réduit pas à un cycle unique d'ordre n, Tordre de cette substitution sera égal à un diviseur d de m. Dans notre

6y6 COUKS D*ÀLGÈBRE SUPÉRIEURE.

hypothèse la substitution T déplace toutes les racines : elle n*a donc pas de cycles du premier ordre, et elle est irrégulière, puisque le nombre n des lettres est premier. Soit $ Tordre du cycle le moins élevé ; la substitution T* laissera deux lettres au moins immobiles : donc elle ne peut appartenir à G; par conséquent la substitution T ne peut elle-même faire partie de G.

Ainsi le système G renferme une substitution circulaire T de Tordre «, et les puissances de T sont les seules substitutions de G qui déplacent tous les indices. Alors, si Ton désigne par

(l) I9 St, Sj . . . , S„;l

les substitutions de F, on obtiendra le système G en multipliant les substitutions (i), soit à droite, soit à gauche, par le système conjugué

formé des puissances de T. Deux des produits ainsi obtenus sont en effet distincts et ils font partie de G. Cela étant, on peut distribuer les indices o, 1 , j, • • • des lettres x de manière que la substitution T soit

Désignons alors par

une substitulionquclconquc deG; la substitution LTl"* semblable à ï fait partie de G, elle est circulaire, et eWe coïncide, d'après ce qui précède, avec Tune des puissances de T ; ainsi Ton a

UTU-» == T' ou UT -- T'V,

a étant un exposant convenable. Celle égalité revient

SECTION V. CHAPITBÈ V. ^77

remplaçant successivemcnl z par z-^-iy z -{- ij ...» 3 -f- Z, on trouve

F(3-4-Z)^:F(3)-4-^Z; faisant enfin z =- o, F(o) -- i, il vient

ainsi le système G ne renferme que des substitutions de la forme az -\~ b; donc Téquation proposée est résoluble d'après le théorème II.

593. La théorie que nous venons d'exposer fournit une démonstration nouvelle de Timpossibilité de résoudre algébriquement les équations générales au delà du quatrième degré. EfTeclivement, dans le cas de l'équation générale du cinquième degré, la condition du théorème IV n'est pas remplie, et par conséquent l'équation n'est pas résoluble. L'impossibilité de résoudre l'équation générale du cinquième degré entraîne d'ailleursla même impossibilité à l'égard des équations générales de degré plus élevé.

Recherches de 31, Hermite.

594. Il ne sera pas inutile de présenter ici une analyse remarquable que M. Hermite m'a communiquée, et qui a pour objet la démonstration de ce théorème de Galois :

Etant données deux quelconques des racines d^iCne équation irréductible de degré premier ^ soluble par radicaux j les autres s^en déduisent rationnellement,

Lemme I. — Soient

une équation irréductible de degré quelconque n, et

ses n racines. Si toutes les /onctions des racines in"

variables par les substitutions de la forme Xk, J'a+i

oui ~^ J (les indices étant pris comme fait Galois,

suivant le module n) sont rationnellement connues, on pourra déterminer rationnellement une Jonction entière <f(x) du degré n — i , telle que ton ait

On a, en effet,

F(j:) =r (a: — :ro) (j: — X,) ... (jr — ^r--i)>

et, si Ton pose

^ ^ ' X — :ro F\x„j -r — xj ¥'[Xi) Js — x«i t (x^.jj

il est évident que cp(x) sera une fonction entière du degré n — 1 en X et que ses coefficients seront des fonctions des racines invariables par les substitutions de la forma ^A> «^^A+i ; on voit aussi immédiatement que Ton a

ce qui démontre la proposition énoncée.

l)\)o. Lemme II. — Si une équation irréductible de degré premier n est telle, que toutes les fonctions des racines invariables par les substitutions de la forme Xk, x.v^i, et de la forme x^, x^, p désignant une racine prindtisfe de n, soient rationnellement connues, on pourra déterminer rationnellement une fonction entière de y [x) de degré n — 1 , telle que ton ait

les indices étant pris toujours suivant le module n etl désignant une racine de l'équation binôme i""* = i.

Pour démontrer cette proposition, nous ferons voir que le système des équations linéaires ainsi posées entre les coeflîcients indéterminés de la fonction (f n*est pas altéré lorsqu^à la place d'une racine quelconque x^ on met xa^i et aussi quand on remplace Xk par x^^»

Le premier point est évident, puisque chaque équation se déduit de la précédente en ajoutant une unité aux indices des racines, et qu'en opérant de la sorte sur la dernière on reproduit la première.

Le second point se vérifie aussi immédiatement par rapport à l'équation

car la [n — iy*«« puissance de la fonction linéaire

ne change pas quand on multiplie cette fonction par 'k ; or cela revient à multiplier les indices des racines par p, ce qui ne change pas non plus le second membre cp(xo). Mais les autres équations du système ne se comportent plus de même. Dans l'une quelconque d'entre elles

faisons (x^=^p^ (mod. /i), ce qui est possible, puisque a ne reçoit plus la valeur zéro ; il viendra

[ ' ' (-^i-f-fî^-r- >-rp+e''-*" ^'•V-»-?'* -^ • • • -r- X^-'x^»- ^^.pl») '»"* '^<^{jr^:^],

et, en multipliant les indices parp.

68o couas d^algèbke scpêeievee.

Or la (/2 — iy*me puissance de la fonction linéaire

ne change pas quand on multiplie cette fonction p?-r / ; au lieu de Téquation (2), on peut donc écrire la suivante:

Or, en remarquant que p'^^^zzi^i (mod. /i), on reconnaît que celle-ci se déduit de Téquation (i) par le changement de /x en |UL -;- 1 .

Il suit de là que la substitution Xm, x^ ne fait que permuter circulairemcnt nos équations, rangées, à partir de la deuxième, suivant Tordre des valeurs croissantes de fi. En les résolvant par rapport aux coeffîcients de ç, on sera conduit à des fonctions rationnelles des racines, invariables par les substitutions xa, Xa+i et x*, x^kl de sorte que ces coefficients s'exprimeront bien rationnellement, comme nous l'avons annoncé. Notre lemme est donc démontré, et l'on en déduit le suivant :

596. Lemme III. — Si une équation de degré premier est résoluble algébriquement, l'équation de degré moindre d'une unité, qu'on forme en divisant son premier membre par un de ses /acteurs linéaires, oppar^ tient à la classe des équations abélieimes.

En eiret, relativement à Téqualion de degré n — i . qu'on obtient par la suppression du facteur x — .r^, cl dont les racines ont été représentées par

on connaît rationnellement la fonction résolvante

SECTION V. CHÀPITKE V.

597. Les trois Icmmes que nous venons de démontrer permettent maintenant d'établir très-aisément le théorème que nous avons en vue. Faisons pour un instant

Puisque nous connaissons (lemme III), en fonction rationnelle de x«, Tcxprcssion

(Xo 4- aXi -h A*X, H- ... 4- ^«-'X,,-,)"-*,

nous devons pareillement regarder comme connue toute fonction rationnelle des racines X^, invariable par les substitutions de la forme Xa, Xa+|. Cela nous place dans les conditions du lemme I ; ainsi nous pouvons former une fonction (f telle qu'on ait généralement

D'ailleurs, les coefficients de cette fonction s'exprimeront rationnellement par les quantités connues et la racine X,; de sorte qu'en mettant cette racine en évidence nous aurons

Or on peut prendre p*£:£z S, 6 étant un entier arbitraire, mais essentiellement différent de zéro; il vient ainsi

Cette équation exprime précisément la relation que nous nous proposions d'établir; elle montre très-facilement comment toutes les racines s'expriment de proche en proche, au moyen des deux racines arbitraires x., Xe.4^ , et met immédiatement en évidence dans quel ordre elles naissent ainsi les unes des autres.