I -h 2'îr

et la valeur^ = i donne X| = i3.

La racine demandée est donc

290. On ramène au problème dont nous venons de nous occuper celui qui a pour objet de trouver un nombre N qui ait des résidus donnés a, a^, a^y . . . , suivant des modules donnés M, M|, Mj, ....

Le nombre cherché N doit satisfaire aux congruences

(f) N~=<2(mod.M), N==/7j(mod.M,), N^a2(mod.Mtj, ...: la première donne

Nnrû4-M

et, pour que le nombre N ainsi déterminé satisfasse aussi à la deuxième des congruences (i), il faut que Ton ait

ii-4-Mjr=i3ii|(mod. M|) ou Mjr-\-[a — a^)=^o (mod. M|).

Si le plus grand commun diviseur d des nombres M et M| ne divise pas a — ai , le problème proposé n*admettra pas de solution; dans le cas contraire, la précédente congruence peut s'écrire

et, si Ton désigne par a sa racine, cette congruence ne sera satisfaite que par les valeurs de x données par la

SECTION m. CHAPIT&B T. II

formule

jr = a H — — ar|,

X\ étant oae indéterminée. En posant

a + Ma = «<*),

on obtient cette expression de N

Sî Ton veut que cette valeur de N satisfasse à la troisième des congruences (i), il faudra que Ton ait

aC) H — î arj ^3«j (mod. M,),

ou

— - XjH- (a(*) — ûj)^o (mod. Mj);

si le plus grand commun diviseur d\ des nombres —^

et Mj ne divise pas a^*^ — a^j la précédente congruence sera impossible; dans le cas contraire, elle se ramènera à la forme

et, en appelant «i sa racine, on devra poser

^2 étant une indéterminée. Faisant alors

,,. MMi ,,,

^C») -^ ^' «j = aC'^,

l'expression de N sera