MM, M
aai
On peut continuer de cette manière jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les congruences proposées , et si Ton ne rencontre aucune congruence impossible , l'expression demandée aura la forme
X étant une indéterminée, et fx désignant le plus petit commun multiple des modules M, M i, M2, ....
291 . Le cas d'un nombre m de congruences du premier degré, à m indéterminées, peut être résolu au moyen de ce qui précède. Supposons qu'on demande les systèmes de solutions des congruences
[a^x -f- b^X -+- Cq z -f . . . -h /'o " -H /o ^^O
Les valeurs de l'une quelconque des inconnues, qui figurent dans les systèmes de solutions cherchées, dépendent d'une congruence linéaire qu'on peut facilement former. Effectivement on peut toujours trouver, par la théorie des équations du premier degré, m nombres entiers ^o> ^1 ) • • • 7 ^/ii.i qui n'aient aucun diviseur commun avec le module et qui satisfassent aux m — i équations
*0 Ço -J- *1 Ç| -+-••• -*- ^m-l Çm-l = O,
V ^f Ço -+- ^i 5i -^ • • • -+- ^ m-t Çm~i = o;
SECTION m. — CHAPITRE I. 23
alorsy sî l'on ajoute les congruences (i) après les avoir multipliées par Ço> $o • • m ?/ii-i respectivement, et que l'on fasse, pour abréger ,
«0 So -^ û| Si -^ • • • -^ ^m-l Çm-I = «1
on aura
ojr-h/Ezzo (mod. M).
On peut opérer de la même manière à Tégard des inconnues j^, ^, ..., et Ton formera ainsi m congruences, dont chacune ne contiendra qu'une seule inconnue et qui admettront toutes les solutions du système proposé. Mais la réciproque de cette proposition n'a pas lieu, et il pourra arriver que diverses solutions du système obtenu par notre méthode ne conviennent point au système proposé. Dans la pratique, il sera en général plus simple de procéder par éliminations successives et de remplacer le système ( i) par un autre dans lequel chaque congruence renferme une inconnue de moins que la précédente.
Exemple. — Soient les congruences
I3j^ -\- 5y -i- z-i-4 1 2jr-i- 3j 4- 2 3^= 7 / (mod. 12), 5j- -h j -+- 3s E=^6 /
que Gauss a choisies pour exemple dans ses Recherches arithmétiques. Si l'on tire de la première la valeur de z pour la porter dans les deux autres, on aura ce nouveau système :
12=34 — 3jr — 5^ ] 4-^^-7J^^ï / (mod. 12);
^jn -I- 2je=h6 /
éliminant ensuite x entre les deux dernières, on a ce
a4 COURS d'algèbre SUPÉRIEtniS.
troisième système :
(3) J ^jc=:j2i — 'jx \ (mod, 12).
La dernière congruence du système (3) n*a qu*uQe seule racine, qui est — i ou 1 1 . La deuxième des congruences (3) donne ensuite
^x=^6 (mod. 12)
ou
j:ïi22 (mod. 3J.
On a ainsi quatre valeurs de Xy savoir :
:r = 2, 5, 8, II.
La première congruence (3), qui se réduit à
à cause de^ = — i , donne les quatre valeurs correspondantes de z, savoir
Sur le nombre des racines de la congruence x^ — 1^0 (mod. M).
292. Pour que le produit (x -h i) {x — i) soit divisible par M, il faut et il suflit que x — i contienne tous ceux des facteurs premiers de M qui ne figurent pas dans x-\-i; d*ailleurs x — 1 et j: -f- 1 ne peuvent avoir que les diviseurs 1 et 2 communs, puisque leur différence est égale à 2. Donc, pour résoudre la congruence
(i) jr*— 1 = 0 (mod. M),
il suiUra de poser de toutes les manières possibles
