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3a covRS d'algèbre supérieure.

nous avons vu que, dans le second membre de celle formule, lous les lermes sonl divisibles par p, à TexceptioD du premier et du dernier ; on a donc

[u-{-v]Pei^uP-{'vP [moâ,p).

Soient mainlenanl a nombres entiers «i, as, .. ., oTa^ on aura, d'après la formule précédente,

(ai -^-a, -4-.. .-4-aa)''=^«f-h >, -i- . . . 4- a« j''

(aj -^«3 4-.. .-f- a^j'^z^af-f- -aj-:-.. .-ha^)/' ^

et, en ajoutant,

(aj -f- a, -f-. . . -+- a^ l'*^ af -+- af -h . • • "f- «S (mod. />}.

Supposons maintenant que les nombres ocf^ «s, ..., fle« se réduisent tous à Tunité, on aura

aP^a (mod. /?},

ou, en divisant par a,

û'*-'*ï=^i (mod./?).

Théorème de Wilson.

294. Théorème. — Si p est un nombre premier^ la somme i . 2 . 3 . . . (/> — i ) -H i est dwisible par p ; en d'autres termes, on a

i.a.3...(/? — i)== — I (mod, p).

Première démonstration. — Soit a l'un quelconque des nombres

(i) ii a, 3, ..., [p — i),

et formons les multiples de a

Dans la suite (2), il y a un terme congru à i, et il n'y en a qu'un seul; supposons que ce soit a a, on aura

aaEE=i (mod./j).

Les nombres a eta sont inégaux, à moins que a ne soit égal àiouà/7 — I. Si, en effetj on a a=a,a^ — i=(a — i)(a-Hi) est divisible par^ ; or pesl premier, il divise donc a — i ou a-l-i, et, comme a est <^p, on a nécessairement a = i ou a=p — I.

Il résulte de là que les nombres

peuvent être associés deux à deux, de manière que le produit des deux associés soit congru à l'unité, et, en multipliant entre elles les congruenccs ainsi obtenues, on aura

a.3.4--.(i^ — 2)==! (mod./?); multipliant enfin par p — i , on a