i) (fl'*"*— i) HHso (mod

On peut diviser cette congruence par le produit

i.2.3...(^ — i) qui est premier avec le module, et

Ton a

n'^*— i=3o (mod. /?],

ce qu'il fallait démontrer.

SECTIOlf III. CHAPITRE I. 3l

Deuxième démohsteatiok. — Si Ton élève à la puissance p le binôme

(a — ij-hi,

dont la valeur est a, on aura

I « 2 « • «Al

dans le second membre de cette formule, tous les termes sont divisibles par p, à Texception du premier et du dei^ nier, car le coefficient

est un nombre entier, et cet entier est évidemment divisible par p si k est <!/?• On a donc

aP=^[a — ij'^-f-i (mod./>), et, en retranchant a, de part et d^autre,

aP — a=:=[a — i)P'- {a — i) (mod. /?).

Cette formule montre que la différence aP — a n'est altérée que par un multiple de p^ quand on diminue a d'une unité ; il en est donc de même quand on diminue a de 2, 3, . . ., a unités; on a, en conséquence,

aP — a^zio (mod. /?),

et, en divisant par a, nombre premier au module, il vient

aP-^ — lEi^o (mod. p).

Troisième DÉMONSTRATion. — On a, quels que soient les entiers u et u,

(« '^v)P = uP-^^ uP-^ v-\-, ..

plp — i)'"{p — Z' + i) . .