DES RÉSIDUS DES PUISSANCES ET DES GONGRUENGES BINOMES

Des nombres qui appartiennent à un exposant donné relativement à un module donné,

303. Le nombre a étant premier avec le module M, considérons la suite indéfinie des puissances de a^ savoir

Comme cette suite renferme un nombre illimité de termes, et qu'on ne peut trouver qu'un nombre limité 9 (M) de résidus distincts, il y aura nécessairement deux puissances, telles que a" et a"**^, qui seront congrues suivant le module M. On peut diviser la congruence

(2] a'»+^ = a^ (mod. M)

par a% qui est un nombre premier au module, et il vient alors

(3) fl^si (mod. M).

Réciproquement, si la congruence (3) a lieu, la congruence (2) aura lieu aussi, quel que soit l'exposant v.

Il résulte de là que, si n est le plus petit nombre tel que la congruence (3) ait lieu, les résidus de la série (i) formeront une suite périodique dont la période comprendra n termes incongrus suivant le module M, et qui seront les résidus des puissances

I, rt, fl', . .., a'*-*.

48 COURS D*ALGÈBRE SUPÉRIEURB.

Ceux des termes de la série (i), autres que Funité, qui donnent le résidu (i), sont, d'après cela,

^n gAn gj%n •

or, d'après le théorème de Fermât généralisé, on a

«»<")£==! (mod.M;:

donc ç(M) est un multiple de /i.

Lorsque n désigne le plus petit nombre positif, tel que a" ==1 (mod.M), on dit que le nombre a appartient à V exposant 71, relativement au modale M. On peut alors énoncer cette proposition :

Théorème. — L'exposant auquel appartient, relatif uement au module M, un nombre quelconque premier avec ce module, est un diviseur de cp (M).

304. On peut encore arriver à ce résultat par une autre méthode qui ne suppose pas le théorème de Fermât et qui conduit même à une démonstration nouvelle de ce théorème.

Quel que soit l'entier a premier avec le module M, la suite des puissances

(i) I, fl, «S «', ..., rt'», ...

donne, comme nous venons de le dire, un certain nombre n de résidus distincts qui sont ceux des puissances

(a) I, a, rt*, a', ..., ««-*,

et n est le plus petit nombre tel que Ton ait

(3) fl"--! (mod.M).

Si la suite des résidus des nombres (2) embrasse tous les nombres premiers et non supérieurs à M, on aura

dans le cas contraire , soit b Tun des nombres premiers à My qui ne sont congrus , suivant ce module, à aucun des termes de la suite (2}. En multipliant par b les termes de cette suite, on en obtient une deuxième

dont tons les termes sont distincts ; car, si Ton avait

ha^^iz.ha^ (mod. M),

il en résulterait

a^=^à* (mod. M),

ce qui est contre iKiypothèse. On voit aussi que les termes de la suite (4) sont incongrus, suivant le module M, aux termes de la suite (2) ; car, si Ton avait

ha^^a^ [mod. M), il en résulterait

h^^ar^ ou =^a«-»-^i* (mod. M),

ce qui est encore contre Thypothèse. Ainsi l'on a

y (M) =2/2 OU (pi'M) > 2/î.

Si 9 (M) est > 271, soit c Tun des nombres premiers et non supérieurs à M, qui ne sont pas compris parmi les résidus des suites (2) et (4)* En multipliant la suite (2) par c, on obtient une nouvelle suite

(5) ca, cà^y ca^^ ...', ca'*-',

dont les termes sont incongrus à ceux de la suite (2), d'après ce qui précède, et j'ajoute qu'ils le sont aussi aux termes de la suite (4); car, si l'on avait

cav-^bà* (mod. M), on en conclurait

c ^ bà*-^ ou ^ ^a«+'-i* ( mod, M ) , s. — ^^* *up,f II* 4

5o COURS d'algèbre supérieure.

et le nombre c serait compris parmi les résidus de la suite (4), ce qui est contre Thypo thèse. D'après cela,

on a

^(M)==3/i ou y (M) > 3/1.

On peut continuer ainsi jusqu'à l'épuisement complet des 9 (M) nombres premiers et non supérieurs à M, et Ton voit que l'on a nécessairement

m étant un nombre entier ; ce qui est le théorème démontré au numéro précédent. *

Mais la congruence (3) entraine nécessairement

^mn^y (mod. M),

ou

iiT^") = i (mod. M),

ce qui est précisément le théorème de Fermât généralisé.

Des racines primitives.