Si p est un nombre premier, la congruence

(x— i) (x— 2)'x — 3)...(x— />-f-i) — (4P^*— i)^o (mxA.p)

admet les p — i racines

cl, comme elle n'est que du degré p — a, elle doit être identique. Si donc on désigne par Sj la somme des nombres I, 2, ..., {p — i), par S] la somme de leurs produits deux à deux, etc., par S^.i le produit de tous ces nombres, on aura

Sj^so, §2^=0, Sj^==o, •••, Sp^j^= — ly

suivant le module p. La dernière de ces congruences constitue le théorème de Wilson.

Remauque. — Les coefGcienls de Téquation

[jr — \)[x — 2) [x — 3). . .[x — /? -4- i) =0,

ordonnée par rapport à x, étant des multiples de p, à Texccption du dernier terme, si p est premier, la somme des puissances m**"" des p — i racines

sera divisible parp, à moins que m ne soit un multiple de/; — I. Cela résulte immédiatement des formules de Newton.