II

la plus petite de ces racines primitives est 7.

SECTION m. — CHAPITRE II. y S

315. Second exemple. — On demanda une racine primitiife du nombre premier 78 .

On formera, comme précédemment, la période da nombre a; on trouve ici que cette période n'a que 9 termes et qu'elle se compose des nombres

le nombre 2 appartient donc àTexposant 9, relativement à 73. Comme 3 ne fait pas partie de la suite précédente, nous formerons de même la période de 3; celle-ci se compose des 1 2 termes suivants :

en sorte que 3 appartient à l'exposant 12. Le plus petit multiple commun des nombres 9 et 1 2 étant 36, la méthode du n^ 307 fera connaître un nombre appartenant à Texposant 36. Cet exposant 36 est le produit des facteurs 9 et 4 qui sont premiers entre eux et qui divisent respectivement 9 et 1 2 ; les quotients de ces divisions sont i et 3; par conséquent le nombre 2X3' ou 54 appartient à l'exposant 36. Formons la période de 54, on trouve les 36 termes suivants :

qu'on obtient très- facilement en remarquant qu'un terme quelconque se forme en multipliant par 3 celui qui le précède de 3 rangs et en prenant le résidu du produit obtenu, relativement à 73 ; cela résulte de ce que 3 est le cube de 54 diminué d'un multiple de 73. Maintenant le nombre 5 ne fait pas partie du tableau précédent, mais

y6 corRS d'ilcèbre svpëkielih.

son carré 5* ou aS s'y trouve el il y occupe un rang marqué par le nombre 23 qui est premier à 73. Il résulte de à que 3* appartient àlVxposant 36; l'exposant auquel 5 Lppartienl est donc égal à 36 x 3 ou à 7a; eu d'autres rmcs, 5 est une racine primitive de 73.

3lti. Nous donnons ici une Table dans laquelle on trouve b plus petite racine primitive pour chacun des nombres premiers inférieurs à 100.

Nombres prfmiprbJ .1 i -

H«ii.n. prinilÎTC 7 > 3

Kombreiiircmicn. ilU: ôJ

is 6.

79 «âlfla

RicinoprimiliYM. 3 .U i

Et à cette occasion nous présenterons les remarques suivantes :

i" Si /'est de la forme 4'''^t et que a soit racine primitive, — a est aussi racine primitive.

a*" Si p est de la forme 4^-1-3, a cl — a ne peuvent étro en même temps racines primitives.

En effet, tout nombre qui n'est pas racine primitive, par rapport à p, satisfait à une congnionce telle que

X ^=1 {moû.p),

6 étant un diviseur premier de p — t. Lorsque

p =^4^ + 1, — ■- est un nombre pair, et les racines de

la précédente congrucncc sont, deuxà deux, égales et de signes contraires, ou complémentaires au module. En

second lieu» lorsque ^ = 4^ + 3, si a satisfait à la con-

gruence x * =^=±i (mod. p), le nombre — a satisfait

àx * = =P I (mod. p) ; donc Tun au moins des nombres a et — a n'est pas racine primitive.

Des racines primitives dans le cas où le module est égal à une puissance d'un nombre premier impair, ou égal au double d'une telle puissance.

317. Théorème I. — Si p est un nombre premier impair, et que g soit une racine primitii^e pour le module p*, g ou son résidu minimum, relatii^ement à p, sera également racine primitiv^e pour le module p.

En effet, désignons par n l'exposant auquel appartient gy relativement à p^ on aura

g^^ni (mod./?), ou

h étant un entier. En élevant cette égalité à la puissance py il vient

P , pi P — 0 ,. ,

dansle second membre de cette formule, tous les termes, à l'exception du premier, sont divisibles par /?^; on a donc

X"! étant un nombre entier. On trouvera de môme, par des élévations successives à la puissance /?,

yS couns d'algèbie supÉaiEuas.

k2, .... Ar,.i étant des entiers. La deroière de ces égalités peut être mise sous la forme

et elle montre que g ne peut être racine primitive, pour le module /?•, que si nr=p — i, et, dans ce cas, g est racine primitive de p.

318. Théorème II. — Une racine primitive g du module premier impair p est racine primitii^e pour le mo-

dule p", V étant ]>i, lorsque n'est pas divinble

par p. Au contraire, gnest pas racine primitii^e pour le

gp—^ I

module p% quand est divisible par p.

En clTet, désignons par t l'exposant auquel g appartient relativement au module p"; on aura

g^EEZHi (mod./?*),

et par conséquent

g^~~t (mod./?).

Comme g est, par hypothèse, racine primitive de p, la congruencc précédente exige que t soit un multiple de /; — I ; d'ailleurs t est un diviseur de

donc on a

X étant un nombre inférieur ou égal à v — i.

Cela posé, désignons par i Texposant de la plus haute puissance de p qui divise gP^^ — i , on aura

A étant un entier non divisible par ^; on a ensuite, eoniuieau numéro précédent, par des élévations succès-

sîves à la puissance p, et en remarquant que z ne peut être nul.

jt|, k%, ..., X*x étant des entiers non divisibles par/?.

On voit, par ces formules, que la plus petite des valeurs de X telles, que Ton ait

^p\i»-i)Ei-i (mod.p*), est

X ziz V — /.

Donc on a

si * = I , et

si i est > I .

Dans le premier cas, g appartient à l'exposant f (p"), relativement k p*; en d'autres termes, g est une racine primitive. Dans le second cas, g appartient à un exposant inférieuràç(p''),etiln'estpasen conséquence racine primitive.

319. Théorème III. — ^ chaque racine primitwe pour le nombre premier p correspondent /?*"' [p — i) racines primitii^es pour le module p*.

Soit a une racine primitive de p, prise entre zéro et

p — i; l'expression des racines primitives congrues à a

sera

g~-a-h Ap,

k étant un entier quelconque ; on tire de là ^ i ^ i.a

8o COXnS UlLGttWE SrPÉRIEiniB.

SappOîOns d'abord que aP^' — i ne soil pas divisible par p^ : gP^* — i sera diWsible ou non divisible par p*,

suivant que

OU

sera divisible ou non divisible par /y. Si donc ou désigne

par 2 le résidu minimum de — — par rapport à p^ el que Ton fasse

h étant un nombre non di\isible par /^ tons les nombres g compris dans la formule

seront, d'après le théorème II, des racines primitives pour le module p".

Supposons en second lieu que a^~' — i soit divisible par /^* ; dans ce cas, gP^} — i ne sera divisible par p* que si  est divisible par p : d'où il résulte que la formule

>) g-a-^-hp,

où // désire un nombre non divisible par p^ ne donnera que des racines primitives de //.

Si Ton ne veut avoir que les valeurs de g distinctes suivant le module //, on ne devra donner à h dans les formules (i) et (a) q"c ?(/>*"* )=/>'~^(/> — i) valeurs différentes, et il en résultera un pareil nombre de racines primitives pour le module p^.

FIrmarql'e. — Comme a est racine primitive dep, le nombre aP'^ — 1= \a * — ij \a " -f-i j ne peut étr«

SECTION m. CHAPITRE II. 8l

divisible parp^ que si l'on a

a* -»-iEi30 (moâ. p^).

Corollaire. — Le nombre des racines primitwes, pour le module p*^ est égal à 9[/>*~* {p — i)] ou à cpcp(/>*).

En effet, d'après le théorème I, chaque racine primitive de p" est racine primitive de p; d'ailleurs, d'après le précédent théorème, chacune des (p(p — i) racines primitives dep donne 9(p*~*) racines primitives de p*. Le nombre total de ces dernières est donc

320. Théorème IV. — Le nombre premier p étant impair, toute racine primitive impaire dep"* est en même temps racine primitiv^e pour le module iip*\ et réciproquement, toute racine primitii^e de ap' est racine primitis/e pour le module p'*.

Soit g un nombre impair non divisible par p, et désignons par 71, n' les exposants auxquels g appartient relativement aux modules respectifs /?% ^p* ; on aura

(i) g^^=^\ (raod.^*), g^' ^^i (mod. 2/?*).

La seconde de ces congruences donne

(a) g^'^i (mod. /?*)

et, par conséquent, n' est un multiple de n. En outre, g étant impair, on a g^"^ i (mod. 2) ; par conséquent, la première des congruences (i) donne aussi

^"^zEi (mod. 2/?*), d'où il suit que n est un multiple de nf. On a donc n = n',

S. — jéig^' sujf., H. 6

83 COCIS d'àLGÈBEE StPélIEUftE.

et le nombre g appartient an même exposant suivant les modules />\ ap*, Elnfin, comme on a

si le nombre g est racine primitive pour Fun des moduleSy il Test aussi pour Fautre.

CoK'iLLAiRE. — Il J o autant de racines primi titres pour le module o.p' que pour le module p".

En eflety si Ton prend les racines primitives impaires de i)' cl qu'on leur adjoigne les racines primitives paires augmentées chacune de p^y on obtiendra f <^(/'*) racines primitives de ip'.