Exemple. — Considérons le cas de /? = 7. Les

racines primitives de 7 sont 3 et 5 : on a

3* -i-i 27, 5* -- i?.5 -- 27 rood. 49 ;

donc 3 et 5 sont racines primitives pour les modules 7* et 2 ^' : 7', quel que soit Texposant v.

Supposons V = 2y et considérons d^abord le cas du module 49- Comme on a

- ^ — --:3l2:^4» .-r^IllGo— .2 mod. 7',

le nombre désigné par a au n'' 319 a respectivement les valeurs 4 et 2. Les racines primitives de 49 seront dono données par les formules

^ -- 3 -f- 7 ^A H- 4 \ gr ^ 5 H ^ .A ^ a)^

où h est premier avec 7 ; en donnant à cette indéterminée les valeurs

SECTIOW III. CHAPITRB II. 83

dans la première formule, et les valeurs

dans la seconde, on obtient les deux séries suivantes, composées chacune de six racines :

3, lo, 17, 24, 38, 4^1

ou

!^f9 Qll 917 '^Kl Q23 ^t

Quant au module 2 X 49 ou 98, ses douze racines primitives seront

De la congruence x^ — 1^0 (mod. M), daiis le cas oh M est égal à une puissance d'un nombre premier impair ou égal au double d'une telle puissance,

322. Le nombre p étant premier et impair, soit a une racine de la congruence

(i) x^ — i=i?o [moà.p* ou 2/?'),

on aura, à la fois,

a* == I , aP*^^ (P-^ ) -13 I ( mod. />* ou 2/?* ) .

Si donc 6 désigne Fexposant auquel appartient a, relativement au module M = p"* ou = ap", le nombre 0 sera un diviseur commun des nombres

par suite il divisera le plus grand commun diviseur n de ces mêmes nombres. D'après cela, comme on a

a^Œi^i ( mod. p'* ou 2/>*' ) ;

on aura aussi

a^^zi ( mod. p" ou 2/?* ),

ce qui montre que toutes les racines de la congraenee proposée appartiennent aussi à la suivante :

(2) jp^ — 1^=0 (mod./?* ou 2/?"),

dont le degré n est un diviseur de ;?*"* {p — i).

Lorsque n est égal kp*^^[p — i), la congruence (a) devient

( 3) x/»*"' (i^O — 1 = 0 ( mod. p* ou ip%

et nous savons qu'elle a pour racines les p^*{p — i) nombres premiers au module et non supérieurs à ce module; en outrc^ parmi ces racines^ il y en a ^ [/>*"* (p — i)] de primitives, et nous avons fait connaître un procédé pour les obtenir. Si a désigne une de ces racines primitives, les résidus minima des puissances

seront précisément les racines de la congruence (3).

Supposons que n soit un diviseur quelconque de p*~^ [p — 1 ) ; posons

et considérons un terme quelconque a'^ de la suite (4)- Pour que Ton ait

(a'")"s2i ou a'"'*E:=i (mod. p" ou 2/?*),

il faut et il suffit que mn soit divisible par /10, c*cst-àdire que m soit un multiple de 0, Donc la congruence ( 2 ) a précisément n racines qui sont les résidus des puis-

8ECTIOV TII. GHAPITRIS IT. 85

sances

(5) a\ a^\ . . . , an\

suivant le module p* ou !^p*. On a ainsi ce théorème :

Théorème I. — La congruence x^ — 1=30 [raoà.p* ou ip*) a autant de racines qu'il y a d'unités dans le plus grand commun diviseur des nombres t etp^^ [p — i) .

Ensuite soil a'^ un quelconque des termes de la suite (5). Pour que Ton ait

( «'• ; '■ uz: I ou û*'^ z— ; i ( mod. p* ou 1/?" ) ,

il faut et il suffit que Aid soit divisible parnd, ou Ai par /i. Si i est premier à /i, cette condition équivaut à celle de la divisibilité de k par n ; dans ce cas, a^ appartient évidemment à l'exposant 71. Mais, si i et n ont un plus grand commun diviseur d supérieur à i , on aura

( a'^ Y = ^a*' j £= I ( mod. p" ou 2p* ) ,

et a** appartiendra à l'exposant -• On conclut de là cette autre proposition :

Théobème II. — La congruence x^e^hi (mod. p* ou 2p')j dont le degré n est un diuiseur de p"^^ [p — 1), a autant de racines primitives, c'est-à-dire de racines qui appartiennent à l'exposant /z, qu'il j a d'unités dans le nombre y («) des nombres premiers et non supérieurs à 71.

Du module a'.

323. On a vu, au n° 305, que si v est > 2, la puissance de degré 2""* d'un nombre impair quelconque est congrue à l'unité, suivant le module 2\ Le seul cas de

86 COURS d'algèbre supértbtjre.

V = 2 fait exception; il y a efFcctivemenl, pour le module 4 9 une racine primitive égale à 3, ainsi que nous Tavons déjà dit.

Supposons donc v ^ 2 ; alors Texposant auquel appartient, relativement au module a% un nombre impair quelconque, est une puissance de a dont le degré est égal ou inférieur à v — 2.

Le nombre i est le seul qui appartienne à l'exposant i; occupons-nous des nombres impairs supérieurs à i« Chacun d'eux peut être représenté par la formule

où A désigne un nombre impair etiun exposant qui peut être nul. Par des élévations successives au carré, on déduit de cette formule

^o Ara, . . . , Ar^ étant des nombres impairs.

Supposons que 2^ soit Texposant auquel appartient le nombre a ; on aura

/ -h 2 H- ^ ::^ OU ^ > v ;

rinégalité ne peut avoir lieu si â est ^- 1, car autrement

a^ "' — I serait divisible par 2% d'après les formules (2), et l'exposant auquel a appartient serait inférieur à 2^. On a donc

et la formule (i) devient

(3) û=:2-«/lhl.

SECTION m. CHAPITRE TI. 87

On peut donner à k les 2*~^ valeurs

ety à cause du signe ambigu zh, il en résultera, pour a, deux séries composées chacune de 2*"^ valeurs ; on conclut de là cette proposition :

Théorème. — Si S désigne l'un des nombres 2, 3, 4f . . .j (v — a), ilj- a 2* nombres qui appartiennent à l'exposant 2* suiv^ant le module 2'.

Si le nombre a déjà considéré appartient à l'exposant 2, la première des formules ( 2 ) nous donne

/ -i- 3 — - ou 7^- V, / -h 2 rrr OU ^ V — I ;

mais, si Ton prend 1 -f- 2 ==3 v, comme a est supposé moindre que le module 2*, il faut faire A" :^ i dans la for^ mule (i) et remplacer le signe ambigu di par — : il y a donc trois nombres qui appartiennent à l'exposant 2, savoir :

Les nombres qui appartiennent à Texposant v — 2, le plus élevé dans le cas qui nous occupe, s'obtiennent en faisant J = v — 2 dans la formule (3), et si Ton remplace, en même temps, k par 2/r -f- i , on obtient les deux

formules

qui donnent tous les nombres appartenant à l'exposant 2*~"*' Cela suppose cependant que v soit supérieur à 3; car, dans le cas de v--3, les nombres qui appartiennent à l'exposant 2 sont, d'après les formules (4)»

Laissant ce cas de côté et supposant v]>3, désignons

pari un nombre quelconque de la forme 8 /r 4- 3 et parc un nombre quelconque de la forme SA -f- 5. Chacune des deux suites

donnera 2*~* résidus dislincts, puisque i et c appaJ!^ tiennent à l'exposant 2*~*; en outre, les puissances impaires de i et de c sont respectivement des formes 8Â -h 3, 8 A -H- 5, tandis que les puissances paires de l'un et de l'autre nombre sont de la forme 8A-4-i; il*y a d'ailleurs 2*~* nombres de chacune des formes

entre les limites i et 2'' — i . Donc la série des puissances de b donnera tous les nombres 8A -f-3 avec les nombres 8A -f- I ; pareillement, on retrouvera les nombres 8A 4- 1 dans la série des puissances de c, avec les nombres 8 Ar + 5. Maintenant, si l'on change les signes des nombres 8A -H- I et 8 A -t- 5 ou qu'on prenne leurs compléments au module 2*, il est évident qu'on obtiendra tous les nombres 8A-t-7 et 8A4-3; on a donc la proposition suivante :

Théorème. — Si l'on choisit un nombre quelconque de la /orme 8A H- 3 ou 8 A H- 5, qu'on prenne les résidus de ses 2*~* premières puissances par rapport au module 2*, et qu'on Joigne à ces résidus leurs compléments au module, on obtiendra la suite de tous les nombres impairs inférieurs au module.

De la congruence x^ — i — - o ( mod. 2').