Comme application prenons

Co = «0 ^1 «î «3 ^% ^19

Cl " IfQ è, b^ b^ b^ />5,

C^j = ^Tq Cl Cj Cj C4 Cj,

On a ici

Prenons p = 4> et par suite

on aura

Xi = wç /y^^i , on : = l'/ï /-»$ q r/ç,

Go = («0, ^0, <^ot ^^0» «4» /^» '*> fhy ^'1» ^«» ^t* ^f )f

^1 = (''il ^1» <^1> 'A» ''S' '^5' ^5' '^»» ^J» ^J» ^3* ^»)-

Les deux substitutions P cl Q ont pour expressions

1 ^~~^ Cq Cj C| Cj,

Q = GoG„ et il est aisé de vérifier que Ton a

< (''o, ^1 Cl] l^l» ^3' ^;i^ //u» ^A» ^A^ W' ^»^ ^A

On a (Tailleurs

PQ r QP =r (<7y, /-»!, c,, r/j, rt,, />„ rv , U.^, a^, b^, Co, ^/, j

Remarquons d'ailleurs que la substitution P étao^

SECTION IV. CHAPITBE I. nSj

du sixième ordre, de Tégalité évidente

P» = QS on déduit

Une remarque semblable s'applique au cas général.

On a

et par conséquent, x étant un entier quelconque,

Déterminons cet entier x par la congruence

xp^B (mod. /),

toujours possible puisque 9 est le plus grand commun diviseur de p et de i. On aura, la substitution P étant d'ordre i,

et par suite

que Q est de Tordre -^î

De cette équation on déduit encore, en se rappelant

n étant entier.

D'ailleurs, Tentier x étant défini par la congruence,

a:p^^B [mod. /■) ou

mod. -

sera premier avec -•

s68 COURS d'algèbre scpérieiirb.

Les deux nombres x, - étanl premiers entre eux, on pourra toujours déterminer un entier n de telle manière que j: -H /î T soit premier avec 0. Nous pourrons donc toujours supposer que dans l'équation

pi QXJ^

6 et j: sont premiers entre eux.

418. L'analyse précédente, qui nous donne la composition de deux substitutions échangeables S et T, doit nous présenter les deux cas dont nous avons fait mention au n" 415, savoir le cas où les substitutions S et T ne déplacent pas les mêmes lettres, et celui où S et Tsont des puissances d'une même substitution. Le premier de ces deux cas se présente quand l'une des deux substitutions Pet Q, F et Q', F et Q", . . . se réduit à l'unité. Or, pour qu'il en soit ainsi à Tégard de P et Q, il faut et il suffit évidemment que Tun des nombres icty soit égal à l'unité. Quant au deuxième cas, il est facile d'établir cette proposition :

Pour que les substitutions VetQ^ soient des pnissanc<*$ (lune nir'me substitution, il faut et il suffit que IfS nombres [k et B ri aient aucun diviseur commun autre que l'unité.

Supposons que Ton ait