S = PT
et, en substituant dans la deuxième égalité, il vient
Q = TPT-*,
d'où il suit que les substitutions P et Q sont semblables.
ExEMPi^E. — Supposons que, le nombre des lettres étant six, on fasse
on aura les deux substitutions semblables du cinquième ordre
ST^Ia, c, b, d,f) [c], TS = (a, c, e, d, b) (/).
Du nombre des substitutions semblables à une
substitution donnée.
414. Le nombre des lettres que Ton considère étant représenté par /i, soit S une substitution contenant m^ cycles de Tordre 7i|, m^ cycles de Tordre n^, . . ., enfin niu cycles de Tordre /i« ; on aura
/î ;z= /Wj /ij -h //ij //, 4- . . . -h ni^ /?„,
chacun des nombres /2|, n^, . . ., w*. pouvant se réduire à Tunité.
Nous commencerons par chercher le nombre des formes distinctes que Ton peut attribuer à la substitution S, décomposée en cycles, sans déplacer les parenthèses qui
renferment chaque cjcle el sans altérer, en conséquence, le nombre des lettres contenues dans on facteur circulaire de nnz déterminé. Il est clair que les seuls changements que l'on pourra faire ainsi sans altérer S consisteront à échanger entre eux les facteurs circulaires d*un même ordre, ou à faire passer successivement à la première placCi dans chaque facteur circulaire, une quelconque des lettres contenues dans ce facteur. On voit, d*après cela, que le nombre M des formes diverses que Ton peut attribuer à S est
31= 1.2... m, 1 .2. . .m,' . . . 1 . 2 . . . m. i»*« ifj^« ii^».
Soit maintenant X le nombre des substitutions distinctes Sf S', S'y ... semblables à S. Si Ton écrit successivement chacune de ces substitutions sous les M formes distinctes qn^on peut lui attribuer sans déplacer les parenthèses, puis qu*on supprime ces parenthèses, on formera MX permutations. Mais il est é\ident que, parce procédé, aucune permutation des n lettres n*a été omise, el Ton a, en conséquence,
d'où
Des substitutions échaiigeahles entre elles.
415. Deux substitutions qui se réduisent à des puissancrs (rurio même substitution sont échangeables entre elles; la même chose a lieu évidemment pour deux substitutions qui n*()nt aucune lettre commune. Mais il im- [)()rtc de connaître la condition générale à laquelle doivent .satisfaire deux substitutions échangeables; c'est ce douL nous allons nous occuper.
SECTI03Ï IV. CHAPITRE I. ûÔl
Soient s et T deux substitutions que nous supposons échangeables entre elles; on aura
ST==TS ou S = TST-*.
Nous avons vu que la substitution TST~' se déduit de la substitution S en exécutant dans les cycles de celle-ci la substitution T; donc, pour que les substitutions S etT soient échangeables entre elles, il faut et il suffît que la substitution S reste la même quand on exécute sur les lettres de ses cycles la substitution T. En conséquence, la substitution T ne peut produire sur S que des échanges entre -des cycles d'un même ordre, et, dans un même cycle, le simple déplacement qui permet d'amener une lettre quelconque à la première place, sans altérer Y ordre circulaire des lettres du cycle. Chacun de ces échanges dont nous venons de parler, entre des cycles d'un même ordre, équivaut, s'il n'est pas circulaire, à plusieurs échanges circulaires effectués simultanément sur des cycles différents. Soient (Cq), (C|), ..., (Cj^i) des cycles de même ordre qui doivent être ainsi échangés circulairement. La substitution T peut avoir, en oulre, pour eflet, comme nous venons de le dire, le déplacement qui permet d'amener une lettre quelconque à la première place dans chacun de ces cycles; mais Tarrangemcnt Cq par lequel se forme le cycle (Co) ayant été choisi à volonté, on peut toujours prendre, pour former le cycle (C| ), Tarrangement C« que la substitution T doit mettre à la place de Co ; pareillement, pour former les cycles suivants (C2), . . ., (Cj^^, ), on peut choisir les arrangements C2, .. ., C^~i qui se substituent respectivement à Cl, C2, . • • , C^2. Quant au dernier arrangement Cji p il ne sera pas en général remplacé par Co, mais par un autre arrangement C^ tel, que les cycles (Co) ct((/^) soient identiques.
2^3 cor as d'algèiee suFÉEicums.
Il résulte de là que. si Ton pose
et que l'on désigne par Pel Q', P* el Q^. — des sobstitulions analogues à P el Q, mais relalives à des lettres diflerentesy on aura nécessairement
S pp'p^ ..., T=rQQ'Q'
P el Q, Fel Q', P' el Q', . . . élanl des couples de substitutions échangeables entre elles, dont le nombre peut se réduire à l'unité.
416. Nous sommes ainsi ramenés à étudier les deux substitutions P el Q; la première est une substitution régulière, et on va voir que la deuxième l'est aussi.
Soit I Tordre des cycles de P; pour plus de clarté, nous représenterons les lettres qui figurent dans un même cycle par un même caractère affecté des indices o, 1 , 2, . . . , (i — 1 ) ; posons donc
Cl --^ hff />! b^b^. . . b.iy
et convenons, en outre, que Tun des caractères^, i, ..., e, f afTccltî de Tindice iV/ -f- a désignera la même lettre que si rimliceétaitri'duit au reste 5£ delà division de «^ 4- 3t par I. D'après cette convention, nous pouvons poser
lorsque le nombre p est zéro, on a C, =Co et alors, si Ton pose
(G-; — 1//:, bi, r:, . . ., l\, fl\
on aura évidemment
Q = (Go)(Gt)(G,)...(G,^0.
Mais supposons que p ne soit pas nul. Comme dans le cas que nous venons d^examiner, la substitution Q remplacera chacune des u — i premières lettres de l'arrangement
par celle qui la suit ; quant à la dernière lettre J^y elle sera remplacée par Or^^, et chacune des (x — i premières lettres de Tarrangement
sera remplacée par la suivante, tandis que la lettre Jl^ le sera par «ç+j^, et ainsi de suite. Le cercle se fermera nécessairement, mais cela ne pourra arriver que quand on aura rencontré la lettre y|^.(x-i)p« dont Tindice est tel que ijO soit divisible par i. On voit, d'après cela, que Ton obtiendra un cycle de Q en écrivant à la suite les uns des autres les X arrangements
^ih /;>
Désignons ce cycle par Gç ; il reste à trouver le nombre des cycles Gç.
Or X est, par définition, le plus petit nombre entier tel que Ip soit divisible par i; "ko est donc le plus pelit commun multiple de p et de i, et par suite, si Ton appelle 6 le plus grand commun diviseur de p et de i, on aura
264 COURS d'algèbre SI^PÉRlRUnB.
chacun des cycles G^ conlenant - lettres a, leur nombre total est égal à Oy et Ton aura évidemment
Q— .^o) '.^i; iG,;. . . 'Go-i).
De ce qui précède on peut conclure une règle trèssimple pour obtenir les expressions des deux substitutions échangeables P et Q. Le nombre p étant pris arbitrairement et B désignant toujours le plus grand commun diviseur de p et de i, formons le tableau
composé de /i lignes horizontales et de 0 colonnes verticales; désignons par
les arrangcinenls formés par les lignes horizontales cl par
les arrangements formés par les lignes verticales, on aura les expressions suivantes des cycles de P et de Q :
Cl ilî>o ^'i'i i'î»2»« • «ilî^x— ly.i
SECTION IV. CHAPITIVE I. îitij
et
Go = oiL„ oïip «m jp ,011 (^i )p,
Gi =r on.1 ^rcp^.! 011.5^1 . . .OR(x-i)p-i.i,
Go— 2 ^^ •*^i^«-î«)rL»j^.p. . .onj j^(\i^p.
Le nombre total 7 des lettres de chaque cycle G est
Si jC =r I, on a ). = I et y = fx ; ce cas de f = t équivaut à celui de p = o que nous avons examiné à part; il est, comme on le voit, compris dans le cas général.
Si p est un diviseur de i, on a 0 = 0.
Si p et i sont premiers entre eux, on a 0 = i , X = i.
La substitution Q est formée des B cycles (G) contenant chacun Xa lettres; elle est par conséquent de
Tordre Xji ou -• On peut former sa puissance ju'^'*"* qui
sera de Tordre X. On déduit des expressions des cycles (G^)
Les cycles contenant les lettres a qui figurent dans le produit
•instituent évidemment une substitution régulière qui ^^ la puissance p du cycle (Go)- En étendant les mêmes
^66 COURS d'àlgebke supérieurs.
conclusions aux cycles formés des lettres A, c, . . ., on obtient la formule
(Go)«*(G,)^..(Gi-,)^=(Co)?(Ci)r..(C^i>
