UIS

on aura

ce qui est impossible, puisque la substitution R' n'est pas circulaire. Les équations (i) exigent donc que p et 9 soient premiers entre eux.

Supposons cette condition remplie. Nous avons vu que, dans l'égalité

pO Qjr^^

on peut supposer x premier k 0; 9 sera donc premier à xu et Ton pourra trouver deux nombres entiers u, t, tels que

et si Ton pose on aura

Exemple. — Considérons les deux substitutions On a ici f; rrr 3, i = (>, p = 4> ^ =^ ^-

Le nombre x défini par la congruence

.ro^zzi 5 (inod. /]

a pour valeur x = — i ; on a donc et en posant on trouve

Q = RS Pr=R\

419. Supposons maintenant que Ton demande \à nombre des substitutions échangeables avec une substitution donnée S. Soit T une telle substitution, on aura

S — TST-»,

et nous avons vu que la substitution TST"* s*obtientf quel que soit T, en exécutant la substitution T dans les cycles de S ; donc il y a autant de substitutions T satisfaisant à Tcquation précédente qu41 y a de manières diflférentes dVxprimer S sans déplacer les parenthèses qui entourent les cycles, c'est-à-dire sans altérer le nombre des lettres contenues dans chaque cycle. Ce nombre est précisément celui qui a été représenté par M au n° 414, et qui a pour valeur

Mr: 1.2... m,, I .2.../W, ).., I .2...m«)/ï^'/iJ"" • • '/i^";

m/ désigne le nombre des cycles d'ordre /i| dansla substitution S, et n étant le nombre total des lettres, on a

n -1 m^n^ -t- /Wj//» -f- . . . -f- tn^n^,

4!20. Nous terminerons Tétude des substitutions échanfj^eables entre elles, en démontrant deux proposilioBS importantes qui nous seront utiles dans la suite.

Théorème 1. — *SV T, V, V, . . . , W sont des substi*

tutions échangeables auec une substitution donnée S, .ie produit TU, . . . , obtenu en multipliant entre elles plusieurs des substitutions T y U, . . ., sera également une substitution échangeable avec S.

En effet, on a, par hypothèse,