T=:STS-S U = SUS-S

et, en multipliant,

TUt=STS-»SUS-»;

les deux facteurs consécutifs S et S""* peuvent être remplacés par leur produit i dans le second membre; on a donc

TU = STUS-» ou TU = S X TU X S-»,

ce qui montre que la substitution TU est échangeable avec S. On en conclut immédiatement que toutes les substitutions de la forme TUV. . . sont pareillement échangeables avec S.

421. Théorème II. — Si m désigne un nombre premier avec l'ordre d'une substitution donnée S, il existe des substitutions qui satisfont à V égalité

et leur nombre est précisément égal au nombre des substitutions qui sont échangeables a^ec S.

Remarquons d'abord que Tégalité S'" = TST""* ne peut avoir lieu que si m est premier avec Tordre de S, car les substitutions TST~* et S sont semblables et, en conséquence, du môme ordre; d'ailleurs S et S*" ne peuvent êlre du même ordre que si m est premier avec Tordre de S.

Cela posé, soient (C) Tun quelconque des cycles de S et (F) = (G)'" la puissance m*^*"® de ce cycle; il est

3ja COIRS D ALGEIEE SCFÈBIBrEC.

évident que l'égalité i • sera satisfaite si Ton prend

I ) désignant, pour abréger, la substitution qui rem-

place tous les arrangements C parles correspondants F: en eflTet. la substitution 6S0~' s'obtient en remplaçant les arrangements C contenus dans les cvcles de S par les corresp »ndants F; on a donc

D'après cela l'égalité (i) peut s'écrire

et si l'on multiplie à gauche par @~~i et à droite par 6, elle prend la forme

(3 e-»TST-»e = S:

eniin, si l'on pose

T -^ eu, d'où T-» =r U-«G-»,

réîîalilé ! 3 se réduit à