AH-B . A — B
Ah-B et d= ^—3.
Ainsi, dans ce cas, Téquation (i) a deux racines imaginaires.
Si Ton a R = o, ou
il en résulte B = A; alors l'équation (i) a ses trois racines réelles, mais deux de ces racines sont égales entre elles.
Supposons, enfin, R<^o, ou
chacun des radicaux qui figurent dans la valeur de x aura ses trois valeurs imaginaires ; mais il est facile de voir que Téquation (i) a ses racines réelles et inégales. Soient, en cfTet,
A-+-By — I, «(a -4-By''-^), C(AH-By'^)
les trois racines cubiques de Texpression imaginaire H yR ; l'expression imaginaire conjuguée yR
aura évidemment pour racines cubiques
A — Bv/^, e(A — Bv^^), «(a — Bv^— 7);
et, comme les valeurs des deux radicaux qui composent la valeur (lo) de x doivent avoir un produit réel, on aura les trois valeurs suivantes de x :
(A-4-Bv^)-f- (a — Bv/^), « (a -f- B v/^) -\- €(a — B V^^), e(A -4- B \f^\) -H «(a — B v'^);
ou, en remplaçant a et 6 par leurs valeurs, 2A, — A -+- B v^, — A — B v^3.
L'équation (i) a donc ses trois racines réelles, comme nous l'avions annoncé, et il est très-facile de montrer qu'elles sont inégales.
En eflet, on ne peut avoir d^abord
car il en résulterait B = o, et la quantité — - -+- ^/R serait
égale à la quantité réelle A', ce qui est contre l'hypothèse. On ne peut avoir non plus
2Ar r — AiBy'S,
car il en résulterait B = ih A y^S ; par suite,
A H- B s(^^\-— a(i =h yf^) = — 2aA,
et
— i. -h vR := - 8«'A3 = - 8 AS
458 COURS D^LGÈBHE SUPÉRIEURE.
ce quî est encore contre l'hypothèse, puisque le second membre est réel.
Le cas que nous examinons ici est fort remarquable; car, bien qu'alors les trois racines de l'équation du troisième degré soient réelles, la formule de Cardan présente leurs valeurs sous une forme compliquée d'imaginaires; et si, pour faire disparaître ces imaginaires, on cherchait à mettre les radicaux cubiques qui enlrcnl
dans la formule de Cardan sous la forme ÀH-By — i» on trouverait que les quantités A et B dépendent d'une équation toute semblable à la proposée. L'équation en A, par exemple, aurait ses trois racines réelles, et Ion trouverait, par conséquent, une expression de A également compliquée d'imaginaires. C'est pour celte raison que le cas dont il s'agit ici a été nommé cas irréductible.
507. Ainsi la formule de Cardan ne peut servir àb résolution numérique de l'équaliorT du troisième degré que si une seule racine est réelle; mais, dans le cas irréductible, l'équation se résout très-simplement par le moyen des fonctions circulaires. Si l'on pose, en effet.
' -i- -- — û'siirw, — OC:»SW,
la quantité p et l'angle w seront déterminés par les iormules
et la formule de Cardan donnera
X rrr \ p ^\ COSW 4- y — I siuw -f- \ COSw — \ — I
