CHAPITRE PREMIER
DES ÉQUATIONS DU TROISIÈME ET DU QUATRIÈME DEGRÉ. CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LA RÉSOLUTION ALGÉ- BRIQUE DES ÉQUATIONS.
Résolution de l'équation générale du troisième degré.
805. Méthode de Hudde. — Parmi les méthodes connues pour la résolution de l'équation générale du troisième degré, la plus simple est, sans contredit, celle de Hudde ; c'est aussi celle que nous exposerons la première.
Comme on peut toujours faire disparaître le deuxième terme d'une équation, nous considérerons l'équation
(1) jr^ -^ p X -\- q zm o
débarrassée du terme en x^. Posons
Y étant une nouvelle variable et z une fonction de j^, que nous nous réservons de déterminer, de manière que l'équation transformée en y rentre, s'il est possible, dans les classes d'équations que nous savons résoudre. Remplaçons dans l'équation (i) x par sa valeur tirée de (2), on aura
[jf -H zf -\-p[x -f- z) -f- 7 == o,
45a COURS d'algèbre supérieure,
ou
Si maintenant on détermine z par la condition
Zyz H- /> = G, ce qui donne
Téquation (3) deviendra
ou
Cette équation en y peut se résoudre à la manière des équations du deuxième degré, car elle ne contient que les puissances y^ et y^. Ensuite, quand y sera connu, on aura x par la formule
(5) -=^-Ty'
L^équation du sixième degré (4)> ^ laquelle nous ramenons ainsi Téquation proposée, a été nommée par Lagrange la réduite ou la résolvante de Téquation (i).
Quoique cette résolvante ait six racines, la formule (5) ne donnera pourtant que trois valeurs de x, comme cela doit être. En effet, la résolvante ne change pas quand oo
change y en — ^» en sorte que ses six racines forment
trois groupes tels, que le produit des deux racines de
chaque groupe est égal à — ~» et il est évident que la
formule (5) donnera la même valeur pour x quand on remplacerai^ successivement par les deux racines d'un même groupe. Cela va résulter, au surplus, de Tex-
SECTION V. — chapithe I. 453
pression même des valeurs de x dont nous allons nous occuper.
De Téquation (4) on tire cette valeur de^',
on
en faisant, pour abréger,
enfin, on tire de Téquation (6)
Cette expression, à cause des valeurs multiples des radicaux, donne les six racines de Téquation (4); mais nous
admettrons, dans ce qui va suivre, que i/ — - ih ^R
représentera seulement Tune des trois racines cubiques
de zh ^R : ce sera celle que Ton voudra, mais ce
sera toujours la même ; en sorte que, si a et 6 désignent les deux racines cubiques imaginaires de l'unité, les six racines de Téquation (4) pourront être représentées par
(8) ^-\±^, «y/-|±^ri, 6^/-?±,/ïï.
Et comme, des deux radicaux
le premier nous représente, par notre convention, celle
celles du second seront
B, Boc, B6;
et, comme les valeurs des deux radicaux qu'il faut prendre ensemble doivent avoir un produit réel, on aura, pour les racines de Féquation (i),
A + B, Aa4-B6, A6 + Boe.
D'ailleurs,
^i^yfir^ i^^ir3.
les trois racines de Téquation (i) seront donc
