oi -\- 9. An x:^z7.)jp cos
et le;5 trois racines de l'équation seront
2 VP cos - » 2 V|0 cos ^ 9 lyj p COS
W 3/- W H- 2 7r 3- 'o-f-4^ ^» 2V|0COS 9 2v'/3COS ^
On pourra, dans chaque cas, calculer par logarithmes les troîs racines dont nous venons de donner l'expression.
508. Méthode de Lagrajnge. — Considérons l'équation complète du troisième degré
(l) or* H- Px* — Q.r -r R = O,
et désignons par Xo, x^y X2 ses trois racines. D'après la théorie exposée aux n"*" 501 et 502, on pourra déterminer les racines Xqj x^, x^y si l'on parvient à connaître la valeur d'une fonction quelconque de ces racines, tellement choisie, cependant, que les six valeurs qu'elle peut prendre par les 1.2. 3 substitutions de Xq, Xi, X2 soient différentes. La méthode de Lagrange, que nous allons exposer ici, consiste à déterminer directement la valeur d'une fonction linéaire des trois racines, telle que
(a) r=:Xo-l- Axi -hBxj»
46o COVRS d'aLGÈBKE SUPÉKIBUIIB.
OÙ A et B désignent des constantes quelconques, et à déduire ensuite de cette fonction Texpression des racines elles-mêmes.
Si Ton exécute sur les indices o, i, 2 toutes les substitutions qu'ils comportent, on obtiendra les six valeurs suivantes de la fonction t ;
/(, - - j?ç -4- Axi -f- B.r,,
/, r= j?ç -f- A-r, -+- B JTt,
/, = a?i -1- Ax, H- Bxo,
^3 -r: j?j -4- Axq -4- Bx^,
f^ r=: X, -f- Axo -+- B JTi,
» ij r= Xj -f- Axi -H Bj^ot
et cette fonction t dépendra de Téquation du sixième degré
que Ton ramènera au deuxième degré, si Ton peut disposer des constantes indéterminées A et B, de manière qu'elle ne renferme que la sixième et la troisième puissance de t. Il faut et il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que, t désignant Tune quelconque des racines de l'équation (4)» a une racine cubique imaginaire de l'unité, a^ et (x^t soient aussi racines de l'équation (4). Voyons si celte condition peut être remplie. D'abord ato et a^/o ne peuvent être égaux ni à ^1, ni à tj, ni à tj, lorsqu'on regarde Xo, Xt, X2 comme des indéterminées, car autrement on aurait a = i ; il faut donc que Ton ail
a /y -; /, et a- 1^ = Z^,
ou
UIq r= t^ et «*/o = 's*
Ces deux dernières équations équivalent aux précédentes, puisque rien ne distingue les racines a et a^ Tune de
Tautre ; nous adopterons les précédentes, etcomme cellesci doivent avoir lieu, quelles que soient x©, Xi , Xj, nous en déduirons les valeurs suivantes de  et de B :
Il arrive alors que, A et B ayant ces valeurs, on a aussi
en sorte que, si Ton prend pour valeur de t
Téquation en t aura pour racines
et elle sera, par conséquent,
oi
en faisant
( ^1 =:3 jtq H- a' Xj -h a j:, ;
ce qui s'accorde avec les résultats généraux que nous avons obtenus au n^ 49 i.
Lorsque les valeurs de to et f i seront connues, celles de Xoy X\j X2 le seront aussi; on a, en effet,
(7) — P :=r Xq -f- .rj -f- J7,,
et, en ajoutant les équations (6) et (7), il vient, à cause de a^ H- a -f- 1 = o,
(8) Xo= 3
Pour avoir Xi , il faut ajouter les trois équations (6) et (7),
après les avoir multipliées respectivement para*, a el i; on a ainsi
et enfin on obtient la valeur suivante de x^y
en ajoutant les équations (6) et (7), après les avoir respectivement multipliées para, a* et i.
Tout est donc ramené à résoudre Téquation (5), qui est alors une réduite ou une résolvante de Téquation proposée. Cherchons d'abord à exprimer les coeflicients de la résolvante par ceux de Téquation proposée, ce qui est possible, puisque ces coefficients <J-h t\ et t\t\ sont des fonctions symétriques des racines.
Si Ton multiplie les deux équations (6) l'une parTautre, et qu'on ait égard à la relation a^4- a 4- 1 =- o, il vient
=-: [Xo -f- Xj -f- j:,)* — 3 (.roXj -+- Xj x, h- r^x^] ;
et, par conséquent,
si, enfin, on ajoute les deux équations (6), après les avoir élevées au cube, on obtient
— 3(.rJ.r, -, r'.ro-«-.r^.rj -f-.rJ.r,-4- .r^r^ -r- .rjr,' -f- l2X,/r'i — 3(./-J -f- .rj - - .r\] ~ [x^ -4- .rj -r- Jr^f -h l8.ro.r,j-, -—— 2P3-I-9PQ— 27 R;
la résolvante (5) devient donc
/« 2p3 ^ ^^1>Q .,^R) ^3 .^ pî 3QJS Q^
SECTION V- CHAPITRE I. 4^i
En posant
elle se réduit à réquation du deuxième degré
et, si Ton nomme Oq et 6^ les deux racines de cette équation, on aura
Les équations (8), (9) et (10) deviennent alors
— P -f- \\ H- \/Tt Xo= ^ ,
on prendra pour v^Ôo l'une quelconque des trois valeurs de ce radical, mais la même dans les trois formules :
quant à l'autre radical /0| , sa valeur est déterminée
quand on a fixé celle de \/6o, car l'équation (11) nous
donne
^VÎ/ë;=P«-3Q.
n suit de là que les trois racines pourront être représentées par la formule unique
qui n'a que trois valeurs distinctes, si Ton considère que Vdl y est mis, pour abréger, à la place de — rr- *
464 coL^RS d'algèbre supérieure.
509. Comparaison des deux méthodes précédentes. — La méthode de La^ange, que nous venons d'exposer, est moins simple que celle de Hudde ; mais elle est plus directe. Toutefois, ces deux méthodes fournissent la même résolvante, et nous allons voir qu'on est natarellement conduit à la méthode de Lagrange, en étudiant à fond celle de Hudde.
Reprenons Téquation générale du troisième degré
(1) X*-f-Px*-h Qx-hRirrO.
Pour appliquer la méthode de Hudde, on commence par faire disparaître le deuxième terme, en posant
ce qui ramène l'équation à la forme
on pose ensuite
et Ton obtient enfin cette résolvante, (3) j.«+yj'-^=o.
Cela posé, si y^ désigne Tune des trois racines cubiques de — - -h 1/7- + » J^'i celle des trois racines
cubiques de — - — \/y -+- — » qui, multipliée parji,
donne pour produit — rp> les six racines de l'équation (3) seront
et celles de Féquation (2)
par suite, en appelant Xqj x^, x^ les trois racines de Téquation (1), on aura
•^0 — — -^ -^- Xo ~- J^'i»
Si Ton ajoute ces équations, après les avoir respectivement multipliées d^abord par i, a, a^, puis ensuite par I, a*, a, il vient
Xa -4- «Xi -i- a'jr, Jo- 3 ^
ri =
Xo -h a*X| -i- ax,
On voit par là que la méthode de Iludde revient, au fond, à former une résolvante en y dont la racine ait pour valeur
et que cette résolvante ne diffère de celle de Lagrange que par le facteur 3 qui divise les racines.
510. Méthodes de Tschirnaus et d'Euler. — Nous avons exposé au n° 190 la méthode générale de Tschirnaùs, pour faire disparaître d'une équation autant do termes que Ton veut. Il en résulte une méthode pour la résolution des écjualions du troisième degré ; mais nous n'ajouterons rien ici à ce que nous avons dit à ce sujet au n*»191.
S. — jéig. sitp.f II. 3o
466 couns d'algèbre supérieure.
La méthode d'EuIer ne diflfôre que dans la forme de celle de Tschirnaûs. Elle consiste à éliminer j- entre deux' équations de la forme
et à identifier Téquation finale en x avec Téquation proposée ; la résolution de celle-ci s'ensuivra évidemment. On peut disposer, à volonté, de la valeur de Tune des indéterminées a, &, Cy d; on peut faire , par exemple, fl = I ou rf== I.
Des équations du troisième degré dont deux racines peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de la troisième racine et des quantités connues.
51 1 . Si l'on désigne par x, x^ , x% les racines de l'équation du troisième degré
(l) j:'-4-Pa:* -t-Qx-f-R = 0,
le produit
A = (j: — J^i)* [x — x, )* (jTj — X,)*
des carrés des différences des racines aura pour valeur (n° 179)
A =r — (4Q3 -I- 27R*) -h 18PQR -h P*Q* — 4p'r.
Cela posé, en multipliant par X\ — x^ l'identité
v/I= [x — X^) (jT — X,) (x, — Xi),
il vient
(xi — X,) v'Â =3 [(xj — x) (xi — X,)] [(x, — x) (x, — Xi)]
ou
(^1 - X,) V^ =: (3x| -+- aPxi -f- Q) (3x; 4- aPx, -h Q)
= g^î'^î -^ 6pxix,(x, -f- X,) -i- 3Q(xi H- j-,;'
(4P« -6Q) xix,-h 2PQ(xi -+-X,) -i-Q*;
SECTIOIf V. CHAPITHE I. 4^7
on a d'ailleurs
(a) OTi -har, rrrr — X — P
et
XiX^zzz— (arj -f- x,) X-+- Q=:Jr« 4-P^-i- Q;
en faisant usage de ces formules, on trouve
(xj — ar,) v^ =gx* -4- 12?^'» 4- (i5Q -+- P* ) ar«
-4- ;ioPQ — 2P»)ar + (4Q«— P«Q).
On peut ramener cette expression au deuxième degré, par le moyen de l'équation (i), et il vient alors
j (x,-x,)v/Â=(6Q-2P«)x«-;9R-7PQ--2P»)x ^ 1 -f-(4Q*-P«Q^3PR).
On voit, par lesléquatlons (a) et (3), que les racines X| et X2 seront égales aux deux valeurs de X tirées de la formule
,.^ i X= -U.[(6Q-2P*)a:a-(9R — 7PQ-4-2P»4-v/Â)a:
(4q«-p«q-3pr-Pv/a)],
en y donnant successivement au radical y û ses deux valeurs.
Il résulte de là que, si Ton comprend ce radical y/^ parmi les quantités qu'on regarde comme connues, les racines Xi et Xa s'exprimeront par des fonctions rationnelles de X et des quantités connues.
On peut aussi représenter ces racines par des fonctions rationnelles et linéaires de x, en suivant la marche indiquée au n^'lSS. Effectivement, si l'on divise le premier nombre F (a:) de l'équation (i) par l'expression (4) deX, que l'on désigne par V le quotient de cette division et par — U le reste, on aura
o=:F(x) = VX— U.
468 COURS d'algèbre SUPÉaiEORE.
d'où
On trouve, en faisant le calcul,
2v/Â. V " ;6Q — 2P*) X ^- (9R - PQ -f- v^Â), 2v/Â.U= — (9R-PQ — y^Â)x-h(2Q» 6PR);
par conséquent, si Ton pose
