VA

Tcxpression de X sera

rtx-i-6

et l'on en conclura les racines x^ et x^ en donnant au radical y/A ses deux valeurs. Mais quand on change ^ en — \fùk, a et i' se changent l'une dans l'autre, tandis que b et a' se changent en — i et — a! \ donc on peut

écrire

ax -^ b b'x — h

On tire des équations (5) (6 ) fl -T- // "-- 1 , ab' — ba ~- i,

et il en résulte que, si l'on pose

7) exr--, -,

on aura

O^Xj ô^x étant mis au lieu de ÔOx et 60^x.

Les racines de Téqualion proposée peuvent donc être représentées par

j'ajoute que, si une fonction linéaire

dont le déterminant a6' — 6a' peut toujours être supposé égal à I , représente Tune des racines, ôx par exemple, on aura identiquement

c*est-à-dire

«rrtfl,. ez=dzh, a'-^±a\ ^' = zhb'.

En effet, Téquation proposée étant irréductible, elle ne peut pas avoir une racine commune avec Téquation ffx = Qx qui est du deuxième degré, à moins que celle-ci ne soit identique.

512. Nous avons rencontré au n** 166 une équation du troisième degré dont les racines se développent en des fractions continues susceptibles d'être terminées par un même quotient complet.

L'analyse qui précède nous fait connaître toutes les équations du troisième degré qui possèdent cette propriété. En eff*et, pour que deux irrationnelles x et x^ soient développables en des fractions continues terminées par les mêmes quotients, il faut et il suffit (n" 16) que l'on ait

4y<i COUKS d'âlgèbue supéiiibuiie.

ay h y a!, V étant des entiers positifs ou négatifs satisfaisant à la condition

dh' — W ziz ±: I ,

Si Ton applique ce résultat à deux des racines de l'équation {i)y X et ^Xy ou X et d^x, on voit que la condition relative au déterminant est satisfaite quand on exprime 9x ou 0^x par les formules (5), (7) et (8) ; donc, pour que les fractions continues dans lesquelles se développent les trois racines aient un même quotient complet commun, il faut et il suflit que les formules (5) donnent pour a^ hy ci y V des valeurs entières.

Les deux dernières équations (5) peuvent être remplacées par les équations (6), et celles-ci donnent

en même temps on a, par les deux premières équations (5),

(10) (jR — PQ I — ofljy/I, 3Q-P«^- fl'v'Â,

et Texprcssion de A peut être mise sous la forme

|9A 3(yR-PQ;«--4P(9R-PQ^3Q-P')

Des é(|uati()ns (10) ri (11) on lire

. 3 I rt ' a-\ I - 2rt ^ Q : p^

a la quantité P demeure indclerminée.

D'après cela, la forme générale des équations dont nous nous occupons est

1 r» t f — ^fi — a-^a*) I — 2««1 r(-i + 2a)(i-.^ + ^«) a(-,^a) 1

P désigne une quantité réelle quelconque, rationnelle ou irrationnelle ; a est un nombre entier positif ou négatif quelconque ; enfin a! est un diviseur positif ou négatif quelconque du nombre i — a -h «^.

L'équation

dont nous nous sommes occupé au n® 166, répond aux

valeurs

Résolution de l'équation générale du quatrième degré.

513. Méthode de Ferrahi. — La méthode la plus simple pour résoudre l'équation du quatrième degré est aussi la plus ancienne; c'est celle de Louis Ferrari : elle consiste à faire en sorte que les deux membres de l'équation soient des carrés, et elle ramène, en conséquence, la résolution de cette équation à celle de deux équations du deuxième degré.

Soit l'équation

(i) x^ -f-/^jr' -h ^j:* -f- rx -T- 5 = O;

en ne conservant dans le premier membre que les deux premiers termes, elle devient

x* -+- /? j:^ := — qx^ — Tx — .f,

et, en ajoutant aux deux membres ^-^> afin que le pre-

4y^ COURS d'algèbre supérieure.

micr membre devienne un carré,

Mise sous cette forme, l'équation proposée se résoadrait immédiatement, si le» second membre était un carré; car il suffirait alors d'extraire la racine carrée des deux membres, et l'équation serait abaissée au deuxième degré. C'est à ce cas particulier que la méthode de Ferrari ramène tous les autres.

Désignons psiry une quantité indéterminée, et ajoutons aux deux membres de Téquation (2) la même quantité

il viendra

Maintenant, déterminons^, de manière que le second membre de l'équation (3) soit un carré. Il suffit, pour cela, que Ton ait

et, si Ton connaît une seule racine de cette équation enr« la résolution de l'équation proposée (i) s'ensuivra immt''diatcmcnt, car l'équation (3), qui est la même que(i . peut s'écrire comme il suit :

~ii

et elle se décompose dans les deux suivantes, qui sont du deuxième degré :

(-vf^>

L'équation (4), qui est du troisième degré, sera donc ici la réduite ou. la résolvante de Téquation (i). Nous avons vu qu'on peut exprimer par des radicaux les racines de l'équation générale du troisième degré; il s'ensuit que l'équation du quatrième degré a la même propriété, car les équations (5) donneront les quatre racines de l'équation ( I ) en fonction des coefficients et d'une racine quelconque j' de la résolvante.

514. Etude de la résolvante. — Nous venons de voir que les quatre racines de l'équation proposée peuvent s'exprimer en fonction d'une seule racine de la résolvante : nous allons étudier à son tour cette résolvante, et examiner de quelle manière ses racines sont composées avec celles de la proposée.

Désignons toujours par^ une racine quelconque de la résolvante, et par x©, Xj, Xj, x^ les quatre racines de Féquation proposée, savoir, parx© etX2 celles qui appartiennent à la première des équations (5); par X| cl x celles qui appartiennent à la seconde. On aura alors

■Sj'j-i+x ^ 2y^

connaît la composition de ses racines ; mais on peut aussi la déduire de la résolvante (3) en y. Il est facile, en effet, de voir que Ton a

et la résolvante en 0 est

(5) I -h(3p*-i6/?«7-hi67*-M6/?r— 64.f)0

On pourrait exprimer les quatre racines x^, x%y X|,Xj de la proposée par une seule des racines 0 de cette équation ; mais on obtient des résultats plus simples en employant les trois racines.

Soient ^oy ^d ^2 I^s trois racines de Téquation (5), on aura

(6) ' Xo — .rj -f-x, — X| = yO,.

d'ailleurs

ol les é([uations (6) et (7), qui sont du premier drgr^. donneront les valeurs suivantes des quatre racines :

Telle est l'expression de la racine de la résolvante en t. C'est une fonction linéaire des racines de la proposée, qui peut prendre effectivement six valeurs égales deux à deux et de signes contraires, par les substitutions des racines Xf^j ^ty *^2j *^z*

515. Méthode de Lagrange. — D'après la théorie générale que nous avons exposée aux n°* 501 et 502, on peut exprimer rationnellement les quatre racines de Téquation du quatrième degré par une (onction de ces racines telle, que les 1.2.3.4 valeurs qu'on en déduit par les substitutions soient différentes. Une pareille fonction dépend d'une équation du vingt-quatrième degré ; maïs nous venons de voir, par l'analyse de la méthode de Ferrari, qu'il suffit, pour résoudre l'équation du quatrième degré, de connaître une fonction des racines qui ait seulement trois valeurs distinctes, ou six valeurs égales deux à deux et de signes contraires.

La formation directe de l'équation dont dépend une pareille fonction des racines de la proposée et la détermination subséquente de ses racines constituent une nouvelle méthode due à Lagrange^ et que nous allons actuellement développer.

Soit l'équation

(l ) .r* -f-/; x' H- fjjr^ -h ra: -{- .v =l. o,

et désignons par Xo, X|, Xa, Xz ses quatre racines. La fonction la plus simple de ces racines, parmi celles qui ne peuvent acquérir que trois valeurs, estXo Xj -+- x^ Xz ; posons donc

^t commençons par chercher la valeur de j'y ou plutôt * équation du troisième degré dont dépend cette quantité.

48o COURS d'algèbre supérieure.

517. La discussion des cas particuliers de Téquation du quatrième degré n'offre aucune difliculté. Les formules (6) ou (8) donnent immédiatement les résultats suivants.

i^ Si la réduite a deux racines égales différentes de zéro, la proposée a deux racines égales; les deux autres racines sont difl'érentes de celles-ci, et différentes entre elles.

7? Si la réduite a deux racines nulles, la proposée a deux couples de racines égales.

3*^ Si les trois racines de la réduite sont égales cotre elles et différentes de zéro, la proposée a trois racines égales.

4^ Si la réduite a trois racines nulles, les quatre racines de la proposée sont égales entre elles.

Lorsque les coefficients /;, q, r, s sont réels, la nature des racines de la réduite fait connaître celle des racines de la proposée.

Si les trois racines de la réduite sont réelles, et qu'aucune d'elles ne soit négative, il est évident, par les formules (8), que les quatre racines de la proposée sont réelles; si au contraire la réduite a une ou deux racines négatives, les quatre racines de la proposée sont imapnaires : toutefois deux de ces racines deviennent réelles et égales lorsque la réduite a deux racines né«:ali\es égales entre elles. Le dernier ternie de la réduite ("0 nV'lant jamais positif, cette réduite ne peut avoir une seule racine négative que dans le cas où elle a une racine nulle. Si la réduite a deux racines imaginaires, on pt*ul

supposer que, dans les formules (8), yJO^ et y^Ô, soient des

imaginaires conjuguées, et que yJO^ soit réelle; on voit alors que la proposée a deux racines réelles et deux racines imaginaires.

SECTION V. CHAPITKE I. 477

degré

(4) Z^— )qZ-{- s~o.

Soient Zq et Z| les racines de cette équation (4)^ on aura

connaissant ainsi les valeurs des fonctions 0:0X2 et Xi 0:3^ on voit de suite qu^on doit en déduire rationnellement les sommes Xq 4- x^ et Xj -h Xa, qui sont des fonctions respectivement semblables à X0X2 et Xt x^. On a efiective-

ment

JTiX,(xo-4- X,) -f- jTo Jr, ( .r, -f- JTs) -—— f\

d'ailleurs donc

r^pz^ pz^ — r

.Tq -f- j-j m ) X| -f- Xj =:: •

Connaissant Xq -f- Xj et Xq X2, Xj -h X3 et X\ x^, on peut former deux équations du deuxième degré, ayant pour racines, la première Xq et 0:2, la seconde jc« et X3, et le problème peut être regardé comme résolu.

516. On résout plus facilement Téquation du quatrième degré, en prenant une résolvante dont la racine soit une fonction linéaire des racines de Téquation proposée, ayant six valeurs égales deux à deux et de signes contraires.

Soit

t — .r^ — .r| -H .r j — Xj ;

cette fonction ayant six valeurs, elle dépendra d'une équation du sixième degré; mais parce que les valeurs de t sont égales deux à deux et de signes contraires, Téquation s^abaissera au troisième degré, en posant t^ = d. On peut former directement Téquation en 6, puisqu'on

482 coi:rs d'algèbre si:péiiiel'rk.

et à identifier réqualion finale en x avec la proposée dont les racines seront alors données par la formule

Tout revient donc à déterminer les valeurs des indéler^ minées «, i, c, rf, e, dont l'une peut être choisie arbitrairement.

Sur la résolution algébrique des- équations.

519. Toutes les méthodes connues que les géomètres ont essayé d'appliquer à la résolution algébrique des équations, et il en serait nécessairement de même da nouvelles qu'on pourrait imaginer, reviennent à faire dépendre la résolution de l'équation proposée de celle d'une autre équation plus facile à résoudre, et dont les racines soient des fonctions de celles de la proposée.

C'est ainsi que l'équation du deuxième degré peut être résolue en déterminant la fonction x^ — x© de ses deux racines. Le carré de cette fonction est une fonction symétrique, et, sa valeur étant connue, la résolution Je l'équation en résulte par l'extraction d'une racine carrée.

C'est encore ainsi que nous avons pu résoudre l'équation du troisième degré en déterminant la valeur d'une fonction linéaire des racines Xo, x^, .^2, savoir :

(z=. jtq -\- a.r, - «'.r

a désignant l'une des racines imaginaires de Téquation x^ --- I . Le cube t^ de cette fonction ne peut prendre que deux valeurs distinctes par les substitutions de? racines Xoy Xiy x^j et il dépend, par conséquent, d'une équation du deuxième degré.

Enfin nous avons résolu l'équation du quatrième

degré en déterminant la valeur de Tune des deux fonctions suivantes de ses racines Xo, x«, Xa, X3 :

^ =r jTq j-j -h J?! J^3, i = jrQ — .rj -i- Xj — ar^,

La première de ces deux fonctions ne peut acquérir que trois valeurs, et elle dépend, par conséquent, d'une équation du troisième degré, qu'on sait résoudre; la seconde fonction peut prendre six valeurs, et elle dépend d'une équation qui est du sixième degré, mais qui peut être abaissée au troisième, parce qu'elle ne contient que des puissances paires de Tinconnue. Nous avons vu que la résolvante en t conduit plus aisément que celle enj à la résolution de la proposée ; elle a aussi cet avantage, que la résolution de Téquation du quatrième degré, qu'on en déduit, présente la plus complète analogie avec celle de l'équation du troisième degré. La fonction t peut, en effet, s'écrire ainsi :

% désignant la racine réelle — i de Téquation x* = i .

Dans les Mémoires de l'académie de Berlin (années 1770 et 1771) (*), Lagrange, prenant pour point de départ les résultats qui précèdent, a cherché à opérer la résolution de l'équation de degré n dont jr©, x«, X2, ..., 3C«i sont les n racines, en employant une fonction de la forme

OÙ ce désigne une racine de Téqualion jc" = i .

Quoique ces recherches de Lagrange niaient pu le

(*) Lagrange a donné un extrait de son Mémoire dans la Note XIII de •on Traité de la résolution des équations numériques, 3" édition, p. 24^*

conduire à la résolution des équations générales d*an degré supérieur au quatrième, problème dont Timpossibilité est aujourd'hui démontrée, les développements qu'il a donnés à ce sujet ont une importance considérable, et nous allons les présenter ici.

Nous suivrons la marche tracée par l'illustre auteur, et nous distinguerons avec lui le cas où le degré de l'équation est un nombre premier, et le cas où ce degré est un nombre composé.

Des équations dont le degré est un nombre premier, 520. Désignons par

•Tqj J?1, .Tj, . . ., <Tfi i

les n racines d'une équation

d'un degré premier 72, par a une racine quelconque de l'équation or" = i , et posons

Si a n'est pas égal à i, /i étant premier, les puissances de a, savoir :

sont les n racines de l'équation x" ^^^ i , et par conséquent elles sont distinctes. 11 résulte de là que la fonction t prendra i.2.3.../ï valeurs distinctes, par le» substitutions des racines, ainsi que nous l'avons déjà dit au n" 491; celte fonction dépend donc d'une équation

du degré

qu'on peut former par la méthode du n® 180, puisqu'on

SECTION V. CHÀPITHE I. 4^5

connaît la composition de ses racines. Mais d'après les développements présentés au n® 49-i, la résolution de cette équation de degré i . 2 . 3 . . . /t peut être ramenée à la résolution d'une équation du degré n — i, dont les coefficients dépendent d*une équation du degré 1.2.3. . .(/i — 2).

En eOet, si z désigne successivement tous les indices

à des multiples près de /i, que Ton néglige, la substitution circulaire

rrv

exécutée sur la fonction t, équivaut (n®494) à la multiplication de t par a, et il en résulte que Téquation dont t dépend ne renferme que des termes dont les degrés sont divisibles par /i; cette équation s'abaissera donc au degré 1 .2.3. . .(/z — 1}> si Ton pose

Soient

(3) Oo, 0„ 0„ ..., 0„«,

les résultats que Ton obtient en remplaçant a par chacune des racines

de Téquation

dans l'expression

On a vu au n° 491 que, si r désigne une racine primitive pour le nombre premier n, les quantités (3) sont

486 COURS d'algebue supériecrb.

précisément les valeurs que prend 9 quand on exécute dans cette fonction les n — a puissances de la substitution circulaire

et nous avons conclu de ce fait que toute fonction symétrique 0 des quantités (3) est invariable par les deux substitutions circulaires

Cela posé, une substitution quelconque peut être regardée comme le produit de trois substitutions, savoir :

I** une puissance de f ) : 2° une puissance de f )

qui ne déplace pas Tindicc o ; 3^ une substitution qui ne déplace aucun des indices o et i. Les deux premières de ces substitutions ne produiront aucun changement dans6. et, par conséquent, on obtiendra toutes les valeurs distinctes de celte fonction en exécutant les i.2.3...(/i — a substiliitions des n — 2 indices 2, 3^ ..., [n — 1. D'après cela, si l'on représente par

[5; 0"-^ -h Pi 0"-* -I- P, ()'»-•» -+-... -:- P„, 0 -f- P„-, - - o

l'équation qui a pour racines les tî — i valeurs (3 ) do '•. chacun des coefficients P,, Pj, ..., dépondra d'unr équation du degré 1.2. 3...;// — 2), et Ton pourra former ces diverses équations par la méthode du n** 180, puisqu'on connaît la composition de leurs racines. Mais on aperçoit iinmédialemenl que tous ces coefficients P|. Po, . . . ne dépendent que d'une seule équation du degré 1.2.3. ..(/2 — 2), car ce sont évidemment des fonctions semblables des racines Xo, X|, • - ., x„.| de réqualioD

proposée, et si Ton se donne la valeur de l'un d'eux, celles de tous les autres s'en déduiront rationnellement.

Voici comment on peut opérer pour former l'équation dont P« dépend, et pour exprimer en fonction de Pf les autres coefficients Fa, P3. .... On calculera l'équation de degré I.2.3.. (/i — i), qui a pour racines toutes les valeurs de 9 et dont les coefficients, fonctions invariables des racines de la proposée, sont exprimables rationnellement par ses coefficients. Le premier membre de l'équation (5) étant un diviseur du premier membre de cette équation complète en 6, on fera la division à la manière ordinaire, et l'on égalera à zéro les n — i termes du reste. Les n — 2 premières des équations ainsi obtenues serviront à déterminer les coefficients P2, P3» • • •> en fonction de P|, et Ton aura ensuite l'équation en Pi de degré i.2.3...(/i — 2), en remplaçant dans la (n — 1)**"*, Pa, P3, ... par les valeurs qu'on aura trouvées.

Lagrange a cherché à simplifier les calculs, presque impraticables dès le cinquième degré, auxquels conduit l'application de la théorie précédente ; il a effectivement imaginé un artifice ingénieux pour exprimer les coefficients de l'équation (5), en fonction des racines Xo,X|, — Je vais le rapporter ici.

Pour avoir l'expression de 0, il faut élever à la /i**"* puissance la quanlitc

en faisant ce calcul, et ayant soin de rabaisser les exposants de a au-dessous de //, on a un résultai de la forme

La formule (6) donne les valeurs de ^o? ^<. • • •> 0„2,

quand on substitue à a chacune des racines imaginaires «, 6, y, . . . . c«) de Téquation x"= i. En outre, si Ton remplace a par i, le second membre de Téquation (6) a pour valeur (xo-4- J^iH-- . -f-x^^i)'* ou A", en désignant par A la somme connue des racines de l'équation proposée (i). On a donc

Ajoutons ces équations et désignons par S| la somme des racines de Téquation (5); on aura, d'après les propriétés des racines «, 6, . . . ,

s, r.:/|Ço — A«.

Désignons généralement par S» la somme des y*'"** puissances des racines de Téquation (5); élevons l'expression (6) à la puissance v, et rabaissant les exposants de a au-dessous de «, représentons le résultat par

v - - ,,j r- i*,j « ,j -1- .... « "ïrt- j »

remplaçons ensuite a successivement par i, a, ?, ....'«». et ajoutons les résultats, on aura

On pourra calculer de celle manière, en fonction Jc5 racines jy, X|, . . . , Xn^^, les sommes S2, Sj, .... S«-o

et l'on en déduira ensuite les valeurs suivantes des coefficients Pf, P2, ... de l'équation (5) :

Voilà donc les coefficients P|, Pa, ... de l'équation (5) exprimés en fonction des racines Xoy Xj, . . . , Xn^t de l'équation proposée, et si Ton fait dans l'expression de l'un d'eux, dans celle de P| par exemple, toutes ces substitutions des racines, on ne trouvera que i . 2. 3 . . . [n — 2) valeurs distinctes. On pourra ainsi former directement l'équation en Pj, et l'on exprimera ensuite les valeurs des autres coefficients en fonction rationnelle de P|, par le procédé indiqué plus haut .

Si l'on connaît un seul système de valeurs des coefficients P|, P2, . . ., et si l'on peut résoudre l'équation en 0 correspondante de degré n — 1, la résolution de l'équation proposée ( i ) s'ensuivra immédiatement, comme nous allons le faire voir.

Dans l'hypothèse où nous nous plaçons, les quantités 6of Oi, . . . , ôfi^t sont connues, et l'équation (4) donne, en mettant «, 6, y, . . . , o) au lieu de a,

on a d'ailleurs

JTq H- Xj -}- j:, -f- . . . -+- J*;,--! = A;

49^ COURS D^LGEBKE SUPÉRIEURE.

donc, en ajoutant ces équations, et en ayant égard aux propriétés des racines a, S, . . . , on aura

ajoutant aussi ces mêmes équations respectivement multipliées par a", 6\ . . . , w" et i, il viendra

. . A-+-a^v'6,-he>v^</, -i-...-f.«>îX-,

Xfj V

Mais, comme rien ne détermine celle des valeurs de chaque radical qu'il faut prendre, le second membre de l'équation (9) ne diffère pas du second membre de Téquation (8). Aussi doit-on se borner à dire que les n racines de Téquation proposée sont données par la formule unique

(ici J- r^

A la vérité, cette formule, à cause de la multiplicité des valeurs de chaque radical, donne pour x un nombre de valeurs égal à /z"""* ; mais on peut faire disparaître Tanibiguïlé qui en résullc. En effet, les premiers membres des équations (7) sont des fonctions semblables des racines Xo, x< , . . . : on pourra donc, si Ton se donne Tune (le ces fonctions, en déduire rationnellement loule> les

autres. Ainsi, on pourra exprimer sO^/sO^ \ ^n^\

rationnellement en fonction de \ Oq, et la iormule îio ne donnera alors pour x (jue n valeurs, comme cela doit être.

Parcelle niélhode, la résolution de Téquation du cinquième degré se ramène à celle d'une équation du <juatrième degré, dont les coefficients dépendent d'une équation du sixième.

Des équations dont le degré est un nombre composé.

521 . L'analyse précédente nVsl pas applicable aux équations dont le degré est un nombre composé, et il est nécessaire d'employer ici des considérations nouvelles. La méthode que Lagrange a proposée pour ce cas revient au fond à décomposer l'équation proposée

de degré m = np, n étant un nombre premier, en n équations du degré ^; et celte méthode n'exige pour cela que la résolution d'une équation du degré

et celle d'une équation du degré n — i, tandis que si l'on cherchait à faire la décomposition par la méthode ordinaire, il faudrait résoudre une équation du degré

m [m — I ) . . .[ni — /> -f- 1 ) i .7. . . .p

Cette décomposition de Téquation (i) en n équations de degré p ayant été effectuée, on pourra appliquer à chacune de ces dernières la méthode exposée précédemment, si p est un nombre premier. Dans le cas contraire, si p == n'p'j n' étant un nombre premier, on ramènera la résolution de chaque équation de degré p à celle de n' équations du degré p'^ en opérant de la même manière que pour la proposée; et ainsi de suite. Entrons maintenant dans les détails.

Soit m r:rznp, n étant un nombre premier, et posons, comme précédemment,

X^j Xo ..., Xm^h désignant les m racines de l'équation (i)

et a une racine de x'" ^=-- i , mais qui appartienne aussi ï Téquation x''= i. Alors, comme on a généralement

la valeur précédente de t pourra s'écrire comme il suit:

t — [xo -f- x„ -f- X^^ H- . . . -f- J^(/>-Onl

en faisant, pour abréger,

Xq --" JTq "^" -^n "1" *tii H- . . . -+• •I'''(p~i)ii» , X i ^1 ^^ •''1 ~^~ •'^/i-f-i ~t~ "^m-Hl H- ... -I- JP(a-i;ii^.i«

X;,l — -^n—i "^ ^tn—\ "'" •'"s»— 1 •+ . . . -4- 'lut— I*

Représentons par

Tcquation qui a pour racines Xq, X|, .... Xu.i; on pourra appliquer à cette équation (3) la méthode exposée précédemment pour les équations de degré premier. Faisons 0 - f", ou

0 dépend d'une équation du degré i .2,3. . .[n — i)donl les coefficients peuvent s'exprimer rationnellement par

ceux de l'équation (3); et si l'on représente par 0^, 0^

Qn-i les n — I valeurs que prend (?, quand on remplace a par les n-- i racines imaginaires de x"^ - 1, on pourra former Téqualion de degré n — i qui a ces /ï — - 1 valeurs de 0 pour racines : représentons cette équation par

(5) O'»-» 4- Pi O'»-*-!- Pi (/'*-^ -+-... -1- P„.-, Q H- P»-, - 0;

ses coefficients P«, Pj, . . . dépendent d'une seule équation de degré i.2.3...(// — 2) dont les coefficients s'expriment rationnellement par ceux de Féquation (31» ainsi que nous Tavons établi précédemment.

Soient j^ l'un quelconque des coefficients P|, Pj, ... et

(6) /(Ji^-'o

Téquation de degré i.2.3...(/i — 2) dontj^ dépend. Les coefficients de cette équation (6) sont exprimables rationnellement par ceux de l'équation (3), mais ces derniers ne sont pas connus, il n'y a que ceux de l'équation (i) qui le soient; voici comment on peut former une équation enj' dont les coefficients soient exprimés parles quantités connues.

f{y) ^st une fonclion de y qui contient symétriquement les quantités Xq, X,, ..., X„«, et, si l'on y remplace Xo , X| , ... par leurs valeurs tirées des équations (2), elle deviendra une fonction entière non symétrique des racines x^, JCi, ..-, JOm^i de l'équation (i). Effectuons dams f [y) toutes les substitutions des racines jto, X|, . . ., Xm~.\y et désignons par

les fit valeurs distinctes que prend ainsi f[j) ; le produit de toutes ces valeurs est une fonction symétrique des racines Xq, Xi, . . . , Xm-i, exprimable rationnellement par les coefficients de l'équation proposée. On a donc, pour déterminer j^, Téqualion

(7) Ux]A{y]A[y)■^.J,-^'y:-■-o,

dont les coefficients peuvent être considérés comme connus.

Le degré de cette équation (7) est i.2.3...(/t — 2)xfA, p désignant le nombre des valeurs distinctes que prend

494 CODHS D^LGÈBRE SUPÉRIEUEB.

f{y) par les substitutions des racines jTq, X| , . . . , Xm^\ \ nous savons que ce nombre fx est un diviseur du produit I • a . 3 ... m, et si Ton fait

V sera le nombre des substitutions qui appartiennent ï la fonction f{j)- Or f{y) ne change pas quand on change, les unes dans les autres^ les racines qui figurent dans Tune des expressions Xq, X|, . • . , X|,.|, non plus qu'en échangeant les quantités Xq, Xi^ ...^ les unes dans les autres^ mais toute substitution qui fait passer quelques-unes des racines contenues dans X|, ou Xs, ou . . . , dans Tune des autres fonctions, change évidemment la fonction y*(j^). On conclut aisément de là que

et, par conséquent,

Le degré de Téquation (7) est donc

ce qui s'accorde avec la proposition établie au n"439 (corollaire II).

Si Ton connaît une seule racine de l'équation (7). on aura un système de valeurs des coefficients

de l'équation (5), car ces coefficients sont des fonctions semblables des racines de l'équation proposée, et. ptf

5ECTION V. — CHAPITKE I. 495

conséquent, ils peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de l'un quelconque d'entre eux et des quantités connues.

On résoudra ensuite l'équation (5), qui n'est que du degré n — i, et l'on aura alors aisément les racines de l'équation (3). Désignons, en effet, par

^0» ^1» ^ïi • • » ^n-1

les n — 1 racines de l'équation ( 5 ) ; ces valeurs de Q étant précisément celles qu'on déduit de l'équation (4), en remplaçant ol par chacune des racines imaginaires de or" = I , on aura

Xj -r- wX, -r w* Xj -t- . . . -h w^-^X^ — \'On-i,

D'ailleurs, la somme des racines X|, X2, . . ., X« esl connue, car elle est la même que celles des racines Xo, Xi, . . . , X/n-i ; en désignant donc par A cette somme, on aura

JVq -t~ A.J ~r" A.J ~f- • . . "T" J^n — i "--—■ A.

11 ne reste plus, maintenant, qu'à trouver les racines XQy Xi, ... elles-mêmes; pour cela, on considérera l'équation qui a pour racines celles de la proposée dont la somme est Xo ou X|, ou . . . , Xq par exemple : soit

cette équation, dont le premier membre est un diviseur

496 COURS d'algebur supérieuiie.

du premier membre V de la proposée. On fera la division à la manière ordinaire et Ton égalera à zéro les p termes du reste ; on aura ainsi p équations dont les p — i premières détermineront Q2, Qj, . . . , en fonction deX«, la dernière étant alors satisfaite d^elle-méme. Il est évident que Q2, Qs, ... doivent s'exprimer rationnellement en fonction de X^, puisque toutes ces fonctions sont semblables. On aura donc enfin, parce moyen, les n équations de degré p dans lesquelles peut se décomposer Téquation proposée.

Tel est le point où les travaux de Lagrange ont ramené la question de la résolution algébrique des équations. La fonction résolvante nous a donné la résolution des équations du troisième et du quatrième degré; mais elle n'est d'aucune utilité pour les équations générales de degré supérieur au quatrième, dont, au surplus, la résolution est aujourd'hui démontrée impossible. Toutefois on verra plus loin que la considération de cette fonction résolvante conduit à la résolution algébrique d'une classe fort étendue d'équations de degrés quelconques.

A la même époque où Lagrange publiait, a Berlin, le Mciuoire dont nous venons de présonler les résultats principaux, Vandcrmondc s'occupait de la incmo que?*lion et présentait à l'Académie des Sciences de Paris un beau Mémoire où, par des considérations dinerentesde celles de Lagrange, il arrivait pourtant aux mêmes conséquences. Je me borne ici à indiquer ce travail de Vandcrnionde, imprimé dans les Mémoires de l* Acùdemie des Sciences de Patis (année 1 77 1 )-

SECTIOJV V. CHAPITRE II. 497