V^ = V.S^-VT
S et T étant des polynômes des degrés /ui^— i et (z — 2 respectivement.
. SEGTIOlr II. — CHAPITRE IV. 669
Si l'on écrît/(j:) au lieu de V,/'(ar) au lieu de V, , la relation (6) prendra la forme
il résulte de là que si l'on donne successivement à x les m valeurs
a y Of Cy m . , y X y ly
la fraction rationnelle
prendra les m valeurs correspondantes
d'ailleurs les degrés des polynômes V , S sont respéctî-
vement m — |x, |ut — i et la somme de ces degrés est m — i . On pourra donc déterminer la fonction (8) par la méthode qui a été exposée au n^ 232.
Supposons que h occupe le ;x**"** rang dans la suite des m racines
(9) ^» *» Cy.. . y Cy gj hy /,..-, jy ^y l'y
d'après la formule générale du n° 232, les polynômes V et S seront égaux respectivement, 9 un facteur constant près, savoir : le premier, V , à. la fonction symétrique des racines (9), dont Tun des termes a pour valeur
rt(^\ fnh\ f'(L\ (.r — /)... (jT — /) (j: /) '
et le second, S , à la fonction symétrique des mêmes racines dont l'un des termes est
ri \ fni\ f'{a\ (rtt-~j:)(^>— jr)...(g-~x)
570 COOU D'ALGkBKB SVPÉItnniC.
Or on a
et il résulte de ces formules que les produits
/'(«)/'(*).../'(/'). /'(")/' {b)... /'{g) ont respectivement pour valeurs
(-') ' [(«-^)V-^?-(fi'-^)^X[(a-0-..(«"-0]-.[(^-')-(Ml
(-.,) - [(a-.^)i(«c)\..(e~^)»]X[(«-A)...(a-0]...[(g'-A)...te-/)];
alors on aura, en désignant par X un facteur indépendant de X,
U=L^[a-bY{a-cy...{g-h)'{x-i)...{x-l){x-r,, (10) I /*
il est évident (n^ 232) que, dans le cas de fx = m, ces formules doivent être réduites à
il faut remarquer aussi que pour jut = i , les formules (10) se réduisent à
et que Ton doit faire en conséquence A| = i .
SEcnoir II. — cHÀPiTiiE îv. 671
On Yoit, par la première des formules (xo), quHl ne nous reste plus qu^a déterminer la constante X •
A cet effet, substituons, dans Tégalité (i3) V^^,=V^Q^-V^,,
les valeurs de V et de V tirées de la formule (6) et
de celle qu'on en déduit par le changement de /ix en fx — i , 011 aura
d^ou il suit que Ton a, par la notation conyenue,
Les formules (i3) et (i4) donnent
d^où, par la multiplication,
et on conclut de là, pour x = oo ,
Ainsi les fonctions
^/tt+i ^j» ^/i^/i—t
se réduisent à Tunité pour a: = 00 , et il en sera de même du produit de ces fonctions; en sorte que Ton aura
lim ^ ' ^ = 1 (pourarzrroo). Oi V
SyT. GOCTRS D^ÂLGÈBEB SUPÉftlEDRE.
Or le terme du degré le plus élevé en x, dans le prodait S j V , a pour coefficient
ou
en adoptant les notations exprimées par les formules (3); on a d'ailleurs Si = i, d'après les formules (12), et le coefficient de ar*" dans V est égal à i . L'expression précédente se réduit donc à Tunité, et l'on a '
il est évident -que dans le cas de fx :^ i, le second membre de celle formule doit être remplacé par m*, ce qui est conforme aux formules (3). On a donc
d'où Ton conclut immédiatement les formules (2), ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.
Il faut remarquer que la quantité p^ ne figure pas dans notre analyse mais nous introduirons cette quantité dans ce qtrî va suivre, et c'est pourquoi nous Tavons comprise dans le tableau (3).
256. Nous allons faire connaître maintenant une conséquence importante du théorème de M. Sylvester.
Les quantités ^1, ^i, p^^, . . sont des fonctions symétriques et entières des racines de l'équation V = o, et en conséquence elles sont exprimables rationnellement par les coefficients de V. Si donc ces coefficients sont réels, Pit Pt'i Pii''' seront aussi des quantités réelles 5 dès lors les facteurs ^î, i», • • • » ^m seront des nombres essen-
SECTION II. — GHÀFITRE IV; SjS
tiellement positifs, et on pourra les supprimer des formules (i) lorsqu'il sera question d^employer les fonctions \, Vj, Vj,. . ., pour la recherche du nombre des racines réelles de l'équation V=:so qui sont comprises entre deux limites données.
Cela posé, si N désigne le nombre des racines réelles de Téquation V = o, N sera égal, d'après le théorème de Sturm, à l'excès du nombre Uq des variations que présente la suite V, V<, Vj,..., pour x = — oo , sur le nombre i^i des variations que présente la même suite pour X = -H 00 , et il est évident que i^o et t^i expriment aussi les nombres de variations contenues respectivement dans les deux suites
ï» p. y Pt% » ' ' y Pm»
La somme \^o + ^i est évidemment égale à m: on a, par conséquent,
d'où
ai^i est donc le nombre des racines imaginaires de l'équation proposée, et de là résulte ce théorème :
Le nombre des couples de racines imaginaires de Véquadon V = o est égal au nombre des variations de signes que présente la suite des quantités
^9 Pi 9 p29' • '9 Pat'
257. Dans un Mémoire qui fait partie du tome XII du Journal de Mathématiques pures et appliquées^ M. Borchardt a donné au précédent théorème une forme trèsélégante que nous indiquerons ici.
Ona
COURS D*ALGÈBRB SUPÉRIBURE.
le nombre des racines a^b^c^. . ,^g^ A, qui figurent dans chaque terme étant égal à /x ^ on a vu d'ailleurs (n^ 239) que le produit
est égal au déterminant formé avec les /x* quantités
donc p est la somme des carres de tous les déterminaDts
que Ton peut former en prenant fx colonnes verticales du tableau
qui renferme m^ quantités. Alors si Ton pose
,aP-'-i-h^^KbP-'-h...^k^^\kP-'-hi^-\lP-',
on aura [d? 244)
*i,l «a,». • .CL
Or a^ n'est autre chose que la somme des puissances de
SBCTIOR II. CHAPITRE IT. SyS
degré X -|- p — a des racines de Téquation V = o, et nous ferons en conséquence
on voit que p^ peut être représenté par un déterminant de /x* quantités, savoir :
fo,
Pl^=
La proposition que nous avons obtenue au numéro précédent peut alors être énoncée comme il suit :
Théorème. — Soit proposée une équation Y = o du degré m. Des coefficients de cette équation déduisons les sommes des puissances semblables de ses racines, jusquà l'ordre ^m — 2 inclusivement, et ai^ec ces sommes^ que nous désignerons parso, ^i, j,,..., s ^^^^ formons les quantités Pi^pt^""i pm ^^ posant
Sqj Si y Si S\ , $1 , S^
Si y Si , ^4
Pm =
S»j 5| , Si y
Sm—\ 9
Sm
• • 1 Sim—i
576 COURS D^iiLGiSRE SUPÉRIEURE.
r équation Y = o aura autant de couples de racines imaginaires quil y aura de variations de signes dans la suite
^9 Pi9 Pu ' ' ' j Pm'
Corollaire I. — Il y a au plus — variations dans la suite ly pi,p^^...^ p,„.
Corollaire II. — Pour que Inéquation V = o ait toutes ses racines réelles^ il faut et il suffit que les quan-
tités
P^j Pi^
Pm
soient toutes positives.
jipplication du théorème de Sturm à une classe remarquable d'équations algébriques,
S58. Considérons les m équations
dans lesquelles les coefficients a sont des constantes réelles données satisfaisant à la condition
Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport aux variables x, et si Ton désigne par F le déterminant
^i.\ — gy ^2.1
«2,7 — gj
iw
L'équation en ^, T = o, qui est du degré /w, sera le résultat de rélimination des variables x entre les équations (i). Cetle équation comprend comme cas particuliers celle dont dépend la recherche des axes principaux des surfaces du deuxième ordre, aii^si que celles au moyen desquelles on détermine les inégalités séculaires des éléments elliptiques des corps célestes.
Nous nous proposons ici de démontrer une propriété fort importante de l'équation F :^ o^ elle consiste en ce que toutes les racines de cetle équation sont réelles. On possède plusieurs démonstrations de cetle proposition ^ mais la plus remarquable est celle que' M. Borchardt a présentée, dans le Mémoire que nous avons déjà cité, comme une application du théorème de Sturm. D'après ce théorème (n^ 257), la réalité des racines d'une équa* tion dépend des signes de certaines quantités que l'on sait former ^ dans le cas qui nous occupe, il se présente cette circonstance singulière, que chacune des quantités dont il s'agit est une somme de carrés. Nous croyons utile de reproduire ici la belle analyse de M. Borchardt.
Multiplions chacune des équations (i) par g et substituons, dans les seconds membres, à gXi^ g^i^- • •> g^m leurs valeurs tirées des équations (i), nous obtiendrons le nouveau système
^ ^m "^^^^ Oi,in •ï'i'T" ^2,»/i J^i^v- • . . -T- ttin^in^m j
où
578 COUKS d'àLGEBRE SUPÉaiBURS.
Si Ton multiplie chacune des équations (2) par ^ et que l'on substitue à gXi^ gx^^... leurs valeurs tirées des équations (1), on obtiendra un troisième système d*équations qui se déduira du système (i) en remplaçant g par g^ et les quantités a.-^y par
En continuant ainsi nous obtiendrons le système d'équations qui correspond à la puissance r**"** de g :
(f>\ ] g X2 "=■ Ox^i Xx -\- /la, a J?} -4- . . • "4- tfm,a ^m y
S^ J^m — ÛjjTO J?| -t- 0%^m ^i "T~ • • • ~r* O^n^f^ Xfn y
où
fc(>)=m fc(=')=m A(0=:;„
Si l'on multiplie les équations du système (r) par ^ et qu'on substitue, dans les seconds membres, les valeurs de ^'Xij g^Xi^..» tirées du système d'équations (/^), le résultat obtenu devra être identique avec le système d'équations (r-f-r'), et on aura, en conséquence,
SECTION II. — CHAPITRE IV. 5yg
OU, en écrivant q et r — ^, au lieu de r et r',
^ ^ hj ^^ àjt k,j
Cette équation (3) subsistera pour toutes les valeurs de^ moindres que r, savoir, i , 2, . . . , r — 15 dans le cas des valeurs extrêmes, on doit supposer
L'équation (3) subsistera même pour les valeurs ^ = o, ^ == r, si Ton convient de faire
a: : =z o, quand / et y sont inégaux ^ = I, quand / =j\
Cela posé, revenons à l'équation F = o ; le premier membre F est ce que devient le déterminant
lorsqu'on diminue de g chacune des m quantités
On aura donc
-JhT = g"* — (a,,, + «,,î -4- ... -4- ûf«,,m)^~' + . . ' ,
et, par suite, la somment des racines de Téquation F = o fiera
i=zm
= S'i^-ê'2+. .. + g*in=2 ^'''•
En appliquant le même raisonnement au système d'é-
58o COURS D^ÀLGÈBRE SUPÉRIEURE.
quations (r) qui conduit à une équation du degré m en g**, nous obtiendrons
ou, à cause de Téquation (3),
izzzm ] ■=zni
q ayant une valeur quelconque de o à r. Soit maintenant, comme au n^ 237,
Sq y
Sx y
d'après l'équation (6), les quantités dont se compose ce déterminant peuvent être représentées de la manière suivante :
=:z > «, . ûT. . 5 Sx^= y a . . a. .
Si = y a\ : a\ : j jmd <y w
les sommes se rapportant à toutes les valeurs i, 2,...,
des indices z et /. D'après cela, si Ton fait
on aura
et, en appliquant aux (Jt/n* quantités
(0) co (2) (/* — 0
'*j '»j '*y hj
le théorème du n° 244 (Corollaire), on mettra p sous la forme
(7 ) Pf^ = ^ l2é- ^W ^'V ' '''V • • • ^,(/^-),y(/-0 J '
^7î *')7S ^"-ij''^' • -5 i^^^^\ y'/*— 0 représentant jix systèmes quelconques de deux indices f, y, et la somme ^
se rapportant à toutes les combinaisons (i k yi des îji* systèmes z, y.
La formule (7) montre que chacune des quantités p
est une somme de carrés. Ces quantités sont donc toutes positivcïs, et il en résulte, comme on l'a vu au 11° 257, que l'équation F = o a ses w racines réelles.
Méthode de M, Hermile pour déterminer le nombre des racines réelles d'une équation qui sont comprises entre deux limites données.
2S9. Nous nous proposons d'exposer ici une méthode extrêmement remarquable de M. Hermite pour déterminer le nombre des racines réelles d'une équation, comprises entre deux limites données. Cette méthode repose
582 COURS D^ÂLCÈBRB SirVÉRIECHE.
sur les propriétés des fonctions homogènes du deuxième degré qui ont été établies dans ce Chapitre. Soient
une équation du degré m à coefficients réels, et
a, b ^ c , . . , y A'f l ses m racines.
Désignons par t une indéterminée et considérons la fonction homogène du deuxième degré
H- YZTt^''"' "^ ^^' "^ ^'*» 4- . . . -4- *«-• x^^,y
-h j [x^ -4-/j:, -4- Tj:, -h. . .-4-/'"-'.r^,)S
des /n variables jTq î -^i > • • • > •îCp.^i . Il est évident que y est une fonction symétrique rationnelle des racines de l'équation (i) *, on pourra donc l'exprimer rationnellement par les coefficients de cette équation, et comme ces coefficients sont supposés réels, la fonction/* sera également réelle, pourvu qu'on attribue à l'indélenninée t des valeurs réelles. Au reste, on peut calculer très-simplement les coefficients fl/^y de la fonction f ramenée à la forme
On a effectivement
fl — f ^— t " ' l — t"^
or, si Ton décompose la fraction rationnelle
F(0 en fractions simples, on trouvera
E(f) étant le quotient entier de la division de i'+/F'(f ) par F(t) \ donc, si l'on désigne par F,-,y (^) le reste de cette division, on aura
et, par suil,e,
(5) a..--^MlÛ
i = m — I jz=m-^i
Désignons par A^i l'invariant de f] d'après ce qu'on a vu au n^ 247, cet invariant sera égal au produit de
(a — t)[b — t). . .(l — t) par le carré du déterminant
I, a y ûf% . . . , a"*~' 1, b, *%..., ft—'
lequel estégal(nO 239) à
± (fl — ^) (fl — c) . . . (û — /) ( ^ — c) . . . ( A' — /) ;
on a donc
l^a^bY{a-cY...{^-i)'{b-ch..(^-i)\
584 COURS D^ALGÈBBE SUPÉAIEURE.
ce qui montre que l'invariant de f ne sera jamais nul si l'équation proposée n'a pas de racines égales.
On peut encore tirer l'expression de A„i d'une autre considération qui fournit en même temps Tinvariant
m — yx
de la fonction à laquelle se réduit /*, quand on y suppose nulles les (x — i variables
La fonction dont il s'agit sera donnée par la formule (3), si l'on suppose que les indices i et y ne varient que de o à m — fJt , la formule (4) donnera les coefficients a,-y/, et comme elle peut s'écrire
ai ,. bi ,. //
Tinvariant A„,__„ sera égal (n° 244) à la somme des
produits obtenus en multipliant l'un par l'autre les déterminants formés respectivement avec m — jix -H i colonnes verticales des tableaux dont les lignes horizontales sont représentées généralement par
et
aJ bJ IJ
cbacun des indices i eij ayant les valeurs o, i , ii....^m — '[n. Si l'on suppose que les racines
soient au nombre de m — jix +• i j le premier des déterminants dont il s'agit sera égal à
et le second sera égal au quotient de la même expression
par
on aura donc
(a — by{a — cY...{a — hY.,.{g — h)
le signe 'V se rapportant à toutes les combinaisons
m — //H-i à în — j!x-|-i des m racines a^ b^c,, . .^ L
Enfin, si Ton suppose que toutes les variables de^ s'annulent à l'exception de Xqj et qu'on désigne par Aq le coefficient du carré de la variable restante, on aura
La fonction /"étant réelle, elle peut être ramenée, comme nous l'avons vu, par une substitution réelle, à la forme
260. Cela posé, nous démontrerons, d'après M. Hermite, le théorème suivant :
Théorème. — Étant donnée V équation F (-z) = o rfu degré m, à coefficients réels et dont les racines sup^ posées inégales sont a, &, c, . . . , /, soit la fonction homogène réelle
f^= (xo -h fl.r, -f- a* jTj -t- . . . -h a"-' x,^^Y
-4- YZ— (Xo -+- ^, -4- /' ^a 4- . . . + Z*^' ^„-,)*
des m variables X fi ^ ^iv» ^m-i «^ dans laquelle t désigne une indéterminée réelle ^ si, par une substitution réelle, on ramène la fonction f à une somme de carrés de fonctions linéaires réelles, le nombre des carrés affectés de coefficients positifs sera égal au nombre des couples de racines imaginaires de V équation F (2) = o, augmenté du nombre des racines réelles supérieures à t.
D'après ce qu'on a vu au n° 2o9, Tinvanant de la fonction/* n'est pas nul, et si l'on désigne parXo, X,,..., X„i m nouvelles variables, les équations
Xo -4- aXy -h û' JTj -h . . . -4- û""* Xjn—\ = Xo,
pourront être résolues par rapport aux variables o:^ en substituant ces valeurs, l'expression de/* deviendra
^' fl — f» b — t ^ l— t ""-'
Si toutes les racines a, by c,..., / sont réelles, la substitution (2) sera également réelle, et on voit que, dans la formule (3), le nombre des carrés .affectés de coefiScienls ' positifs est précisément égal au nombre des racines qui sont plus grandes que t. D'ailleurs, toute autre substitution, réduisant/* à une somme de carrés, donnera le même nombre de coefficients positifs (n° 254) -, donc le théorème énoncé se trouve établi, dans le cas où les. racines a, i, . . . , / sont toutes réelles.
Si les racines a, 2^, c, . . . , /ne sont pas toutes réelles, la substitution (2) ne sera plus réelle, mais il est facile d'en déduire une autre qui le soit. Car, supposons que a et b forment un couple de racines imaginaires conjuguées,
SECTION n. — CHAPITRE IV- 887
et que l'on ait
a = r(cosa H- V^ — i sina), h =: r(cosa — ^ — i sina) ;
aux indéterminées Xo et Xi substituons-en deux antres Y^, Yj telles, que
Il est évident que les deux premières des équations (a) seront équivalentes aux deux suivantes :
jT^ -f- rx, cosa H- H x^ cos 2 a H- ... H- r"-* x^—i ces {m — 1)7.=: Yo, rxi sina-f- r^arjsin 2aH-...-f-r'"""* J7fl,— 1 sin (m — i)a== Yi,
lesquelles ne renferment que des quantités réelles. On opérera de la même manière pour chaque couple de racines imaginaires, et il est évident que la substitution (2) deviendra réelle par le simple changement de Xo,Xi, etc.,
en Yo 4- Yi y/^^, Yo — Yj sT^, etc.
Les deux racines imaginaires conjuguées a et b donneront dans /* la partie
Findéterminée t étant réelle, posons
z=: p (cos(p.-f- V'-— ïsiny), 7 =:p(cosy — v^ — I sin<j)),
la partie de f que nous considérons deviendra
p r^cos| + v/~sin 1^ (y, -h Y, /=^)]*
-h p [(ces I - v^ZTsîn l^ (Yo ~ Y, s/~)'^. OU bien
2p ( Yocos - — Yt sin - j — ap | Y^ sin - -h Yf cos - ) ? ce qui montre que, par notre substitution, deux racines
588 cotJRS d'algèbre supérieure.
imaginaires conjuguées introduisent dans f deux carrés dont Tun est aflecté d'un coefficient positif et l'autre d'un coefficient négatif.
On peut donc conclure que toute substitution réelle qui ramènera f à une somme de carrée de fonctions réelles introduira autant de carrés affectés de coefficients positifs qu'il y a d'unités dans le nombre des racines imaginaires de Téquaiion F (2) =0, augmenté du nombre des racines réelles supérieures à ^ ^ ce qui est précisément le théorème énoncé.
Corollaire. — Si Von désigne par [t) le nombre total des catrés affectés de coejfficients positifs dans la fonction f le nombre des racines de V équation F (2) = 0 comprises entre deux nombres donnés t^ et ty ]> ^0 sera égal à [t^) — (tj).
Car, si l'on désigne par No le nombre des racines supérieures à foî par N, le nombre de celles qui sont supérieures à /i, et par 2I le nombre des racines imaginaires, on aura, par le théorème précédent,
(r.)==N.-l-I, (ro)=:=No-hl, d'où
261 . Le théorème de Sturm peut être regardé comme un corollaire du précédent théorème. En effet, les quantités Aq, Al). . ., A„i étant définies comme au n^ 259, la fonction /" peut être mise sous la forme
le nombre désigné par [t) exprime donc combien il y a de quantités positives dans la suite
Ao A, A, A;„,
I Ac A, A„«,
' Nous avons donné au n° 259 les expressions des invariants A^ , et l'on voit, eu se reportant à ces expressions et au théorème de M. Sylvester, que si l'on désigne par Vi la dérivée du polynôme Y = F[t), et par Vj, V3,. . . , V,„ les restes changés de signe que Ton déduit de V et Vi, par l'opération du plus grand commun diviseur, on a
àn,-{
àm-i
donc le nombre [t) exprime aussi combien il y a de quantités négatives dans la suite
et il est égal, en conséquence, au nombre des variations contenues dans la suite
On conclut de là que le nombre des variations perdues par la suite précédente, quand on passe de t=:to à t=ti'^toy est égal au nombre des racines de l'équation V = o qui sont comprises entre îq et ij, ce qui est précisément le théorème de Sturm. La démonstration nouvelle de ce célèbre théorème est bien remarquable, car on n'y emploie, comme le remarque M, Hermite, aucune considération dé continuité.
262. J'arrive maintenant à la méthode pratique donnée par M. Hermite pour déterminer le nombre représenté par le symbole (t). D'après ce qui précède, il suffira, pour remplir cet objet, de ramener à une somme de carrés, pat une substitution réelle quelconque, la fonction désignée par y et que nous savons former.
SgO C00R8 D^ÀLGÈBRE SUPÉRIEUKE.
Soient, comme précédemment,
les m racines de Téquation proposée
si Ton fait, pour abréger,
Fexpression de la fonction /"sera
Désignons par
de nouvelles indéterminées, et posons
<D(z) = Xo-f-zXi H-z^X, H-. . . -4=- z"»- ' X«__, .
Nous ferons en premier lieu la substitution propre à rendre identique, relativement à l'indéterminée z, l'équation
en égalant entre eux les coefficients des mêmes puissances de 2, on formerait les équations nécessaires pour exprimer les variables x en fonction des variables X. Mais ce calcul ne nous est pas utile, et il suffit de remarquer qu'en remplaçant z par chacune des racines a, i,..., /, l'équation précédente nous donne
La fonction y définie par l'équation (2) se changera dès lôrs en une fonction ^des nouvelles variables, et on aura
SECTION II. CHAPITRE IV. 5qI
Cette première transformation étant effectuée, nous en ferons une seconde définie par les équations suivantes, où ^09 -^iv*'? ^.n <lésignent les nouvelles variables,
Xi = 2fl,2 -f- Pi 2,„3 Xj =: 2/n— 3 H" Pi 2jii— 4
/'j ^m— 3 "1" • • • ~f" Pm—l ^0 y
• • • ~r" Pm — 3 ^0 5
Xffi— a — ■^i -h ^1 Zq»
Le quotient de F (z) par z — a est évidemment
rW— I
rm—2
-^ Pi
-hpiO
et si l'on remplace, dans cette expression, les exposants de z par des indices de même valeur, on obtiendra, diaprés les formules (4)? le résultat suivant :
Xo + ûX, -I- û»X, -t- . . . H- tf'"-' X™,,
c'est-à-dire ^ («). D'après cela, on peut écrire
FW
pourvu que, les divisions ayant été exécutées, on remplace
partout z^j z^^ -^'v? ^'""^ P^'^ -^Tq, ^i,..., ^m-i» Pareillement on pourra écrire
z' étant une indéterminée à laquelle on doit appliquer ce qui vient d'être dit relativement à Zy en sorte que, la divi-
Sps COURS d'algèbre supérieure.
sion faite, on remplacera touie puissance telle que z''^ par z^.
D'après cela, la formule ( 3 ) deviendra
le signe 2 se rapportant aux racines «, i,..., /. Dans
cette formule symbolique, le second membre est une fonction entière des variables z et ^5 on peut Técrire de diverses manières, et le résultat définitif sera toujours exact, quand, la fonction § ayant été ordonnée par rapport à z et à z\ on remplacera les puissances z\ z'^ par z,-, z^ respectivement. Cela étant, on a successivement
^ ' ^ ^ jLà[z— a)[z' — a)
^ V[z)Y(z') /y t—z __ y r—z' ~ z — z' \2d z — a Zà^ — a
On a d'ailleurs
donc on a définitivement
expression de laquelle ont disparu les racines a, £, c,...« Donc, pour avoir le nombre représenté par (^), il suffira de mettre le second membre de Téquation (5) sons la forme d^un polynôme ordonné par rapport aux puis-
SECTION II. — OHÀPITIIB IV» 5p3
sauces de z et de JZ^ On remplacera ensuite chaque puissance z^ ou z'' par Zi et on obtiendra la fonction homogène ê^ qu'on ramènera à une somme de carrés par la méthode connue; le nombre des carrés affectés de coefficients positifs sera précisément (t).
Lorsqu'on veut avoir le nombre des racines de Téquation F (z) = o comprises entre deux limites ^oi ^i données numériquement, il conviendra le plus souvent, pour obtenir les nombres (^o) et (ii), d'opérer sur les expressions
dont les coefficients sont tous numériques, et non pas sur l'expression générale qui contient l'indéterminée t.
Exemple. Supposons qu'on demande le nombre des racines de l'équation
qui sont comprises entre o et i.
On a, dans ce cas, en faisant abstraction du facteur 3,
' {t^z] iz'—l) {z'»— 3z'-f-l) — (t—z') (z^—\) (3'— 32-I-I)
et cette formule symbolique donne la formule exacte
.f = t{ — ,3zJ — 4^? — 3j -f- 23oZ, -H IZ^Zi)
Si Ton fait successivement « = o, z = i, on obtient les deux fonctions homogènes
Zj— Zj — 2ZoZî-f-4«|2l = (2o— 3|)' — (2|— •2Z,)^+32j, — 2Z;-- SzJ— Z^-t-2!Z, So-+-43i22— -~"(*ï— 2 2|)'— (^t^^o)'— «J.
$94 COURS d'aJLGÊBRE SUPÉmiEVAE»
Il y a deux carrés affcclës de coefficients positifs, dans la première de ces fonctions, tandis qu^il n*j en a aucun dans la seconde; donc l'équatioB proposée a deux racines eonaprises entre o et i.
On doit remarquer aussi que si Ton donne à t une valeur |)OsitiveinGninient grande^ la fonction é divisée par t se rédnira au polyn6me
lequel peut être mis sous la forme
Comme on n^obtient, dans ce cas, aucun carré affecié de coefficient positif, le nombre des racines supérieures k Tinfini augmenté du nombre des couples de racines imaginaires se réduit à zéro. On peut donc reconnaître, par ce simple calcul, que l'équation proposée a toutes ses racines réelles»
SBGTION II. — CHAPITRE V. 5gS
