AY — BX
en substituant ces valeurs dans l'expression de f^ on obtient la fonction adjointe A F, savoir :
AF = ex» — 2BXY + AY^
On vérifie immédiatement, dans ce cas simple, la propo^ sition démontrée à la fin du numéro précédent, car si A = o, la fonction proposée /^et la fonction adjointe AF sont évidemment des carrés parfaits.
Considérons en deuxième lieu la fonction homogène
/ z= Ax» -h A'j» + A"z^ H- 2 Bj3 -4- 2B'xz -+- 2 B^xy des trois variables x, j^ z» On a ici
2 de
^~f=Ax 4-BV-t-B'2 =X,
2 cix
L'If
2 dz
--f=:B"x-4-AV-t-B« =Y,
--/ =B'xH-Bj- -^A'^-z — Z,
et,
/==Xx-t-Yj-4-Z«.
L'invariant A a pour valeur
Ar=
OU
A = AA'A'' 4- aBB'B'' — AB» — A'B" — A"B"S
558 couBs d'aloeb&b snrÉaisy^si
et on a
r r= 1 [( A'A" — B')X + (BB' — A"B'^)Y -h (BB" — A'B')Z], X = - [(BB' — AB")X -h( AA" — B")Y + (B'B." — AB)Z],
» = i[(BB'' -^ A'B')X -+- (B'B" — AB)Y -f- (AA' — B''')Z].
La substitution de ces valeurs dans rexpression âe/ donne la fonction adjointe AF, savoir:
AF = (A' A'" -^ B»)X« H- (AA" — B'»)Y« -h (AA' — B^«)2» ' 2(B'n"— AB)YZ -h 2(BB''— A'B')XZ 2(BB'— A"B")XY.
Posons
on aura
(B'B"-^ABV =a'a" — AA,
(BB" — A'B')» — aa" — A'A,
(BB' ^K'^h^Y—oix' — A'^A,
et, quand rinvariant A est nul, ces formules se réduisent à
B'B"— AB ■=:sjZ'sl7\ BB" — A'B' =zfaisf7\
BB' — A''B":==V'âv/â';
donc, la fonction adjointe AF se réduit, dans la même hypothèse, au carré de la fonction linéaire
Xv^â-hY^â'-f-Zy/^'.
Remarque sur la réduction à une somme de carrés,
253. Nous terminerons ces considérations géncralesi par une remarque importante relative à la réduction d'une
SCCTIOlf TI. — CHAPITRE IV. > SSp.
fonction enlièrè et homogène dii deuxième degré à une somme de carrés.
Soit
une fonction entière et homogène du deuxième degré des m variables
dans laquelle les coefficients ont des valeurs indéterminées. En appliquant ici le procédé indiqué au n^ 192, on pourra exprimer la fonction f par une somme de carrés,' de la manière suivante :
+ 8j(^2 -+- «s.îJ's -+-. . . 4- ct„,7X„Y •+■83^-^3 -l-a«,s-^4 -+-. • .H-a,„,3.r„)2
en sorte que la fonction
se changera en /, par la substitution
A| ^:^^ X^ —r- 3tj,. Xa -f— , . . -f- Otjn^i •'"«1 , Xi ^^^ A'a "T- «3.5 «2^3 "T- ...-+- «ai^s J'ai ,
dont le déterminant est égal a i. Les fonctions F et^ ont dès lors le même invariant \ or Tinvariant de F est évidemment 6i £,...?,„: si donc on désigne par A^ celui de f^ on aura
Si Ton pose
56o COURS d'algèbre siip^ievre.
f se réduira à une fonction des m^^i variables
et nous désignerons par A,„./ Tin variant de cette fonction. Il est évident, par ce qui précède, que Ton aura
nous admettrons que cette formule, subsiste pour 1 = m — I, ce qui revient à poser
On aura, d'après cela,
d'où Ton tire
ûjh '1(3 • • • *,ii »
il résulte de là que la fonction f peut être représentée par la formule
Xi, Xt,. . ., X,n étant des fonctions linéaires des variables j"i , JTj , . . . , j:,„. m. Hermite a tiré de cette formule, comme on le verra plus loin, des conséquences de la plus haute importance.
Nous avons supposé que les coefficients de la fonction / étaient des constantes indéterminées, mais il est évident que tous les résultats qui précèdent subsisteront quand on donnera à ces coefficients des valeurs particulières quelconques, pourvu cependant qu'aucun des invariants
ne se réduise à zéro.
Théorème relatif aux fonctions entières et homogènes du deuxième degré à coefficients réels.
254. Dans Tétude que nous venons de faire, nous n'avons fait aucune hypothèse sur la nature des coefficients des fonctions que nous avons considérées. Nous suppose* rons ici que ces coefficients soient des quantités réelles ; alors, en appliquant le procédé du n^ 492 à une fonction entière et homogène du deuxième degré, f pour la réduire à une somme de carrés de fonctions linéaires, il pourra arriver que quelques-unes de celles-ci contiennent
le facteur yj — i . En d'autres termes, la fonction f sera exprimée par une somme de carrés de fonctions linéaires réelles, multipliés par certains coefficients positifs ou négatifs.
On peut dire, avec M. Hermite, que deux fonctions entières et homogènes du deuxième degré sont de même espèce y lorsque, ces fonctions étant exprimées par deç sommes de carrés, le nombre de ces carrés dont le coefficient a un signe donné est le même dans Tune et dans Tautre fonction.
Cela posé, nous présenterons ici une proposition fort importante, avec la démonstration qu'en a donnée M. Hermite.
Théorème. — De quelque manière qu'on transforme un polynôme homogène du deuxième degré à coefficients réels et dont V invariant nest pas nuly en une somme de carrés de fonctions linéaires réelles, ces carrés étant affectés de coefficients numériques également réels , le nombre de ces coefficients qui auront un signe donné sera toujours le même.
Soit I. 36
56a COURS d'algèbre supéribcks.
une fonction entière et homogène du deuxième degré des m variables
"i » Kit • • • » ^m
et dont rinvariant A ne soit pas nul. Dans cette hypothèse, toute réduction de/* à une somme de carrés pourra, comme on sait, être réalisée par le moyen d'une substitution linéaire et réelle dont le déterminant n'est pas nul. Supposons donc que par la substitution réelle
on obtienne
jit^m
e étant un coefficient réel positif ou négatif, et qu'une autre substitution réelle,
donne
£ étant encore un coefficient réel. Il s'agit de prouver que dans les deux suites
*l > *2 , • • • I 'ni »
il y a un même nombre de termes ayant un signe donné. Supposons négatives les quantités Si , e^ , . . . , e, et po-
sitives les suivantes Si+i,.-., e„'^ supposons aussi que El , Ej , . . . , E* soient négatives et que E^^., , . . . , E„ soient positives; dans le cas où toutes les quantités e ou E sont positives, on aura i'= o ou /: = o. Nous allons démontrer qu^il est impossible que les nombres i et k soient inégaux; par exemple, qu^on ne peut pas avoir À>/. Admettons elTeclivement cette hypothèse de Ar>/ et examinons les conséquences qui vont en résulter. On a Fidentitc
les variables x étant liées aux variables X par m équations qui se déduisent de la suivante :
«n donnant à fx les valeurs i^ a,. . ., m. Le déterminant
de la substitution (i) n^étant pas nul, il est évident que
les équations (6) pourront être résolues par rapport aux
variables jr, et la même chose aura lieu encore si Ton
écrit partout
au lieu de x et X , ±: e et zh E„ désignant les valeurs
fX fA ft fL '^
absolues de e„ et de E • Alors l'équation (5) devient
«t cette équation (7) doit se réduire à une identité, par le
564 COITRS D^LGkBBE SUPÉRIEtTRB.
moyen d*une substitution linéaire telle que
Cela posé, soitf un angle indéterminé; la formule (7) ne changera pas si Ton remplace X^ et Xa respecllyement par
Xi cosf + Xs sin fff Xi sin f — X2 cosf 9
lorsque le nombre k sera supérieur à x. Mais alors Findéterminée <f s^introduit dans les équations (8), et on peut en disposer pour faire disparaître Xi de l'expression Xf. On a effectivement
jr, =(a,,, cos^-i- tta^iSinç) X,-4- (a,^, sin^ . — a,, , cos y) Xj -h . . .,
et, pour remplir lobjet demandé, il suffira de déterminer (f par la relation
ai, , cos ^ -+- «î, I sin y = o.
Ainsi, par un changement de notation qui ne change ni Téquation (y) ni la forme de la substitution (8), on peut faire disparaître Xi de l'expression Xi ) en d'autres termes, on peut supposer
a,,, zrr O.
Pareillement, lorsque k est ^ 2, l'équation (7) ne change
pas, si l'on remplace Xj et Xj respectivement par
Xa cos y -+- X3 sin ffj X2 sin y — X3 cos ep,
et on peut disposer de la nouvelle indéterminée (f pour faire disparaître Xt de l'expression de Xi. Il suffira, en effet, de déterminer cet angle <f par la formule
«a, I cos y -t- aj, , sin «p = o.
et il est évident qu'on peut continuer la même série d'opérations sans changer Téquation (7), ni la forme réelle de la substitution (8), jusqu'à ce qu'on ait fait successivement disparaître les variables
de l'expression de Xi .
Cela étant établi, on voit que, par une série d'opérations toutes semblables, on pourra faire disparaître les variables
Xi , Xj ) • • • , X^2
de Texpression de Xf. Comme nous nous arrêtons ici à Xjt.) et que la dernière opération consiste à remplacer Xk^t et Xi»i respectivement par
X*__a cos ^ -fr X*— I sin f, X*— 2 sin ç — X*, ces y,
■on ne verra reparaître dans Xi aucune des variables que l'on a d'abord fait disparaître de son expression.
On peut opérer de la même manière à l'égard des variables Xs , x*, . . . , Xi^i j l'expression de x^ ne contiendra plus les variables Xi , Xj , . . . , Xjt^s , la dernière variable Xi^i ne renfermera plus Xi. Ainsi l'on aura
a,,it 2 = O, cci^k-i
Le nombre h étant supérieur à 2, si l'on substitue les valeurs (8) des variables x dans l'équation (7), et qu'on égale de part et d'autre les coeflScients de XJ, on aura
et cette équation ne peut être évidemment satisfaite par des valeurs réelles des quantités a. On ne peut donc ad-
mettre l'in^aHté des nombres i et A*, ce qui démontre la proposition énoncée.
Théorème de M. SyWester relatif aux fonctions auxquelles conduit V application du théorème de Sturm,
255. Le théorème dont il s'agit ici a pour objet de faire connaître l'expression algébrique des fonctions qui interviennent dans Tapplication du théorème de Sturm à une équation donnée. M. Sylvcster Fa publié sans démonstration dans le Philosophical Magazine (décembre 1839); et Sturm Ta établi ensuite dans un article qui fait partie du tome VII du Journal de Mathématiques pures et appliquées. Nous présenterons la démonstration de Sturm en j apportant quelques simplifications dont l'illustre géomètre a d'ailleurs indiqué la principale en ter^ minant son Mémoire.
Le théorème de M. Sjlvester peut être énoncé comme il suit :
Théorème. — Soit V = o une équation quelconque du degré m à une inconnue x, dans laquelle, pour plus cfe simplicité, le coefficient de x" sera pris égal à ^ unité, et dont les racines supposées inégales seront désignées par a^ b^ Cy,..<fk, L Soit Vi la dérivée de V. Concevons quon cherche, par le procédé ordinaire, le plus grand commun diweur de V et Vj en ayant soin de n introduire et de ne supprimer aucun facteur indépendant de x^ et en changeant toujours les signes des restes aidant de les prendre pour diviseurs. Désignons par Vj , Vj, . . . , V„ ces restes pris avec des signes contraires dont les degrés, par rapport à x, sont respectii^ement m — 2, m — i,..., 1,0, dans le cas général» Les polynômes
SBCnOK II. --* CHAPITRE IV. 567
s* exprimeront en fonction dex et des racines a^b^Cy.,,^ Al, l de l'équation Y =z o^ de la manière suivante :
V4==-y(û— ^»)»(û~c)»(ii— ./)^(A-r)»(^— ^/)»(c--rf)»(x--^),..(r--/),
\y^=l(a ^ l>Y{a - ey. ..{o - l)^{b-cy. . .{i -ly,
les quantités 7.s, ^3,. . ., X„ éfanf déterminées par les ' formules
568 COURS d'àloèbrb svp6iubcre.
et chaque somme \^ représentant une Jonction symétrique des racines dont tous les termes se déduisent, par les substitutions, de celui qui est écrit sous le signe.
La première des formules (i) exprime la composition de Téquation proposée, et la deuxième a lieu par un théorème connu. 11 reste à établir les suivantes.
Soient
les quotients que fournit la rechercbe du plus grand commun diviseur^ ces quotients seront du premier degré en x^ dans le cas général, et l'on aura
Au moyen de ces formules, on peut exprimer successivement
» 3 J V5 , . . . , Vji
en fonction des polynômes Y, Vt et des quotients Qj on trouve ainsi
V, = V.Q.-V, . V3 = V.(Q.Q,-i)-VQ,,
^ j V,=rV.(Q.Q.Q3-Q.-Q3)~V(QaQs-i), » • »
et il est évident que Ton aura généralement
