Cas de deux éqdations. — Soient deux équations

5g6 COURS d'alg£Brc s^iptinuRK.

entre les deux inconnues x etjTy et

les systèmes de solutions communes h ces deux équations. On nomme fonction symétrique de ces solution» communes toute fonction qui ne change pas de valeur quand on y permute les groupes (j^ij^i), (jCt/t)» etc., les uusdans les autres^ nous considérerons seulen^nt les fonctions symétriques rationnelles. Une fonction de cette espèce est toujours exprimable rationnellement par les coefficients des équations proposées.

Par un raisonnement tout semblable à celui que nous avons fait au sujet des fonctions symétriques des racines d'une équation à une inconnue, on fera voir que la détermination d'une fonction rationnelle et symétrique des solutions (jCij^i), (j^t Jî)ï etc, se ramène à celle de fonctions symétriques entières, homogènes, et dont les différents termes se déduisent les uns des autres, en changeant les indices des lettres x et y y mais sans changer leurs exposants. Les fonctions symétriques auxquelles on est ainsi ramené seront dites simples ou du premier ordre, doubles ou du deuxième ordre, etc., suivant que chacun de leurs termes contiendra les lettres d'un, de deux, etc., groupes (oTi/,), (^iJ^j)» ^^c* La forme générale des fonctions simples sera

ponq pouvant être nul. Nous représenterons une pareille fonction par\^x^;^^,^ La forme des fonctions doubles sera

'SECTIOII II. CHAPIT1IE V. ^QJ

tioQs la représenterons par ^.x^yjx^yf^ et ainsi de

suite.

Voici la méthode donnée par Poisson pour calculer la

fonction simple \^ -^f J' f •

Désignons par t une nouvelle variable, par a une indéterminée^ et posons

f z= j: -4- a j, d'où x z=z t — a r ;

«n substituant cette valeur de x dans les équations proposées, celles-ci deviennent

et, en éliminant^, on a une équation finale en t^

<|ui contient dans ses différents termes Tiadéterminée ot. Cette équation en f a po|Lir racines

et elle est, par conséquent, du degré «. D'ailleurs, la somme des puissances semblables de degré fz des racines de l'équation en t peut s'exprimer rationnellement (n^ 171 ) par les coefficients de cette équation, c'est-à-dire en fonction de a et des coefficients des équations proposées. On aura donc

= Ao -f- A| a -f- Aja^ -+-••.,

formule où A«, Ai, etc., désignent des quantités connues et exprimées rationnellement par les coefficients des équations proposées. Celte équation ayant lieu quel que soit a , les coefficients des m4mes puissances de a doivent être égaux dans les deux membres, et il en résulte cette suite

d'égalités :

.rf + jrf -f- . . . + jr'* = A«,

rr+/r+---+rr=A„.

qui feront connaître les fonctions simples \^a:^j'"^ de degré

Le calcul des fonctions doubles, triples, etc., peut ôlre exécuté de la même manière que dans le cas des fonctions symétriques ordinaires. Par exemple, pour avoir la fonction double 5j^r^?"^a J^2 » ^^ multipliera ensemble les

deux fonctions simples ^.x^^ j\ et 2^i ^! ' '® produit

se composera de la fonction simple^ xf''^^ jrf et de la fonction double qu^on veut trouver. On aura donc

Seulement, il faudrait ne prendre que la moitié de celte valeur, si Ton avait à la fois p' = ^, </' = çr.

Les fonctions triples, etc., se calculeront d*une manière analogue.

Ce qui précède suffit pour établir, comme nous l'avions annoncé, que les fonctions symétriques et rationnelles des solutions communes à deux équations peuvent s*exprimer rationnellement par les coefficients de ces équations, et

SECTION II. CHAPITRE V. Sgg

l^on volt que leur détermination exige seulement rélimi<^ nation d^un^ inconnue entre deux équations^

26S. Cks d'un nombue <QiJEL<:oif<^UE d'équations, — La même méthode s'applique à un nombre quelconque d'équations. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trois équations à trois inconnues

/(a:, /, S)=:0,. F{rf-, J, 5) =rO, «J»(x, /, 2 ) = O ,

«t soient

les systèmes de solutions communes à ces trois équations. Conservant la classiGcation que nous avons adoptée des diverses fonctions symétriques, la forme générale des fonctions simples sera

DOT, P 9 T par

celle des fonctions doubles sera ,

et ainsi de suite. Et c'est à la détermination des pre^ mières que se ramène celle de toute fonction symétrique et rationnelle.

Désignant par t une nouvelle variable, par a et 6 deux indéterminées, nous poserons.

/ = j:4- aj 4-6;5, d'où x:=it — cny — 6z.

Ayant substitué cette valeur de x dans les équations proposées, nous éliminerons y ox z\ nous obtiendrons ainsi une équation finale en f , *

600 CODAS D^ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

contenant les indéterminées et et 6, et dont les racines seront

La somme des puissances |!a'*'"" de ces racines pourra s'exprimer rationnellement par les coefficients de réqualion en tj c'est-à-dire en fonction des indéterminées a et ê et des coefficients des équations proposées. On aura ainsi une équation de la forme

où le coefficient A^^,. désigne généralement une quantité connue. Le signe sommatoire S du premier membre s'étend aux n racines de l'équation en t, celui du second membre n toutes les valeurs de {f et de r, telles que

q -h r=i ou <C f*.

En posant p = uL — rj — r, et égalant les coefficients de «^ 6'' dans les deux membres, on aura

c'est la formule qui fera connaître les fonctions simples.

Pour former les fonctions doubles, triples, etc., on procédera comme dans le cas de deux équations. La forme du calcul est la même, et Ton voit qu'en général les fonctions symétriques et rationnelles des solutions communes à plusieurs équations s'exprimeront toujours rationnellement par les coefficients de ces équations.

Il faut remarquer que la détermination des fonctions symétriques des solutions communes à trois équations exige l'élimination de deux inconnues entre trois équations, et généralement la détermination des fonctions symétriques des solutions communes à h équations exige l'élimination de A — v inconnues entre h équations.

ëECTION II. CHAPITBE V. 6oi

Extension de la méthode d'élimination par les fonc-fions symétriqueSy au cas d'un nombre quelconque d'équations.

266. La méthode que nous allons exposer, d'après Poisson, donne le moyen d'éliminer k — i inconnues entre k équations, lorsqu'on sait éliminer k — 2 inconnues entre k — i équations, et, par conséquent, cette méthode ramène tous les cas, en dernière analyse, à Télimination d'une inconnue entre deux équations.

Pour fixer les idées, nous considérerons quatre équations seulement, entre quatre ou un plus grand nombre d'inconnues ; mais on verra sans peine que notre raisonnement est général et qu'il s'appliquerait sans modification au cas d'un nombre quelconque d'équations.

Soient donc les quatre équations

f{^^ y s 2, «,. . .)=zo,

entre quatre ou un plus grand nombre d'inconnues x, y^ z. M, etc., et proposons-nous d'éliminer trois inconnues, x^y^ z par exemple, entre ces équations.

Considérons en particulier les trois premières des équations (i),

FC-^j r> «» «,...) m O,

?(-^> J> 2, 1/,. . .)=zO,

et, regardant or, y^ z comme fonctions des autres variables u, etc., désignons par ^

(•'^ij J'ij 2|)> K^i^ y-it «a)?- • • 9 ('i'/o yny S«;

6oa cou us d'algèbre supérieure.

les n systèmes de solutions communes aux équations (2). Cela posé, remplaçons (x^y^ z)^ dans la quatrième des équations (1), successivement par chacun de ces n systèmes, et désignons par V le produit des résultats ainsi obtenus, en sorte qu^on ait

(3) V=:4>(2r„jr„2,,ff,...)*(x„j„z„a,,..)...<l»(«»%r«»2««i---); Téquation

sera l'équation finale résultant de Télimination de x, j et z entre les équations (i), car cette équation (4) exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les équations (i) admettent un système (x^ y, z) de solutions communes. D'ailleurs V est une fonction symétrique et entière des solutions communes aux équations (a); on pourra donc l'exprimer rationnellement par les quantités indépendantes de .r, y^ z qui entrent dans les équations (i). Pour cela, désignant, comme précédemment, par t une nouvelle variable, par a et S deux paramètres indéterminés, nous poserons

f = x-+- a^H- 6z, d*où x = e — ajr — 825

en substituant cette valeur de. r dans les équations (2), on aura les trois suivantes :

I/(r — a^ — êz, j, z, a,...)z=o, F (t — OLf — ^z, y, 2, «,. ..)==:o, , (p(f — a/ — §3, J, z, a,.. .)z=:0,

entre lesquelles il faudra éliminer y et z. C'est donc à l'élimination de deux inconnues entre trois équations que nous ramenons l'élimination de trois inconnues entre quatre équations. L'équation finale en t qui résulte de

SECTION II, — CHÂ PITRE Y. 6o3

l'élimination dey et de z entre les équations (5) aura pour racines

et son degré sera égal à n. Supposons cette équation formée, et ordonnons-la par rapport à t ; elle sera

pli Pi't ^tb., étant des fonctions rationnelles de r/, etc., qui contiennent aussi les paramètres ce. et 6. Celte équation (6) servira, comme nous l'avons vu précédemment, à calculer les diverses fonctions symétriques des solutions communes aux équations (2), dont l'expression de V est composée, et le problème sera enfin résolu.

Cette méthode conduit, dans les applications, à des calculs ^'une longueur rebutante^ mais nous allons en conclure aisément une démonstration nouvelle du théorème de Bezout, relatif au degré de l'équation finale, ce qui est l'objet principal que nous avions^ en vue.

Tliéorème de Bezout sur le degré de V équation finale,

267. D'après ce qui précède, n étant le nombre des solutions communes [x^j^ z) aux équations (2), on obtiendra une équation finale du même degré n en éliminant deux inconnues quelconques entre les équations (2). Cela est d'ailleurs évident à priori^ car, à cause de la généralité que nous supposons aux équations , tout est semblable par rapport à a:, j^ z^ u, etc. Toutefois, il est important de faire cette remarque, parce que le contraire pourrait avoir lieu si l'on attribuait aux coefficients des valeurs particulières.

Lemme. — Si n désigne le degré de V équation finale qui résulte de V élimination de deux inconnues entre les

6o4 COURS d'âlgèbrb supéuburr.

trois premières des équations (i), et m le degré de la quatrième équation (i)^ le degré de V équation finale résultant de V élimination de trois inconnues entre les quatre équations (i) est au plus égal à mn.

L*équation (6), qui résulte de rëlîmination de-/etz entre les équations (5), étant du degré ;i, les coefficieDts Pif Pu etc., sont des fonctions entières de u, etc., dont la première est au plus du premier degré, la deu'xième du deuxième degré, etc. Cela posé, la somme des puissances semblables de degré /a des racines de Téquation (6),

c'est-à-dire ^ (jCj -+- uy^ 4- êzt)'*? peut s'exprimer sous

forme entière, en fonction des coefficients pi, p^, etc., par une formule qui est au plus du degré /x par rapport k Up etc.; donc, une fonction symétrique simple, telle

que ^.x^^j] z\^ de degré /7 4- ^y-f- r = u, s^expriraera

par une formule qui sera elle-même au plus de ce degré /i, par rapport à i/, etc. Il résulte de là, et du mode général suivant lequel les fonctions symétriques et entières les plus compliquées se forment à Taide des fonctions simples, que toute fonction symétrique et entière du degré \l des solutions communes (j:i,j^i, -Sj), etc. aux équations (a) s'exprimera par une formule entière qui sera au plus du degré (ix par rapport à «, etc. Or, chacun des termes de l'expression de V, donnée par Téqualion (3), est le produit de puissances de m, etc., dont les exposants ont une somme mn — (ix inférieure à m«, par une fonction symétrique entière de degré p des solutions communes (j:i, j^,, Zj), etc., aux équations (a). Donc, enfin, chacune de ces parties de V s'exprimera par une formule qui sera au plus du degré mn par rapport à u, etc., et, par suite, l'équation V = o sera au plus du degré m/t.

SBCTIOPf I[. — CHAPITRE V. 6o5

On pourrait faire à la démonstration précédente Tobjection que voici : Le raisonnement suppose que Us coefficients p^y p^, etc., sont entiers par rapport aux variables m, etc., ou, en d'antres termes, que l'équation (6), qui est du degré n par rapport à chacune des variables t, m, etc., est de ce même degré par rapport à toutes les variables. Or cela n'est pas tout à fait évident, quoique les équations (i) ou (5) soient supposées chacune la plus générale de son degré. Voici, ce me semble, la manière Ja plus simple de lever cette objection. Si quelques-uns des coefficients ^i , ;72 , etc., étaient fractionnaires, quelques-unes des racines / de l'équation (6) deviendraient infinies pour certaines valeurs finies des variables u, etc. Or je dis que cela ne peut avoir lieu, tant qu'on laisse indéterminés les coefficients des équations (a) ou (5), et il suffit évidemment, pour justifier cette assertion, de citer un cas où cela ne soit pas. Supposons qu'on donne aux coefficients des équations (p) des valeurs telles, que chacune, restant du même degré, se décompose en facteurs linéaires de la forme

f -f- ^rr -h £»J8 -4- ca -h . . . -f- / :

on pourra exprimer chacune des racines t de l'équation finale relative à ces. équations particulières, en fonction de M, etc., par les formules qui servent à la résolution des équations du premier degré; et ces valeurs de f, étant évidemn^ent delà forme g"" -f- • • • H- /, ne pourront devenir infinies pour des valeurs finies de u, etc.

On déduit aisément du lemme qui précède la démonstration du théorème de Bezout.

Théorème. — Le degré de V équation Jinale qui résulte de V élimination de h — i inconnues entre k équations est égal au produit des degrés de ces équations.

6o6 GOITH8 D* ALGÈBRE &(}PÉEIEU&E.

Soient, en effet,

l»i, Wa, '"j, • . . , /"*

les degrés des h équations. Le degré de Téquation finale qui résulte de l'élîminalion d'une inconnue entre les deux premières sera égal à m^m, , ainsi que nous Tavons établi au n** 186 : donc, d'après le lemme qui précède, si l'on élimine deux inconnues entre les trois premières équations, le degré de l'équation finale sera au plus myrrii X ^8« ou m^ni^mi ; de même, si l'on élimine trois inconnues entre les quatre premières, le degré de Téquation finale sera au plus nixfu^nii'X.nii, ou mim^mzm^. Et Ton voit, vn continuant ainsi, que le degré de l'équation finale qui résulte^de l'élimination de k — i inconnues entre les k équations sera au plus égal au produit des degrés de ces équations.

On peut ajouter que le degré de l'équation finale sera précisément égal à ce produit, si les équations proposées sont chacune la plus générale de son degré, comme nous l'avons supposé. On s'en assure aisément en considérant un système de k équations décomposablcs chacune en facteurs linéaires, ainsi que nous l'avons déjà fait au n" 71 .

Développement dUine Jonction algébrique implicite en séné ordonnée suivant les puissances décroissantes de sa variable.

268. Les recherches que je vais exposer ici font partie d'un beau Mémoire sur l'élimination^ publié par M. Liouville dans le tome VI du Journal de Mathématiques.

Soit

(i) M(jr, ^')=:o ou M = o

une équation du degré m entre deux variables x et y. Si

SECTION II. — CHÂPITRB V. 6oj

cette équation est du degré m par rapport à y, elle aura m racines y, qui seront fonctions de Xj et que nous nous proposons de développer suivant les puissances décrois* santés de x. En réunissant les termes de même degré, Téquation (i) pourra s'écrire de la manière suivante :

ou, en posant - = u,

f\ /i , /i, etc., désignent ici des polynômes dont le premier est du degré m; les autres sont au plus des degrés m — I, m — 2^ etc., respectivement. Dans le cas le plus général, ces polynômes sont précisément des degrés m, m — I , w — 2, etc.

Les m valeurs de u fournies par Téquation (3) sont des fonctions de x qui, pour a: = oo , se réduiront aux m racines de Téquation

(4) /(a) = o; on pourra donc poser généralement

(5) a rz:a H- 6,

I s'annulant avec-» Nous nous bornerons au cas où les

racines de Téquation (4) sont inégales, et, dans tout ce qui suit, celte hypothèse doit être maintenue. Portons dans l'équation (3) la valeur de u tirée de (5); on aura

Développant chaque terme par la formule de Taylor,

6o8 COUKS o'ALOkBRE SUPÉKIEUItB.

ayant égard à l'équation (4)> et divMant par x'!f~\ il vieat / [(,x)/' (a) +/;(»)]

faisons maintenant or = oo dans cette équation, et désignant par a! la limite de bx; il vient