I» • OU
Cette valeur de a' sera toujours finie, car, par liypo thèse, Téquationy^^a) = o n^a pas de racines égales.
Puisque €X a. pour limite la quantité a!, dont nous venons de trouver la valeur, on pourra poser
d'où
(lO) e:T3 1 ,
c' s*annulant avec -• Par suite, la valeur (5) de m devient
(il) W rr: a H H •
C'est la série dans laquelle ii se développe, quand on se
g' borne aux deux premiers termes ; - est le reste correspondant.
On peut déterminer la limite du produit t'x de la même manière que celle du produit €X. Si, en effet, on porte dans Téquation (7) la valeur de e, tirée de (10), qu'on multiplie ensuite par Xj et qu'on ait égard à l'é*
SECTION II. — chapitHe V. 6og
quaûou (8), il vient
•en désignant par E une somme de termes qui s'annulent
avec -; faisant donc x = oo , et désignant par a'' la lî-
mite de e'x, on a
équation qui détermine la valeur de a!' .
Connaissant la limite a" du produit t'x^ on pourra poser
d'où
<e^ étant une nouvelle quantité qui s*évanouit avec-» D'à- |irès cela, la valeur (ii) de m devient
a! ol" s"
"c''est la série qui exprime la valeur de u quand on se borne aux trois premiers termes , -^ est le reste correspondant.
On pourra obtenir ainsi autant de termes que Ton voudra du développement de m, et comme j = ux^ on aura, par suite, autant de termes que Ton voudra du développement de /; on a, en particulier,
j = ajc + SX, /l5) j. = «x + a'-^.',
r = ax + c3t'H 1 — •
6lO COUES D^LCàBRE SUPÉ&IEVfiE.
La deuxième de ces trois formules comprend toute la théorie des asymptotes rcctilignes; la courbe représentée par l'équation (i), où x et jr désignent alors des coordonnées rectilignes, a pour asymptote réelle ou imaginaire la droite représentée par Téqualion
(16) jr = aX'\-(xf.
La diiïérence e' qui existe entre les coordonnées de la courbe et de l'asymptote est généralement un infiniment
petit du premier ordre y en considérant - lui-même
comme un infiniment petit du premier ordre.
La courbe représentée par Féqualion (i) admet aussi pour asymptote Fhyperbole que représente Téquation
mais dans ce cas la différence — des ordonnées des deux
courbes est un infiniment petit du deuxième ordre au moins. La courbe (17) pourrait être appelée asymptote du deuxième ordre de la courbe proposée; et, conameon peut pousser aussi loin que l'on veut le développement àe y en série ordonnée suivant les puissances décroissantes de X, il en résultera une infinité de courbes des degrés respectifs 3, 4) etc., et qui auront, avec la courbe proposée, un asymptotisme de plus en plus intime.
On voit aisément, sans qu'il soit nécessaire d'insister sur ce sujet, comment il faudrait modifier la méthode, si l'équation
avait des racines égales, contrairement à l'hypothèse que nous avons faite.
SECTlOIf II. CHAPITRE V. 6l I
Formation de V équation finale qui résulte de Vélimi^ nation d^ une inconnue entre deux équations à deux inconnues. Noui^elle démonstration du théorème de Bezout. Somme des racines de V équation finale.
269. La méthode que nous venons d'exposer permet de former autant de termes que Ton veut de Péquation finale qui résulte de Télimination d'une inconnue entre deux équations. Soient les deux équations générales
des degrés /n et n respectivement 5 en réunissant les termes de même degré, on pourra les écrire de la manière sulvante :
f-i /î? /iî ^^^'' ^^^' ^^^ polynômes respectivement des degrés /w, m — i , m — 2, eitc. 5 F, F^, Fj, etc., des polynômes des degrés n^n — i , n — 2, etc.
Soient j"i, j^j,..., y^n les valeurs de j^ tirées de la première des équations (1)5 portons-les dans le premier membre de la seconde, et désignons par V le produit des résultats ainsi obtenus, de manière que Ton ait
(3) Vr=N(^,r.)iN'K/0---N{x,r»);
Téquation finale qui résulte de Pélimination de j^ sera
On calculera aisément la fonction V, en développant en série, suivant les puissances décroissantes de x^ chacun
6l2 COUfiS d'aXGÈBRE SUPÉRIECEE.
de ses facteurs, dont Tcxpression générale est N (a:, j). Je dis même que, si Ton ne veut connaître que le premier terme de V, il suffit de borner les séries dont nous parlons à leur premier terme \ que, si Ton ne veut que les deux premiers termes de Y, il suffit de connaître les deux premiers termes des séries, et ainsi de suite.
Supposons, par exemple, qu'on ne veuille connaître que le premier terme de V; on a, en faisant comme pré-
cëdemmemu = ^,
Posons aussi, comme plus haut,
e étant une quantité qui s'annule avec -) et a une racine
quelconque de Téquation
on aura
Jr* X
et pour X = 00 ,
OU
£ désignant une quantité qui s'annule avec -• D'après cela, en représentant par
SECTIOir II, CHÀPITKE V. fil 3
les m valeurs.de a, on aura
N {x,jr^) — X» F(a„) -h x^ E^,
Ej, Ej,..., E„ désignant des quantités qui s'évanouissent avec -• Si l'on multiplie ces équations et que l'on ait égard à Téquation (3), il viendra
H désignant une quantité qui s'annule avec-» Le premier terme de V est donc
on pourra l'exprimer en fonction rationnelle des coeffi-
• cients de F et/, puisque F (a,) F (««)... F (a„) est une
fonction symétrique et entière des racines de l'équation
Il suit de là que l'équation finale qui résulte de l'élimination dey entre les équations (i) et (2) est d'un degré égal au produit des degrés de ces équations.
Remarque. — Si les coeflScients des équations (i) ont des valeurs déterminées, et que ces équations contiennent la plus haute puissance de y y l'équation finale résultant de l'élimination dey sera toujours V = o, et l'on voit que le degré de cette équation finale sera encore égal au produit des degrés des équations proposées, a moins que les équations
6l4 COURS D*ALGbBRE SUPÉRIEURE.
niaient une ou plusieurs racines communes, auquel cas ce degré s'abaissera nécessairement.
270. Pour avoir les deux premiers termes de Téquation finale V = o, il faut connaître les deux premiers termes du développement de N (x, j^) en série. Pour cela, dans Téquation
nous poserons
c' désignant toujours une quantité qui s'évanouit avec -9 a une racine de
et a' une quantité que nous avons calculée, et qui est déterminée par Téquation
on aura alors
E désignant une quantité qui s'annule avec -• Cette for-
mule donne le développement de N (x^j), borné aux deux premiers termes ; en y remplaçant a par chacune de ses m valeurs, on aura .
N(ar, j.) z=r a:«F(a.) + .r*-» [a, F'(a,) -h F. (a.)] + ^'^•E., N (x, jr,) ^ x»F(aa) + .r-» [a', F' (a,) -h F. (a,)] -f- a:"- E„
N (x, Xm) = *"F(aJ -f- x»-» [a;„F'(a;„) -h F, (aj] -h a:«-E«.
Dans ces équations, Ei, E2, etc., sont des quantités qui s'évanouissent avec -) et a'^, «j, etCi, sont les valeurs
SECTIOU II. — CHÀPITRB V. 6l5
de CL* qui correspondent aux valeurs a^ «s, etc., de a. Multipliant toutes ces équations et désignant simplement par a:""""* H l'ensemble des termes dont le quotient par
jpmn-i s'annule avec -» on aura
V = «"«F(a,)F(aO...F(a„)
Dans cette dernière formule, la quantité H, qui est infiniment petite avec -^ contient un nombre limité de termes,
et l'on voit que le deuxième terme de V aura pour coefficient
F(,.)FK)...FM2:''"'^;\:)"-^'^
le signe ^ s'étendànt à toutes les racines a de l'ëquation
D'après cela, si l'on désigne par y,g la somme des racines 'de l'équation finale en x, on aura
2é'''=-Z^ Fî^ô '
OU, en mettant au lieu de a' sa valeur — ' , .>
On pourrait calculer ainsi autant de termes que Ton voudrait de l'équation finale V = o; par suite, cette •équation tout entière : seulement les calculs deviennent de plus en plus compliqués, et nous devons nous borner à ce qui précède.
6l6 COUUS D*ALGÈBRE SUPÉIIIEIIRE.
271. Au lieu de porter dans Téqualion N = o les valeurs àejr tirées de M = o, afin d'avoir Téquation finale V = o, on aurait pu faire l'inverse, porter dans l'équation M = o les valeurs dey tirées de N = o 5 mais alors
on aurait eu une autre expression de la somme ^^^ des
racines de Téqualion finale, que Ton peut écrire sans faire de nouveaux calculs. H est évident, en effet, que Ton aura
les sommes du second membre s'élendant à toutes les racines 6 de lequation
En égalant entre elles ces deux valeurs de ^^x^ on obtient
les sommes du premier membre étant relatives aux racines a de y (a) = o, celles du second aux racines 6 de F (6) = o. Dans cette formule, qui exprime un théorème d'analyse,/* et F désignent des polynômes quelconques, qui n'ont pas de racines égales, ni de racines communes; fx et Fi désignent aussi des polynômes quelconques, mais de degrés respectivement moindres que/^etF.
Supposons que le polynôme F soit égal à yi, et que Fj soit identiquement nul*, l'équation précédente se réduit à
on même à
SECTION II. CHAPITRE V. 6lJ
puisque chaque terme du second membre est nul, le signe ^ étant relatif aux racines de F(S)= o. Dans
Téquation précédente, le signe \^ s'étend aux racines
a de f[a) = o, et F' désigne la dérivée d'un polynôme quelconque F de degré inférieur à y*; par conséquent, F' est un polynôme quelconque de degré inférieur k f\ La formule précédente résulte aussi, comme nous Tavons vu, de celle qui donne la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.
Dé\^eloppementy en séries ordonnées suivant les pius^ sances décroissantes de la "variable, de plusieurs fonctions algébriques définies par autant d^ équation s.
272. L'analyse que nous venons de développer peut être aisément généralisée, et étendue au cas d'un nombre quelconque d'équations.
Soient
(i) M(a:, jr, z) = o, N(.r, ^r, 3) = o
deux équations générales des degrés m et n respectivement entre les trois variables x^ y^ z ] la première x étant considérée comme indépendante, les deux autres y et z en seront des fonctions. En réunissant les termes de même degré, les équations (i) pourront s'écrire de la manière suivante :
6l8 COURS D^ÀLGÈBEE SUPÉEIEU&E.
ou, en posant -= u, -■= ^j
y et F sont des polynômes des degrés m et w respectivement, entre les variables u ex. {^\ f^ et F^ sont respeclîvement des degrés m — i et » — i , et ainsi des autres.
En vertu des résultats précédemment obtenus, le nombre des solutions communes (u, v") aux équations (3) est nin^ ainsi que le nombre des solutions communes (a, S) aux équations
(4) /(a,6)=ro, F(a,6) = o;
et les mn systèmes de solutions communes des équations (3) se réduiront, pour x = oo , aux mn systèmes de solutions communes des équations (4)* On pourra donc poser généralement
(5) ai=za-f-e, (/ zrr g -+- >î ,
e et rj désignant des quantités qui s'annulent avec -• Ces
quantités sont d'ailleurs les restes des séries dans lesquelles M et V se développent quand on borne ces séries à leur premier terme. Pour calculer les limites des produits 6 or, y?j:, nous suivrons la même marche qu'au n^ 268. En portant dans les équations (3) les valeurs de u et 1^5 tirées de (5), et ayant égard aux équations (4), on a
J^M-£h-7î ^ -+-'.•] H-^'-'f/Ca, ê)-h...]-t- ... =0,
^' ( «3- -^-^ 3g- -+-•••) -4-^""'[Fi(a, 6)-t-. ..]-t- . . . =0. En divisant ces équations respectivement par x^"* et
x""*, faisant ensuite a; = oo , et posant
on obtient
' ,^F „ rfF ^
d'où l'on tire les valeurs suivantes de a' et S' :
y^f fdV
dot, d^ d^ da
/i -j ri —
d/dF rf/r/F ^ dd d^ d^ da
Eu désignant par e' et n' de nouvelles quantités infiniment
petites avec -? on pourra poser
ejTzz: a' -f- e', >îx = 6' -+- *î',
et, par suite,
as o >î a:=aH H » pizzSH 1 ;
on aura ainsi les deux premiers termes des séries dans lesquelles u et i^, ou j* et z, peuvent se développer, et Ton voit aisément qu'on pourra, de la même manière, obtenir les termes suivants.
Cette méthode s'applique, quel que soit /i, au cas de ^ — I équations entre (Ji variables, pourvu qu'on écarte, comme nous Tavons fait jusqu'ici, en raisonnant sur des équations générales, quelques cas particuliers qui peuvent se présenter.
620 COURS D^ÀLOÈBRB SUPÉHIEURE.
Formation de P équation finale gui résulte de V élimination de deux y trois y etc.^ inconnues entre trois ^ quatre, etc., équations. Noui^elle démonstration du théorème de Bezout. Somme des racines de V équation finale.
273. On peut, par l'analyse précédente, former autant de termes que Ton veut, de l'équation finale qui résulte de Télimination de deux, trois, etc., inconnues, entre trois, quatre, etc., équations.
Soient, par exemple, les trois équations générales
(i) M(x,jr, z) = o, N(jr,jr, «):==: o, P(j:, j, «)=o,
des degrés m, n, p respectivement, entre trois inconnues '^'i y^ ^\ ^^ réunissant les termes de même degré, ces équations seront :
\x xj \X Xj
\x xj \X X j
y, F et cj> sont des polynômes des degrés m, /7, p respectivement, par rapport aux deux variables qu'ils renferment; yi, Fi, Çi sont respectivement des degrés m — i, n — I , p — I , et ainsi de suite.
Désignons par
les mn systèmes de solutions communes aux deux premières des équations (i)^ et posons
SECTION II. GHàPlTRE V. 62 1
réquation finale résultant de rélimînatîon dej' et z entre les équations (i) sera
et c'est cette équation qu'il s'agît de calculer. On y parviendra en développant en série chacun des facteurs P{j:,^5 z) de V, et il suffira de connaître autant de termes du développement de P qu'on en veut avoir dans V. Nous nous bornerons ici, comme nous l'avons fait dans le cas de deux équations, à calculer les deux premiers termes de V, ce qui suffit pour connaître le degré et la somme des racines de l'équation finale.
On a, en faisant, comme précédemment, - = ii, - = p»,
et, si Ton pose
« = a -h 8, (> zzr 6 + rj,
il vient
P (-^Sr» z)=xP^[aLy 6) -f- xf'E,
E s'annulant avec -9 ainsi que e et y;. En mettant dans
l'équation précédente, à la place de x et j^, leurs mn valeurs, il vient
'9[x,y,,Zy):=xPff[ai,,^,)-^xPZ,,
Et, El,..., E,„„ étant des quantités înfinimenl petites avec -• Enfin, en multipliant toutes ces équations, on a la va-
leur suivante de V,
6a a Goniis d'algèbre supérieure.
où H désigne une quantité qui s'annule avec -• Le premîer terme de V est donc
af^P9[aLy^ 6,). . .«p{a„„, 6„„).
Il suit de là que le degré de Téquation finale qui résulte de TélimiiiatioD de ^ et z entre les trois équations (i) est égal au produit des degrés de ces équations, ce qui fournit une nouvelle démonstration du théorème de Bezout.
Si l'on veut obtenir les deux premiers termes de l'équation finale V = o, il est nécessaire de calculer les deux premiers termes du développement àeV[x^y^z) en série ordonnée suivant les puissances décroissantes de x. Pour cela, dans Téquation
P(x, j, z) = x^y (w, v) -f- x/'"'' <pi ( tt, p) H- . . .
nous poserons
t' et fi' désignant toujours des quantités qui s'évanouissent avec -> a' et 6' des quantités déterminées par les équa*
tions
/ df ,, df ^
dot. a 6
La valeur de P (j:, /, z) pourra alors s'écrire de la manière suivante :
en désignant par E une quantité qui s'annule avec -; on aura donc
P {^j Xmny ^mn) ^= J:P(f (a«„, ^^n)
Dans ces équations nous avons mis, pour abréger, -7^9 etc.,
UOLi
a la place de —^ ? etc.; a,, a^, etc., désignent les
valeurs de a' qui correspondent aux valeurs «1, «j, etc., de a; enfin, Ei, E|, elc, sont des quantités inGniment
petites avec-- En mulii pliant toutes ces équations, on
aura la valeur suivante de V : ,
-h x^»/»-' 7 (a„ 6.). . .^ (a«„, 6«„) ^ ZT^)
+ aj"»/»-» H,
où H désigne une quantité qui s'annule avec -^ et où le
signe ^ s'étend k toutes les solutions communes (a, S) des deux équations
Le second terme de V est donc
af«"P-^ (p (a„ 6,) . . ,ff (ctmni ^mn) ^
6a4 COURS D^ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
et si l'on désigne par V x la somme des racines de l'équalion finale V = o, on aura
En remplaçant, dans celte formule, a' et 6' par leurs valeurs écrites plus haut, et en faisant, pour abréger,
d ep d^ df d «p ilv. dt doL d^
^, ^v dfdF dY df ^ ' ^ doL r/6 doLd^^
on aura cette expression
^'^~' iLç(a, S; -ii (p(a, 6)C(a, 6) '
OÙ les sommes du second membre sont relatives à tous les systèmes de solutions communes aux deux équations
/(a,6) = o, F(a,6)zrro.
Le calcul des deux premiers termes de Téquaiion finale, qui résulterait de l'élimination de (Ji — i inconnues entre u équations, n^odnra pas plus de difficulté, quel que soit /x, que dans les deux cas particuliers qui ont été développés \ la marche à suivre est toujours la même, et Ton peut considérer comme générale la nouvelle démonstration que nous avons dounée du théorème de Bezoul pour les cas dé deux et de trois équations.
Démonstration d* une formule de Jacobi.
274. Pour obtenir Téquation finale V = o, nous avons porté, dans la troisième des équations données, les valeurs
SEGTIOn II. — CHAPITRE Y, ÔaS
de j^ et de z, tirées des deux premières ; mais on aurait pu opérer de deux autres manières différentes : par exemple, en portant dans la première équation les valeurs de ^ et de z^ tirées des deu^ dernières, on aurait obtenu
une expression différente de ^ x, qui peut évidemment
être tirée de celle déjà trouvée, en changeant Tune en l'autre / et cp, fi et Çi , etc. On a donc
2 W.(y^^) y^F.(7,^)B(7,^)-hy.(7.^)C(7,^) ^ - -i-/(7,^) ^ /^(7,^)A(7,^)
mais ici les sommes qui figurent dans le second membre sont relatives aux solutions communes des équations
Egalons les deux valeurs trouvées pour^^ ^t et supposons que les polynômes Fi et fi soient identiquement nuls^ on aura
2yi(«> €) ^.'^ yi(7>^)C(7»^)
en se rappelant que le signe \^ s'étend, dans le premier
membre, aux solutions communes de/(a, S)=o, F(a, S) = o, et, dans le second membre, aux solutions communes de F(7, ô) = o, y (y. S) = o. On peut, dans cette formule, considérer les polynômes y, F et cp comme absolument arbitraires; et, quant au polynôme ^j, il n'est assujetti, par notre analyse, qu'à la seule condition d'être d'un degré inférieur à celui de ç. Supposons
la somme du second membre de l'équation précédente I. 4o
6a6 COCB8 d'alcèbue supérusure.
«era tlora reltUve aux solutions commîmes des deux
équations
et, par conséquent, chacun de ses termes sera identiquement nul. On aura donc
C(«,êj
ou
doc d^ dex, d^
le signej '''^tendant «« «lutions communes des deux
équations
Cette formule ramarquable, où fi désigne un polynôme
quelconque de degré inférieur à celui de -7- --5^ — -»
^ ^ dcLd^ tifLd^
est l'extension de celle que nous avons démontrée au
n^217 et que nous avons rencontrée de nouveau au n° 271 .
Elle a été démontrée pour la première fois par Jacobi, et
M. Liou ville y a été conduit naturellement comme nous
Tenons de le faire voir^ dans ses recherches sur rélimi-
nation*
AppUcatiofi da la théorie précédente à une questkm
de Géométrie.
275. M. Liouville a déduit des résultats qui précèdent la démonstration d'un théorème curieux de Géométrie que nous allons présenter ici :
Théorème. ^— Si Von mène à une courbe algébrique la série des ttmg&^es parallèles à une direction dwinécy
^ SSCTIO» II. — CHAPITRE V. Ôa^
le centre des moyennes distances des points de contact sera indépendant de cette direction*
Soit
l'équation d'une courbe algébrique 5 les coordonnées réelles ou imaginaires des points de contact de celte courbe avec les tangentes parallèles à la droite y :^ ax seront les solutions communes aux deux équations
Si l'on pose - = m, et qu'on représente la courbe par
l'équation cj» (x, u) = o, les coordonnées x etu seront les solutions communes aux deux équations
Soit donc, conformément aux notations du n^ 268^
/j fi ï etc. , désignant de» polynômes des degrés m , ni — I , etc. 5 on aura
' -lz=znix"*-'f(u) -h {m — 1)0^-^/^(11) -H..., au
et, par suite^
dx X du ^ ^
en faisant, pour abréger,
(2) \Y,{u) = {m^i)Mu) + {a^u)f:(u),
6'j8 cours d'algèbre supérieure.
F(u), Fi (u), etc., sont des polynômes des degrés m — i, m — a, etc. ; car dans F (u), par exemple, les deux termes du degré le plus élevé, qui proviennent de rnf[u) et de (a — u)f[u)^ se détruisent évidemment-, et la même chose a Heu pour Fi (ii), etc.
L^équation finale qui résulte de Télim! nation de j- entre les équations (i) est la même que celle qui résulte de l'élimination de II entre
xV(«)-+- J:""'/i(a) ■+-...=: o, jr*-'r(a)-l-.T— 'F,(a)-4-.. .= o.
Si donc on désigne par \|a; la somme des racines de l'équation finale, on aura (n** 269)
le signe ^ s'étendant dans le second membre aux racines
de Téquation
et et' étant une quantité déterminée par l'équation
Pour avoir l'expression de Va: en fonction des quantités
données/*, f^^ etc., diflérentions la première des équations (a) ; on aura
Les 'équations (2) et (3) donnent ensuite
SECTION II. — CHÀPITHE V, 629
OU, comme la quanliié ctJ f^ [a) 4-/1 (a) est nulle,
On aura aussi, en faisant u = a dans la première des équations (a), et en remarquant quey(a) est nulle,
Des équations (4) et (5) on tire
par suite, la valeur de^^ ^^^
'^-" Zi r(a)
et on voit qu'elle est indépendante de a, La somme des distances à Taxe des^des points de contact de notre courbe avec les tangentes parallèles à la direction donnée est donc indépendante de cette direction \ ce qui démontre le ' théorème énoncé, car l'axe des y est une droite quelconque située dans le plan.
La démonstration précédente semble en défaut lorsque l'équation y*( a) = o a des racines égales; pour montrer que les conclusions sont cependant exactes dans ce cas, on peut employer un raisonnement dont nous avons déjà fait usage. Il suffira de changer infiniment peu les coefficients de f^ de manière quey(«) = o n'ait plus de racines égales, et de supposer ensuite ces changements nuls : on aura une courbe infiniment peu différente de la proposée, et pour laquelle le théorème aura lieu ; d'où Ton peut conclure qu'il a lieu, à la limite, pour la courbe proposée elle-même.
