OL CL

y z=: ûLX -{- (x! A 1 -+. .,

en sorte que, dans le cas général, les racines y d'une équation à deux variables xeX y sont du premier degré par rapport kx (^). Mais il n'en est pas toujours ainsi, lorsque l'équation que l'on considéré manque de quelques termes. Nous allons indiquer un procédé pour trouver généralement les degrés des racines y de l'équation ( i) , et pour former les développements de ces racines en sé~ ries ordonnées suivant les puissances décroissantes de x. En ordonnant Téquation (i) par rapport aux puissances décroissante^ de y^ nous l'écrirons de la manière suivante :

(2) Ar" + A.j"' +. . .4- A*/* -4-. . .+ A,y"' -*- A,+: =r o,

et nous désignerons par les degrés des coefficients

A« Aiy Aj,**., Ax j « • . , A|, A|'|| )

qui sont des fonctions entières de x.

Cela posé, désignons par /* un exposant indéterminé, par u une nouvelle variable, et faisons

C*) On dit qu'une fonction j* de a: est du degré /', lorsque le quotient

—p. n'est ni nul ni Infini pour x = <x> ,

634 COUKS d'àLOÈBEB SUP^ftlSC&E.

l'équation (a) deyient

ou, en divisant par A a:*'',

(4) tt -4- T « -H. ..H ;-«*-+-... H = o;

dans cette équation, les degrés relatifs à x des coefficients des ternies qui. suivent le premier sont respectivement

^ '\m — mk J \ m /

Désignons par px le plus grand des nombres

pi — P fA| f* f*i" — f* P/4-» — f*

/w — m, /» — mk rn — /w,- m

et supposons que i- — î— soit le dernier de ceux qui sont

égaux à /9i, Si Ton fait r= jOi, quelques-uns des nombres (5) seront nuls, mais tous les autres, et en particulier ceux qui suivent le A'*"»«, seront négatifs \ en sorte que, pour a: = oo , l'équation (4) prendra la forme

w"* -i- ...-♦- B* a"* = o , ou u"kf(^u^ z=z o ,

les coefficients B ayant des valeurs finies et le dernier d'entre eux Bt étant différent de zéro. Cette équation (6) a nti racines nulles, et m — nii racines finies et différentes de zéro. U s'ensuit que, parmi les racines j de Téquation (2), il y en a m^ dont les degrés sont inférieurs à pi, et m — m^ dont les degrés sont égaux à p^. En outre, les premiers termes des séries qui représentent ces dernières

racines sont égaux aux diverses valeurs de a x quand on

SECTIOET II. — CHAPITIIE V. 635

prend successivement pour a chacune des racines de

Téquation

Cherchons maintenant les premiers termes des séries qui représentent les rrii racines y de degré inférieur à jOj.

En divisant l'équation (3) par A;t^'"*^ eUe devient (7) \

les coefficients des termes qui précèdent u"^ ont pour degrés

et ceux des termes qui suivent u"* ont pour degrés

/ Xm — m+i 1

\ ^ '\/w*— OTK y \ mk J

Désignons par ps le plus grand des nombres

et supposons que ^ ^ soit le dernier de ceux qui sont

^* ^ mk — m)f *

égaux à pt* U est aisé de voir que p% est plus petit que pi.

En eilet) on a, par hypothèse,

/w — mk m — my '

636 covms d'algèbre supébtedkb.

et l'on en déduit

Ul|/ — U|

Si Ton fait r = pu les nombres (9) sont nuls ou négatifs, et en particulier tous ceux qui suivent le (A' — /é)'««* sont négatifs. On voit aussi que tous les nombres (8) sont négatifs; car si g est <^Aî, on a, par hypothèse,

d'où

^- — ^ = ou < p, avec -^ — ^ = pi , m — nig ' /it — W| ^

JîtUi^ = ou > p. er Jit:^p.>o.

D*après cela, si Ton y fait r=:pi et a: = 00, l'équation (7) prendra la formé

(10) a"* 4-.. .-4- B4/aV = o, ou !*'"*'/(«)=: o,

les coefficients B ayant des valeurs finies et le dernier B^/ étant différent de zéro. Cette équation (10) a mir racines nulles et m^ — mir racines finies et différentes de zéro. Il s'ensuit que, parmi les racines^ de l'équation (2), il y en a m^ dont les degrés sont inférieurs à p^^ et nii — nii, dont les degrés sont égaux k pf. En outre, les premiers termes des séries qui représentent ces dernières racines

sont égaux aux valeurs de a 2: * quand on prend successivement pour a chacune des racines de Téquation

En continuant ainsi on déterminera les premiers termes des séries qui représentent les mit racines de degré inférieur à pi. Ce que nous avons dit suffit évidemment pour établir le théorème suivant :

Théobème. — Étant donnée Véquation

»M 4 «Ti I A "*

ordonnée par rappoH aux puissances décroissantes de y y et dans laquelle les coefficients

Aj A|, Aa, . . • y Af4.i

sont des fonctions entières de x ayant respectivement pour degrés

51 p, désigne le plus grand des nombres

ef que ^ 5ort le dernier de ceux dont la valeur

^ m—mk

est pi, Véquation proposée aura m — mj, racines de degré pj, et si Jt e^f <^ / H- i , les mj. autres racines seront de degré inférieur à pi. Si, en second lieu, pi désigne le plus grand des nombres

w* — w*,i mit — /w*+2 » wi

et que — — — soit le dernier de ceux dont la valeur mh — mift

est pj, Véquation proposée aura m^ — m^r racines de

degré pj, et si h! est <^i4- i, les my autres racines se^

ront de degré inféneurà pj. Si, en troisième lieu, pj dé*

signe le plus grand des nombres

et que — — — soit le dernier de ceux dont la valeur ^ mkf—- myt

est p,, Véquation proposée aura m y — niyi racines de

638 OOTJAS 0*ALOÈBKE SUVÉIUBUKE.

degré pfy et si V ejf < « -H î , l^s mirr autres racines seront de degré inférieur à p^. Et ainsi de suite,

Qaand on aura trouvé les premiers termes des séries qui r.eprésentent les diverses racines^ de Péquatîou proposée, on obtiendra aisément et de la même manière autant de termes qu'on voudra de ces séries. Considérons,

par exemple, nne raciDc dont le premier terme ioit ax^^ on posera

si la proposée n'a quWe seule racine dont le premier

terme soit ax^f la transformée en z n^aura qu'une seule racine de degré inférieur à p, et si la proposée a plusieurs

racines ayant ax^ pour premier terme, la transformée aura un pareil nombre de raciiles de degré inférieur à p. On trouvera les premiers ternies de ces racines de Féquatiou en X, comme on a trouvé les premiers termes des racines de l'équation en ^ ^ on connaîtra ainsi les deux premiers

termes des racines de l'équation en y qui ont a j/ pour premier terme. Et, en suivant la même marche, on calculera autant de termes que Ton voudra des racines de l'équation en y^

Exemple. — Proposons*nous de trouver les degrés des racines jr de l'équation

nous désignons, avec Bezout, par la notation {x, fi) un polynôme en x du degré p»

D'après le théorème que nous venons d'établir, il faut d'abord former les nombres

SECTION II. — CHAPITRE V. Ô'ip

dont le maximum est -^ le dernier nombre égal à ce

maximum occupant le deuxième rang, Téquation proposée a deux racines de degré ^* Pour avoir les degrés des autres racines, il faut former les nombres

dont le maximum est — ^^ le seul nombre égal à ce

maximum occupant le troisième rang, Téquatiou pro-

posée a trois racines du degré — x»

Formation de V équation finale qui résulte de Vélimi^ nation d'une inconnue entre deux équation^ quel^ conques à deux inconnues. — Détermination du degré de l'équation finale,