Soient les deux équations

( I ) M (x, j) " Aj*" -4- A,^"" -+-...-+- Ai^i 4- Ai^i = o ,

que nous supposons ordonnées par rapport aux puissances décroissantes de j^ et dans lesquelles les coefficients A, Al , • . • y 6, 6i , . . . sont des fonctions entières de x. U s^agit de former Téquatian finale qui résulte de Félimination de jr.

Désignons par jfi, j'a» . . • » j^ les racines de Téquation (i) résolue par rapport à jr, par tii, nt-, » • . » n«» les racines de Téquaiion (a), el posons

P=:M(jp, iT,)M(ar, n3)...M(x, >]„) , Qrzr N(x, j,)N(j:, jj).. .N(x,7„).

64o C0VB8 d'algèbre supérieure.

On a

d'où

M{x, n,)=: A (>!,— /,) (îia—rO- ••("» — .?'-•)>

Il suit de là que -^ est égal au produit des différences

qu'on obtient en retranchant chacune des racines jr^^ r« » • • • » Jm de chacune des racines yji , ïîj , . . . , >?„. On

trouverait de même que ^ est égal au produit des difie-

renées qu'on obtient en retranchant chaque racine ri de chaque racine y y et comme le nombre de ces différences est rnuy on a

A» ^ ^ B" ou

Or, P est une fonction entière et symétrique des racines de l'équation (2), et ses coefficients sont des fonctions entières des coefScients de T équation (f ) ; donc 6*"? est une fonction rationnelle des coefficients des équations proposées, et qui même est entière par rapport aux coefficients de l'équation (1). Pour la même raison» A'^Q est une fonction rationnelle des coefficients des équations proposées et qui est entière par rapport aux coefficients de l'équation (2). Donc, à cause de l'équation (3), B"? est une fonction entière des coefficients des équations (1) et (2), et, par suite, elle est une fonction entière de x.

SECTION II. CHàPlTIlE T. 64 1

Nous la désignerons par F (x), et nous allons montrer que

est Téquation finale qui résulte de réliminatio'n dey entre les équations proposées. En effet, soit a une valeur de x répondant à la question, c'est-à-dire telle, que les équations

M(fl, j^) = o, ' N (a, j) = o

aient au moins une racine commune; on a nécessairement, pour a? = a, P = o et Q= o, et, par suite, F (x) = o. Réciproquement, soit a une racine de F (x) = o 5 à cause de

on a nécesisairement P = o et Q = o pour x = « , et, par suite, les équations

ont au moins une racine commune. Ceci suppose toutefois que A et 6 ne soient pas nuls en même temps, pour x= a'^ mais il est évident que les équations proposées admettent alors la solution commune x = a, j = co . Au surplus, on peut exclure ce cas particulier en changeant infiniment peu les coefficients des polynômes A et B sans changer leurs degrés; d'où il suit que l'équation (4) n'aura jamais de racine étrangère. Et cette considération permet aussi de voir que si A et B ont un facteur commun, le polynôme F(x) sera divisible par ce facteur.

Lorsque les polynômes A, Ai,..., B, Bi,..., sont chacun le plus général possible de^on degré, les équations (i) et (2) n'ont pas de solutions multiples et ne peuvent acquérir qu'une seule racine commune y pour chaque racine de l'équation finale. Mais le contraire peut arri- I. ' 4i

64 2 GOVR8 d'algèbre SUPÉRIEURE.

ver si les coefficients des polynômes A, Ai,.«., B, Bi,... ont des valeurs déterminées. Dans ce cas, chaque racine deréquatiou finale a le degré de multiplicité convenable; il suffit, pour s^en convaincre, de changer infiniment peu les coefficients des polynômes A, A],..., B, Bi,..., et de supposer ensuite ces changements nuls.

Passons maintenant à la détermination du degré de l'équation finale. Pour cela, on cherchera les degrés pi, Pt9«««î Pn des racines y}|, y^tj-*-» ^n de l'équation (2), et Ton en conclura aisément les degrés Xi, ^tvM ^n ^^^ fonc* tions ]VI (x, y)|), M(a:, %))•.. ^ M(x, y]»). Ces degrés X peuvent être fractionnaires, mais ils ne sont jamais négatifs, parce que le polynôme Ai^i est au moins du degré zéro. Enfin, si l'on désigile par v le degré du polynôme B, il est évident que le degré de B"*P ou F (x) sera

mv -f- ^1 -4- ^1 + . . . 4- Xv

Il peut arriver, dans quelques cas particuliers, qu'il ne suffise pas de déterminer les degrés pi, pt>***i pn pour connaître X^, ^t,..., X„, et qu^il soit nécessaire de calculer entièrement un ou plusieurs termes des séries qui représentent les racines rjij rij,..., .y)„. Mais il est évident que ces cas particuliers ne peuvent se présenter que si la série dans laquelle se développe Tune des racines tîi, rJtvj ^n coïncide, dans quelques-uns de ses premiers, termes, avec la série dans laquelle se développe Tune des racines

Soient, pour exemple, les deux équations

(JT, 2) j' -h (JT, 2) 7» -h (X, 4)7» -h {x, 5]jr -H (X, 5) =:0,

OÙ (x, j!a) désigne, comme plus haut, un polynôme quelconque du degré (Jt.

Les degrés pi, ps, ps, p^, p^ des racines de la seconde équation ont ici pour valeurs

on en déduit

D'ailleurs, v = 8 et /n = 4; donc le degré de l'équation

finale est ici

la limite assignée par le théorème de Bezout est 6.1 3 ou 78.

Lorsqu^on a deux équations entre deux inconnues x et y^ il peut arriver que l'équation finale résultant de Télimi nation de j^ne soit pas du même degré que Téquation qui résulte de Télimination de x. Efifecti vement , Féquation finale en x donne seulement les valeurs finies de X propres à satisfaire aux deux équations proposées, et si Féquation finale eay est d'un degré plus élevé que celle en a:, il y a nécessairement quelques racines de l'é* équation en j" qui correspondent à des valeurs infinies ou indéterminées de x. D'après ce qui a été dit précédemment, il sera facile, dans chaque cas, de déterminer ces valeurs^

FIN su TOME PREMIER.