Soit
une racine irrationnelle et positive de Téquation
(i) Da;*— 2Ea:-f-F:=o,
dans laquelle les coefficients sont des nombres entiers positifs ou négatifs.
On a vu au n** 18 que si -— est une réduite répondant à
un quotient complet de dénominateur H; dans le développement de X en fraction continue, on a
ou, en remplaçant A par E' — DF,
DP^~ 2EP„Q„-h FQ^:=±H;
le signe + ou — ayant lieu dans le second membre, sui-
vaut que rr^ est une réduite de rang pair ou de rang
78 COURS d'algèbhb supéaieure.
impair. L'égalité précédente montre <}ue Tune des deux équations indéterminées
(3) Df' — 2E7Z H- F«^=r — fi,
sera satisfaite par les valeurs
Supposons que j^ soit la réduite qui répond à un quotient
complet de dénominateur H pris dans la (/i -h i )'*"*• période; si le nombre des quotients contenus dans une période est pair, les réduites
Po P. P.
seront toutes de rang impair ou toutes de rang pair; elles
fourniront donc une suite infinie de solutions entières
pour Tune des deux équations indéterminées (a) et (3).
Mais, si la période de la fraction continue x renferme un
P nombre impair de quotients, les réduites j^ seront alter-
nativement de rang pair et de rang impair; en conséquence elles donneront une infinité de solutions entières pour chacune des équations (2) et (3). Il peut arriver qu'il y ait dans la même période plusieurs quotients complets de dénominateur H, et Ton doit alors appliquer à chacun d'eux ce qui vient d'être dit.
Les solutions entières dont il vient d'être question, et qui répondent à un même quotient complet pris dans les diverses périodes de a:, peuvent être représentées par les formules , I r ^ Po «« -h (EPo — FQo) f„.
SECTION 1. — CHAPITRE lï. jg
tf.et i^^ désignant ici les mêmes quantités qu'au n*^ 27; ces deux formules çont comprises dans la suivante
OÙ le radical yA peut être pris avec un signe quelconque; en donnant à ce radical le signe + et le signe -^ successivement, et en multipliant ensuite les deux équations résultantes, il vient
Dj»— aEjâ -h Fz' =z (DP; — 2EP«Q« 4- FQJ) («J — Ap?)».
Comme «J — A»'|=±i, le second membre de cette égalité ne change pas par le changement de n en — n ; par conséquent, quand on donnera à n toutes les valeurs entières de -^ 00 à + 00 , les formules (4) fourniront des solutions entières en nombre infini, pour chacune des équations ( 2 ) et ( 3 ) , si la période de jc renferme un nombre impair de quotients, et pour une seule de ces équations seulement, si le nombre des quotients contenus dans la période est pair.
Les résultats qui précèdent ont été lires de la considération de l'une dès racines x de Téquation (1); la deuxième racine ne donnerait rien de plus, car en attribuant à n des valeurs négatives dans les formules (4)9 noiis avons fait intervenir, d'après ce qu'on a vu précédemment, les réduites qui naissent du développement de la rs^cine conjuguée de X.
35. Lorsque le nombre entier H est inférieur à ^, l'analyse précédente fait connaître toutes les solutions entières des équations (2) et (3). On a effectivement ce théorème :
Théorème. — ^ Les nombres D, E, F, H étant des entiers et H étant <[ v^A, si les entiers positifs Pet Q, 511/7-
8o COURS D^ALGEBRE SUPÉRIEURE.
posés premiers entre eux^ satisfont à t équation
la fraction — sera nécessairement une réduite de Vune Q
des fractions continues qui représentent les racines de
l* équation
Da:' — 2ExH-F=o,
sauf une légère exception dont il sera parlé.
On a, par hypothèse,
(i) DP2— 2EPQ-i-FQ2=iz±H,
et l'une quelconque des racines de l'équation
Dar2 2Ea?-+. F =o
peut être représentée par la formule
où i désigne le nombre zh i et où A est mis au lieu de
E" — DF. Enfin, si l'on réduit — en fraction continue et
que Ton représente par —, la réduite qui précède - ? on
aura
(3) pQ'^Qp'^y,
j étant égal, à volonté, soit à -f- i , soit à — i .
d ou x' =L -^ — :
P — Qa: '
Cela étant,'
posons
Pa;'
on aura
yD
Q Q(P-Q^) Q[(DP-EQ)-iQv'Â]'
SECTION I. CHAPITRE II. 8l
et, en rendant rationnel le dénominateur du second membre, il viendra
^' . Q^^/[(DP-EQ)-4->Qs/Â], Q Q (DP^ — 2EPQ -+- F Q^»; '
cette formule peut être simplifiée par le moyen de Téquation (i) ; celle-ci donne en effet
DP-EQ = iQY/A±^
le nombre k étant égal à -h i ou à — i, suivant Je signe de DP — EQ. Il vient alors
, y(/y/A±:^-.,VÂ)
les signes de /et de 7 étant -arbitraires, je prendrai * = A: et je choisirai ensuite j de manière que jk ait le signe de d= H ^ on aura ainsi
formule où les radicaux sont pris positivement.
Nous pouvons supposer D positif; alors, si le second membre de la formule (i) est -+- H, le second membre de
la formule { 5 ) sera supérieur à ^ 5 il sera donc, d'après
l'hypothèse, supérieur à a; d'ailleurs, la fraction^ est
moindre que i ; donc la Valeur de x^ sera supérieure à i , et en conséquence x'sera, d'après la formule (4), un quo-
tient complet, répondant à une réduite égale à —9 dans le
développement de l'irrationnelle x en fraction continue. I. G
Si le second membre de la formule (i) est — H, la conclusion précédente n'est plus légitime en général, mâîs on voit cependant qu'elle subsiste si Q a une valeur trèsgrande, car le second membre de la formule (5) différera
alors très-peu de — tt—? quantité qui, par hypothèse, est
supérieure à 2. Il est facile d'assigner une limite de Q au •delà de laquelle le théorème n'est jamais en défaut; à cet effet, écrivons comme il suit la valeur de x' :
2 v^ Q' -+- 1 \ / « I /T DH
-comme y A est supérieur à H, et que Q' + i est au plus •^gal à Q, on aura certainement o:'^ i, si la quantité.
•est positive, c'est-à-dire si Ton a
