Mais il y a plus, et nous allons prouver que si
l'on exclut la valeur w = i, les fractions —^ sont, se-
néralement, les réduites successives qui répondent aux
quotients complets égaux a ^^ —~ dans le de-
veloppement de l'irrationnelle ± — — — en fraction
continue.
Pour démontrer la proposition qui vient d'être énoncée, posons
70 COURS d'jllgèbre supérieure.
z* et 3d sont relativement â z et x des quotients complets correspondants, et leurs développements fournissent des fractions continues périodiques simples, dans lesquelles les périodes sont inverses Tune de l'autre ; en outre,
a/ et ^ sont les racines d'une même équation à coefficients entiers; si donc on remplace a/ par >) dans
la formule
le second membre se réduira à 2, et l'on aura en conséquence
^ -Q'.^'-hQ.*
R Soient -^ une réduite de z' répondant à un quotient corn-
plet Ç ^t ^ la réduite qui précède — » on aura
"^ — SÇ -+- S' '
puis
(PoS-P^,R)^-h(PoS^-P^oR^) ^ M^H-M^ QoS - Q; R)Ç h- (QoS' - Q; R') - Nç 4- N'
Cela posé, nous supposerons que la réduite -^9 qui ré-
pond au quotient yl dans la fraction continue Jt, soit prise dans la première période, et nous allons chercher
combien on doit introduire de quotients incomplets
dans la réduite — pour que ^ et ^ soient deux réduites
consécutives de z. Il faut d'abord que M et M' aient le même signe, ainsi que N et N', ce qui revient à dire que
SECTIOBI I. — CHAPITRE II. Jl
les fractions ^ et ^ ne doivent être comprises ni Tune
ni Tautre entre ~ et ^« La réduite ~ peut embrasser
un ou plusieurs quotients de la période de x \ mais, par
hypothèse, le nombre de ces quotients est au plus égal
p k k — I ; il en résulte que si le développement de -^ ou
de ^ coïncide, dans les premiers termes, avec le déve-
loppement de z', cette coïncidence ne pourra persister au delà du (k — ly^*^ quotient: donc, si l'on introduit
k-\-i quotients dans - et, par suite, k dans -7-» aucune
des fractions -^î ^ ne sera comprise entre - et ^ ; en
conséquence, les rapports «ï? et ~ seront positifs. Si ces
M M' rapports sont supérieurs à Puni té, les fractions ~j» et "^
seront deux réduites consécutives de z'^ dans le cas contraire, soit Ç = c -I- - , c étant l'entier contenu dans ^,
il viendra
(Mg-hM^)^. + M
Uc H- M' M , ,
ce qui montre que tt r;7 et -- sont alors deux re-
duites consécutives de z. Or, au lieu d'opérer comme nous venons de le faire, il suffit évidemment d'introduire
dans ~ un quotient de plus 5 si donc la réduite — em-
brasse A -4- 2 quotients au moins, la fraction ^ sera une
réduite de r, et elle sera précédée de la réduite tt: •
Il faut pour notre objet prendre le quotient complet ^
.M' égal à z' \ par conséquent, pour que la fraction — ou
Po s^ — p; R^ q„s'-q;r'
soit une réduile de z répondant au quotient complet qui précède z\ il peut être nécessaire d'employer deux pé-
riodes de quotients, au moins, pour former la fraction —y
mais deux périodes suffiront toujours si h est supérieur ai. Lorsque \ est égal à i, la période se réduit à un seul
terme a \ les rapports t;^^ et — 7 seront positifs si Ton prend
—. = a H — > et il est facile de vérifier que ces mêmes rap-
ports seront supérieurs 31,3 moins que Ton n'ait a = i. Dans ce cas particulier d'un seul quotient égal à l'unité, il est nécessaire d'introduire trois quotients au moins
dans la réduite — -
Désignons par — la valeur de l'expression précédente,
lorsqu'on emploie n périodes de quotients pour former — 5 on aura, en remplaçant F, et Ç^^ par leurs valeurs tirées des formules (6)
t„ = Qo(s'-f-|R')-Q.|, ou, en éliminant P^ et Qi par le moyen des formules (12), $„ = P, (s' -I- i^' R') - (EP. - FQ.) ^ R',
^„ = Q. /s' -I- '"-^ R') - (DP. - EQ.) J R'.
SECTIOU I. — CHAPITRE II. 7Î
D'après notre hypothèse, -^ est une réduite de J qui ré-
pond au dernier quotient de la n'*"** période : d'ailleurs
^ est la réduite qui répond au même quotient pris dans
la première période -, donc les valeurs de R' et de S' seront données par les formules {12), si Ton y remplace
Po^t Qo par 6 et 6', D, E, F par ^ , E', — !>, et qu'on écrive n — i au lieu de n -, on a ainsi
En faisant usage des formules (i3) et (14)9 ainsi que des relations
qui résultent de l'identité
(«n — «'n VÂ) = (a«-i — «'«-i VÂ) (w, — V, s[Jl) ,
on obtient les valeurs suivantes de R' et S' ;
R = - t'«, ^ =Un Vn\
les expressions- précédentes de $„ et de ^„ deviennent ensuite
çe„=:Po«„— (EP« — FQ.)f„,
^« == Q. w« — (DP« — EQo )(>„ , et, par conséquent, on a
ce qui démontre bien que pour les valeurs de n supé-
74 COURS p'ALGitBRE SUPÉRIEURE.
rieures à i , les fraclions -^ sont les réduites qiiî répon-
dent aux quotients complets précédant les quotients égaux à 2! dans les périodes successives de la fraction continue z. Il faut remarquer. que la première des ré-
duites ~^» savoir — — » peut répondre à un quotient compris dans la partie non périodique.
31 . Le cas de aï = i constitue une exception ; la fraction -^ peut être une réduite de z ou de ar, et dans ce
dernier cas elle répond toujours à un quotient compris dans la partie non périodique; il peut arriver aussi que
la fraction p~- ne fasse partie des réduites d'aucune des
fractions continues x ex. z.'
Le cas de n = a fait lui-même exception , comme nous l'avons déjà dit, lorsque les périodes de a: et de js se réduisent à un seul quotient-égal à l'unité. L'équation
en offre un exemple. Les deux racines sont
les réduites -^ de a: qui répondent aux quotients périodiques sont données par les formules
Un -f- ^n V5 = ( ^ j •
On lire de là
Po 7 Pii__9 5!'^ El — £^ Ei~ii
5ECTI0M 1. — CBAPITaE II. ^5
puis, en donnant à n des valeurs négatives,
Dans cette dernière suite, la deuxième fraction n'est une réduite pour aucune des deux racines x et z ; la première et la troisième fraction sont des réduites de z qui répondent à deux quotients de la partie non périodique, et ce n'est qu'à partir de la quatrième fraction que commencent les réduites relatives aux quotients périodiques.
Cas de la racine carrée d'un nombre entier,
32. Oii a, dans ce cas, E = o, D = i, F = — A, et la formule (ii) se réduit à
P„ — Q« V^ =: ( Po - Qo /i ) (a« - i'n V/Â ) .
Pu
Supposons que nos réduites j^ soient celles qui répondent
aux quotients complets égaux à a + \/Â, a étant le plus grand entier contenu dans ^A. Alors le premier terme de la période des quotients incomplets sera 2a^ on aura
Jî^^-û, d'où Po:r=a-6«, Qezrzg;
en outre, comme on a ici E' = a, ly = i , les formules (9) donneront
on aura donc
Exemple. — Soit A = 7. La période des quotients incomplets qui viennent après le premier quotient 2 est 1,1, i, 4 ; la réduite qui répond au dernier quotient de
y6 COURS D^LGÈBRE SUPÉRIEURE.
cette période est - • Posant donc Po= 8, Qo = 3, on aura
Pn-Q»V^=(8-3v^)
d'où
Pi-"Qiv/7 = i27 — 48v^, P2 — Q2 V^ = 2024 — 765 v^7, P3 — Q3V'7 == 32267 — 1 2192 v^,
33. On peut conclure de ce qui précède une propriété des réduites qui répondent au dernier quotient complet dans les périodes successives du développement de la racine carrée d'un nombre entier. On a effectivement
P^. - Q,, v^Â == (Po - Qo v/Â)%
P,;^, - Q,^, V'Â =3 ( Po — Qo v'Â)=^", d'où
Psn-i — Q2«-. s/Â = (P„, — Q„, v/a)s
égalité qui se décompose dans les deux suivantes :
Para— i =^ P/ï — I ~f" AQn — ij Q2/1— 1 ^^^ 2 Pn— I Qn— i»
Si l'on désigne par X„ la réduite qui répond au quotient a -h yA pris dans la 71'*'"* période, on aura
^n — JZ 5 -^an — TT >
Vn— 1 Vîn— 1
et les formules précédentes donneront
2Jl ?
d'où il suit que la réduite Xj„ est la moyenne arithraé-
tique des deux quantités X„ et :^t dont la moyenne géomé-
trique est ^A. La formule précédente peut encore se mettre sous la forme
et il en résulte que la réduite X|„ est précisément la va-
leor approchée de yA à laquelle conduit la méthode d'approximation de Newton dont il sera parlé plus loin, quand on prend X„ pour une première valeur approchée.
Sur V application de la théorie des fractions continues à Vanalyse indéterminée du deuxième degré,
