D'après ce qui précède, si les équations indéter

minées

dans ^lesquelles A désigne un entier positif non carré, et

où H est un entier inférieur à ^A, admettent des solutions entières, ces solutions seront toutes fournies par le développement de Va en fraction continue. Par conséquent, si le nombre H ne figure pas parmi les dénominateurs des quotients complets qui forment la première période, aucune des deux équations précédentes n'admettra de solutions.

Le dernier quotient de chaque période ayant Tunité pour dénominateur, l'équation

admet toujours des solutions entières ; il en est de même de 1 équation

quand le nombre des quotients de la période est impair. Mais, lorsque le même nombre est pair, Téquation précédente n'admet aucune solution entière.

Considérons par exemple l'équation

j' — 7.gZ^z=z±Uy

en développant ^219 en fraction continue, on J,rouve les quotients incomplets

V29' J^' 5^^' f^^ ^,5-hv^,...

La période se compose de cinq quotients, et réquation propodée admettra des solutions si H est égal à Tun des

nombres 1, 4) S. En particulier, comme ^ est la réduite

qui répond au dernier quotient de la première période, on voit que les solutions des deux équations

jr^— agz'r^: —1,

seront données respectivement par les formules

j- — z v/29 = ( 70 — 43 Vâg)"*^*, y^z y/29= (70 — i3 V^r;

si Ton fait « = i dans la dernière formule, on obtiendra les plus petits nombres qui satisfont à l'équation

«avoir :

SECTION ï. — CHAPITRE ÏH.l 85