PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
Des expressions imaginaires,
37. Conformément à Tusage adoplé, nous représenterons par I rimaginaire ^ — i, et nous appellerons expression imaginaire toute expression de la forme
A H- Bi,
où A et B sont des quantités réelles, positives, nulles ou négatives.
Quand nous saurons d^ avance que deux quantités réelles A' et B' sont respectivement égales à deux autres A et B, nous dirons que les expressions A + B/ et A'-f- B'/ sont égales.
II est évident^ que si Ton a plusieurs égalités de la forme
A-f-B£=:A'-hB'/,
et qu'on les multiplie membre à membre, en opérant
comme si i était une quantité réelle, on obtiendra une
égalité dans laquelle lés coefficients des mêmes puissances
de i seront égaux; Téçalité subsistera donc quand on
rabaissera les e^posants^ de i au-dessous de 2, en faisant
usage de Téquation /* = — i .
Considérons l'expression imaginaire A H- Bi ; on peut
tonjours trouver une quantité positive p et un are a tels
que l'on ail
A = p cosfl, B = psina.
86 QOUKS d'algèbre SUPÉniEURE.
En effet, il suffit de prendre
puis
cosfl = . ' sina == r
-f- VA* -*- B-' 4- Va» -h &
par conséquent, on peut écrire
A -I- Bi= poosa -4- /p sin^r, ou, si Ton veut,
A 4- B/=:p (cos« -(- inina).
Quand une expression imaginaire est ainsi ramenée à la forme p (cosa + isina), la quantité positive p est dite son module; Tare a est son argument.
Le module d^une expression imaginaire donnée est déterminé, mais l'argument ne l'est pas entièrement, car une expression imaginaire ne change pas quand on ajoute à son argument ou qu^on en retranche un nombre quelconque de circonférences.
Les quantités positives et négatives peuvent être considérées comme des expressions imaginaires dont le module est égal à leur valeur absolue et dont l'argument est un nombre pair ou impair de demi - circonférences ; car, soit A un nombre positif, on a, quel que soit l'entier Âr,
-4- A = (cosa/w -f- /sin2A'7r),
— A=: A[cos(2^ -!- l)7r -I- /sin(2X' -f- ijîr].
Pour que deux expressions imaginaires soient égaies, il faut et il suffit que leurs modules soient égaux, et que leurs arguments diffèrent d'un multiple de la circonférence. Supposons, en effet, que les expressions
p [cos a -h i sin a) et p' (cosfl' -h isino')
SECTiOK I. — CHAPITRE III. 87
soient égales, on a
pcosa^p'cosâ'y psiofl = p'sina',
et, si l'on ajoute ces équations, après les avoir élevées au carré, il viendra
e' = e'' et p = p';
les modules étant égaux, les arcs a et a! ont même sinus el même cosinus; donc ils ne peuvent différer, s'ils sont inégaux, que par un multiple de la circonférence.
Les arguments de deux expressions imaginaires conju' guéesj telles que A -f- B« et A — Bi, ont même cosinus, tandis que leurs sinus sont égaux et de signes contraires ; la somme de ces arguments est donc égale à un multiple de la circonférence»
38. Théorème. — Le produit de deux expressions imaginaires est une expression imaginaire dont le module et V argument sont respectivement le produit des modules et la somme des arguments des facteurs.
Considérons d'abord deux expressions imaginaires
cos a '\- i sin a et cos A H~ « sin b
ayant Tunité pour module. Si Ton effectue leur produit, il viendra
(cosfl -h 2 sin a) (cosft -h /sin^)
= cosû cos^ -h /(sJDfl cos^ -+- cosfl sinA) H- /'siB« sin by
ou, à cause de i • = — i ,
(cosfl 4- / sin a) (cos^ -h i sin6)
= (cosa cos 6 — sinasin6) -h i (sina cos^ -I- cosû sinô);
or, nous savons que Ton a
cos^ cos^ — sinasiné z=r. cos (a -f- b), sina cos^ H- cosa sin b T=zûn[a -h b)\
.88 COURS d'algjsbre supérieure*
on peut donc écrire
(cosa -+- isina) {cosb -+- 1 sin^) = cos(<z -f- ^) -4- i$in(a -+- b).
Soient maintenant p [cas a -h isina) , p' (cos& -+- 1 sini) deux expressions imaginaires ayant respectivement pour modules p et p'; on a
p (cos<a -h i sina) X p' (cos^ -I- / sin ^)
=r pp'X (cosfl -h «sinflr).(cos^ -f-i sin^),
et, par conséquent,
p (cosa -+- 1 sin^r) X p' (cos^ -4- i sin^) = pp'[cos{a -h b) -hisin(a -4- b)].
Corollaire I. — Le quotient de deux expressions imaginaires est une expression imaginaire dont le mo^ dule et l'argument sont respectivement le qubtient des modules et la différence des arguments du dividende et du diviseur.
Car, soient les deux expressions
p (cos« -h I sin a) et p' (ces b -h isinb)y on a
^[cos(fl — ft) H- fsin(û — ^)]X p'(cos^ -I- /sin^)
= p (cosfl -h « sina) ; d'où
p(cOS« -h /Sin«) pr / ,x . . , ,^^
Corollaire II. — Le module et l'argument du produit de tant d'expressions imaginaires que l'on ^voudra sont égaux respectivement au produit des modules et à la somme des arguments des facteurs.
En effet, pour multiplier les deux premiers facteurs, on multiplie leurs modules et on ajoute leurs arguments.
Pour multiplier ce produit par le troisième facteur, il faut multiplier son module par celui du troisième facteur, et ajouter à son argument celui de ce troisième facteur^ et ainsi de suite.
Corollaire IIL — Pour élever une expression intagînaire à une puissance entière et positis^e de degré m, il faut éleuer le module à la puissance m, et multiplier r argument par m.
Cela résulte immédiatement du corollaire II, en^ supposant égales entre elles toutes les expressions imaginaires que Ton y considère.
Soit, en particulier, cosa + isina une expression imaginaire de module i ; on a
(cosû ■+- isina)'^ = cosma -h i sinmn.
C'est dans cette égalité que consiste la formule de Moivre.
39. Le module de la somme de deux expressions imaginaires est compris entre la somme et la différence des modules des parties.
En effet, soient les deux expressions imaginaires p (cosa -+- i sina)f p' (cosa' -+- i sina'),
et posons
R (ces A. -h /sinA) = p[cosa -+- / sina) -h p'(cosû' -+- /sina'],
on aura
RCOSA =: pCOSA H- p'cOSfl',
R sin A z=: p sin û -h p' sin a';
si l'on ajoute ces égalités après les avoir élevées au carré et que l'on extraie la raciue carrée des deux membres de l'égalité résultante, il viendra
' R=r v^p2 -f- 2pp' cos(a — a'} -4- p'^;
go COURS d'algèbre supérieu&b.
on a donc
Kè)/(p-p'}' ou Se-^p',
R>v/(p-p')' ou >±(p-p').
Il résulte de là que
Le module de la somme d^un nombre quelconque d^ expressions imaginaires ne peut surpasser la somme des modules de ces expressions.
Des fo nciions entières , 40. Un polynôme tel que
dans lequel chaque terme est le produit d'une constante réelle ou imaginaire par une puissance entière d'une variable réelle ou imaginaire r, est dit une fonction entière de z. Le polynôme étant supposé ordonné par rapport aux puissances de z, le degré m du premier terme est le degré de la fonction. Une équation est dite algébrique, lorsqu'elle peut être mise sous la forme y(^) z=zo^J{^z) désignant une fonction entière de z.
Théorème I. — Si une fonction entière f (z) de z s* annule pour z = o^ on peut assigner une quantité po^ sitis^e ry telle que, pour toutes les ^valeurs de z dont le module est compris entre o et r, le module de f[z) soit constamment inférieur à une quantité donnée R.
Eu effet, soit la fonction
/(z) z=z K^zT -h A,Z*-» -f- . . . -h A«-,^
qui's*annule pour 2 = 0, et dans laquelle quelques-uns des coefficients A peuvent être nuls. Désignons par p le module de la variable z et par a le module de celui des coefficients Ao, Ai, .•.jA,^,., qui a le plus grand mo-
dule. Conkxne le module d'une somme ne peut surpasser la somme des modules des parties, on aura
^IIH-t
mod/(«)<^ï(p*-hp'"-'-+-...H-p) ou <fl£ f — 5
et si la valeur de p est inférieure à i , on aura i plus forte raison
mody(z ) < — — •
Donc, pour cpc le module âe f{z) soit inférieur à R, il suffit que Ton ait
— i-- < R ou p < ;
et, en conséquence, si Ton pose
le module def{z) sera inférieur à R pour toutes les valeurs de z dont le module est compris entre o et r.
Corollaire I. — Si
fi^) = ^m^^^ + A„^,3/''-*-«-h. . .+ A.Z«- + A,
est une fonction entière de z ordonnée par rapport aux puissances croissantes de z, et que Ton pose
on pourra assigner une quantité positiver telle ^ que pour toutes les valeurs de z dont le module est compris entre 0 etr,le module de t soit constamment inférieur à une quantité positive quelconque donnée R.
En effet, la fonction que nous désignons par e a pour
9^ couHS d'algèbre supérieure.
valeur •
et il suffit de lui appliquer le précédent théorème pour établir la proposition énoncée.
Dans le cas où la fonction y (2) et la variable z sont réelles, on voil que pour toutes les valeurs de z, dont le module est inférieur à une certaine limite, la fonction a constamment le signe de son premier terme.
Corollaire II. — Si
/(z)=: AoZ" -h A.z*»- 4- ... -h Am^xZ -h A„
est. une fonction entière de z ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de z, et que l'on pose
on pourra assigner une quantité positis^e r telle ^ que pour toutes les valeurs de z dont le module est supérieur à r, le module de t Éoit constamment inférieur à une quan^ tité positis^e quelconque donnée R.
En effet, la fonction désignée par e a ici pour valeur
. Am I
Ao z Ao z^
Ao z*-*
Ao «~
et son module sera inférieur à la quantité donnée R pour
toutes les valeurs de ^ dont le module est inférieur à une
certaine quantité - qu'on peut déterminer, c'est-à-dire
pour toutes les valeurs de z dont le module est supérieur à r.
Dans le cas où la fonction f(z) et la variable z sont réelles, on voit que pour toutes les valeurs de z dont le
SECTION I* CHAPITRE III. gi
module est supérieur à une certaine limite, la fonction a constamment le signe de son premier terme.
Corollaire III. — Le module d^ une fonction entière f (z) devient infini en même temps que le module de z.
Ce corollaire résulte immédiatement du précédent. En effet, la fonction ^(z) étant ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de Zj soit Ao^"* son premier terme, et posons
on sait que le module de s peut devenir aussi petit que Ton voudra, si le module de z est suffisamment grand. Soient M, p, a, rt les modules def[z)j z^ Ao, e;
Téquation précédente nous montre que — -^ est compris
entre i — y} et i -f- >3, d'où il suit que, quand p tend vers
Tinfini, on a
lim — = I . af
41. Théorème II. — Une fonction entière f {z) dé z est continue.
En général, une variable /* (2) qui dépend d'une autre variable z est dite continue, si le module de la différence
peut devenir plus petit qu'une quantité quelconque donnée, quand on attribue au module de h une valeur suffisamment petite.
Cela posé, f(z) désignant une fonction entière, ordonnons le polynôme/ (z 4- h) — f(z) suivant les puissances croissantes de A; ce polynôme s'annulera pour
h = o, et si l'on désigne par h^fn^u, h^ le premier de ses termes, on aura, par le corollaire I du n^ 40,
e étant une quantité dont le module peut devenir aussi petit que Ton voudra. Si donc on attribue à h des valeurs dont les modules décroissent indéfiniment, le module de
la différence
prendra des valeurs qui décroîtront aussi indéfiniment, et en conséquence y*(z) est une fonction continue.
Corollaire I. — La variable z et la fonction en*
tière f(z) étant supposées réelles y si F on attribue à z
deux valeurs z^, Zi, et que les valeurs correspondantes
f[Zfi)^f(zi) de f[z) soient de signes contraires , la
fonction f [z) s^ annuler a nécessairement pour une ou
plusieurs valeurs de z comprises entre Zo et Zi.
En effet, s'il en était autrement, les valeurs que prend f{z) quand z varie de Zq à Zi seraient comprises, les négatives entre deux limites — A et — B, les positives entre deux autres limites H- A' et -f- B'; par conséquent, z variant d'une manière continue, il faudrait quef[z) passât brusquement d'une valeur comprise dans le premier intervalle à une valeur comprise dans le second, ce qui est incompatible avec la propriété que possède f(z) d'être continue.
Corollaire II. — Quelles que soient la variable
z = p (cos&> -f- 1 sioft})
et la fonction entière
si le module ou Fargument de z reste constant^ ou si
SECTION 1. — CHAPITRE 111. q5
ces deux quantités varient simultanément {Tune manière continue, suii^ant une loi déterminée, aucune des deux quantités V et Q^ne pourra changer de signe sans sannuler.
La démonstration est exactement la même que celle du précédent corollaire. Supposons, en effet, que l'argument co varie de Wo à coj, et que p soit constant ou qu'il dépende de (o, diaprés une loi quelconque, de manière à varier d^une manière continue quand co varie lui-même d'une manière continue. Si P ou Q a des valeurs de signes contraires pour co = w^, et « = Wi et que cette fonction De s'annule pas-, ses valeurs négatives seront comprises dans un certain intervalle, et la même chose aura lieu à l'égard de ses valeurs positives. La fonction passerait donc brusquement d'une valeur comprise dans le premier de ces intervalles à une valeur comprise dans le second, ce qui est inadmissible.
Déi^eloppement de la Jonction entière f[z -h h) suii^ant les puissances de A.
