Dans un Mémoire qui fait partie du tome P*^ du
36o COURS d'algèbre .supérieure.
Journal de Mathématiques pures et appliquées^ M. Vincent a fait connaître une belle propriété des fractions continues, et il en a déduit, pour le calcul des racines réelles des équations, une méthode qui procède à la fois de celle de Lagrange et de celle de Newton 5 nous croyons devoir établir ici la proposition sur laquelle repose cette méthode «
Théorème. — Étant donnée une équation f [x) = 0 qui n'a pas de racines égales ^ si Von fait successiv^ement
«Pi «Cj J^s
a, ai, 01^..., étant une suite illimitée de nombres entiers positifs quelconques^ après un certain nombre de transformations, il arrivera toujours que les transformées successives n auront que des permanences ou qu elles n'offriront qu^une seule variation.
Le second cas se présentera si l'une des racines de r équation proposée est la limite de la fraction continue
le premier cas aura lieu au contraire si aucune des racines n'est égale à cette limite.
Pour démontrer ce théorème, formons les réduites de la fraction continue (1), et désignons par —Scelle qui occupe le (71 -f- 1 )'*"*• i^^ng^ le quotient qui répond à la réduite -~ étant x„, il est évident que l'on obtiendra direc-
tement la w'*"** transformée en posant, dans l'équation
formule d'où Ton tire
Soient (X, S, y,.*« les racines de Tëquation proposée, et *»? S„, y„,.«« les racines de la transformée; cette transformée sera, en écrivant x au lieu de j:„,
et chacune des racines âe„, S„,... sera liée à la racine a, 6,... correspondante par la relation (2) ou (3) ; on a donc
Qn P„
F Si a est réelle et que les réduites -— convergent vers
I celte racine, il est évident que «„ sera une quantité posi-
live; mais si les réduites r^ ont une limite différente
de a, quand n sera suffisamment grand, les différences
Qn-. Qn
seront de même signe, et en conséquence la quantité a sera négative.
Si a est imaginaire, soit
OL=p-hq v/— I , a„=pn-h Çn s/— I ,
on aura
Pn— 1
^. -f- «/nV^— 1 = -
— p — qsl—i
36a COURS d'algèbre supérieure.
et, en changeant ^ — i en — v/— T,
Pu— I , /
en ajoutant entre elles les deux formules précédentes on obtient
'^Pn
ou
fQ^-; '-
yv' •
pour les valeurs de n qui surpassent une certaine limite, la quantité 7- ( tt — 7^— I sera inférieure à <7*, et l'on
voit que p„ sera négative.
Si donc n est suffisamment grand et que la fraction continue (i) ne représente pas le développement dune racine de la proposée, la «'*"*' transformée n'aura que des
racines de la forme — g' ou — g =t 6 si — t , g étant positif. Les facteurs du premier membre qui répondent aux racines réelles seront de la forme x -h g" et les facteurs réels du deuxième degré qui répondent à deux racines imaginaires conjuguées auront la forme
il est évident que le premier membre de notre transformée, qui est le produit de tous ces facteurs, n'aura que des permanences.
SECTION I. CHAPlTaE Vil. 363
• Il convient de remarquer que les racines réelles ou imaginaires des diverses transformées tendent de plus en plus vers l'égalité. Effectivement, si Ton divise la formule (4) par celle qu'on en déduit en changea nt a et a„ en S et 6„, OD aura *
* II— 1 » Il 4,
et comme j^-^ et — ^ tendent vers la même limite, on voit
que l'on a
lim -— = I .
On arrive au même résultat en considérant la différence «„ — S„ qui a pour valeur
ainsi, en particulier, si la proposée et les tratisformées successives ont des racines imaginaires, la partie imaginaire de ces racines tendra vers zéi*o.
Supposons maintenant que la fraction continue (i) tende vers l'une des racines a. de Téquation proposée. Alors la »*•"•' transformée aura une racine positive unique^ «n^ si n est suffisamment grand ^ il est d'ailleurs évident que tout ce que nous venons de dire précédemment s'appliquera à l'équation = o. Par conséquent^ dans le cas
qui nous occupe, les racines de la transformée de rang /i, autres que la racine positive a„, pourront être représentées par
364 conns d'algèbre supÉaiEURE.
g étant un nombre positif, et ei, e,,. . *, e^^i désignant des quantités réelles ou imaginaires dont les modules peuvent devenir plus petits que toute quantité donnée. Le produit des facteurs linéaires qui répondent à €es racines sera donc
(5) (a:-4-5')--'-h(E,g^j?'"-'-+-E,g^'^-3-h...-hE«.,g^'),
E,, E,,. . ., E,«i étant des coefficients réels qui peuvent devenir moindres que tout nombre donné. Posons
(x -h g')'"-' ^ Go af -' -h G, gx'^- =» -h . . . -h G«, g^-'x -♦- G;„, g'
on aura et
Go =: I , G«i
Ga-hi W
Texpression (5) se réduit alors à
(6) Go^-' -f- (G. -h E,)^x«-« et Ton pourra faire
G* -h Eit G*
(G«,-hE„,)^-,
<?*+! étant un nombre réel qui peut devenir moindre que toute quantité donnée en prenant n suffisamment grand. Désignons maintenant par (X — i)g la racine positive de notre transformée; il est évident que celte transformée s^obtiendra en égalant à zéro le produit du polynôme (6) par X — (X — ^) g'f on a, à cause de Go = i ,
i j*^ ^ - -h <?, — > j Gog'J:^-' -h (- -h ^2 — M (G, -4- Et)g'x^-'' 4j -h ( -^- -h ^», — yj ( G«3 + E«,) 5^"' ^
f.c premier terme de cette équation a le signe -f- et le
dernier terme a le signe — ] d'ailleurs, les quaniités ei, e],.. ., El, Et,. . . peuvent être supposées aussi petites que Ton voudra, et si le coefficient de l'un des termes compris entre le premier et le dernier est nul ou négatif, il est évident que tous les coefficients qui suivent seront négatifs. L'équation (y) n'a donc qu'une seule variation, ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.
Ainsi que l'a montré M. Vincent, le théorème précédent suffit pour opérer la séparation des racines, sans que l'on soit obligé d'en déterminer le nombre à priori^ ou de leur assigner des limites, pourvu qu'afin de s'épargner des essais inutiles on fasse un usage convenable du théorème de Budan ; mais nous renverrons au JVIémoire de l'auteur, pour le développement de cette méthode.
Du calcul des racines imaginaires,
168. La méthode qui a été exposée au n^ 147 permet non-seulement de séparer les racines imaginaires d'une équation, mais encore de resserrer indéfiniment les limites qui comprennent, soit la partie réelle de chaque racine,
soit la partie multipliée par l'imaginaire i ou ^ — i .
Lorsqu'une racine imaginaire est ainsi connue avec une certaine approximation, on peut en obtenir des valeurs de plus en plus approchées au moyen de la méthode de Newton, qui n'est en aucune façon bornée au cas des racines réelles. Effectivement, si Zq est une première valeur approchée d'une racine simple z de l'équation
et que Zq -{- u soit la valeur exacte de cette racine, on pourra poser
366 COURS d' ALGÈBRE SUPÉRIEURK.
d'où
et on aura, avec une approximation d*autant plus grande que le module de u sera plus petit,
mais il sera nécessaire d^examiner, dans chaque cas^ le degré d'exactitude que peut fournir la précédente formule, et cette discussion ne sera pas toujours exempte de difficultés.
Posons
et désignons par x^ -h iy^i la valeur approchée -Zq de laquelle on part : le problème dont nous nous occupons a pour objet de calculer l'une des solutions réelles (x, j) des équations simultanées
connaissant des valeurs approchées x^ etj^o» de Jtetj; or je dis que la même méthode peut être appliquée aux équations (2), quels que soient les polynômes ^{x^y] et ^ (x^j). Désignons en effet par
les valeurs de x qu'on se propose de calculer: on aura^ en employant ici la notation dont nous avons déjà fait usage au n° 89,
si donc ^ et y: sont des quantités assez petites pour qu on puisse négliger leurs carrés et leur produit, on aura
SECTION I. CHAPITRE Vil. 867
approximalivement d'où
il est évident que ces formules ne pourront être d'aucun usage, si la solution que l'on considère est une solution multiple des équations ( 2 ) .
169. La méthode que nous venons d'indiquer exige des calculs très-laborieux, et, au lieu de l'employer, il sera souvent plus simple de recourir à Télimination, comme on va le voir dans l'exemple suivant. Proposons-nous de calculer les racines de l'équation
, (l) Z^—Z-hlzzzO
qui toutes les quatre sont imaginaires. Si l'on pose
z=ix -^y V — I , cette équation se décomposera dans les deux suivantes :
(2) (j'— a:')^— 4ar»(r^ — a?') — (4a:*-f-x — i)rr:o,
(3) jr[^a:(:fri^x') -h l] = 0,
et en supprimant de l'équation (3) le facteur y, on aura
portant ensuite cette valeur de/* — x'dans l'équation (2)^
il viendra
64^ — 16 J7^ — 1 = 0; enfln, si Ton pose
368 COURS OALGEBKE SUPÉKIEVRB.
cette dernière équation deviendra
Les substitutions donnent les résultats suivants :
e^ — it—i
-hi6
d'où il suit que la seule racine positive t est comprise entre 2,11 et 2,12. Une première application de la méthode de Newton donne les nouvelles limites 2,ii49 ^^ 2, ii5o; une deuxième application fournit la valeur 2,11490754 avec huit décimales exactes. La formule (5) donne ensuite, avec le même degré d'approximation,
X = ±0,72713603; enfin la formule (4) donne les valeurs
on a ainsi, pour les racines demandées,
