Exemple. — Considérons réqualion
Jt* — ix — 5 =: o,
SECTION I. CHAPITRE VII é , 347
qui a une racine positive unique, et proposons«nou8 d'é» valuer celte racine. On a ici
y*(a;)=za?' — 20? — 5,
i/-(^) = 3ar;
on aperçoit de suite que f{x) est négative pour x = 2 et qu'elle est positive pour a: = a,i 5 d'ailleurs f"[x) est positive. Nous ferons, conformément à notre règle,
la fonction ^,\ \ = :r— est constamment décrois-
sanle et elle est égale 0,6 pour x = 2 5 on peut donc poser M = 0,6. Les nouvelles limites ont pour valeurs
a, = 2, I , byz=:in, — 0,00D,
et on peut prendre
On a ensuite
^ o,oo5oo nZnS .
Û2 = 2.oq5 7; — ' t 02 = «2 — 0,00002 2,
et Ton peut faire, en arrêtant le calcul à la cinquième
décimale,
Appliquons une dernière fois la méthode de Newton ; on
aura
,^^ 0,00011 5o686 008 1 6 a, = ..09456 „,,6,544^èo8 '
b^rzz a^ — 0,00000 oooo3 ; en faisant la division indiquée, on pourra compter sur
les neuf premières décimales^ et l'on aura pour la racine demandée
xo= 2,09455 1481
à une unité près du neuvième ordre décimal, par défaut.
Méthode d^ approximation de Lagrange*
164. La méthode de Lagrange a pour objet le développement des racines en fraction continue. Soit Téquation
(i) /(x) = Aoar™ -f- A, j:"-' -f- Aaa-«-»-f-...-f- A«, ar -f- A„ = o,
et supposons qu'on ait constaté l'existence d'une ou de plusieurs racines positives comprises entre les entiers consécutifs a et a -H I ; le cas des racines négatives se ramènera à celui des racines positives, en changeant x en — x dans Téquation proposée. On fera, conformément à ce
qui a été dit au n^ 1,
et on obtiendra la transformée en Xx
(2) /. {*,) = Ai"< + Aj^x;^' +. . . + Al:i>, + a1" = o;
cette transformée aura autant de racines positives supérieures à I que la proposée a de racines entre a et a + i; considérons Tune d'elles et supposons qu'elle soit comprise entre les entiers consécutifs at et a^ + 1 , on posera
.r, irr a, H
Xj
et Ton aura la nouvelle transformée
(J) y,(A-,)— A^.r, -ha; \r^ -♦-•• •-^-A.i.^, •»>-»- A^ =0,
laquelle aura autant de racines positives supérieures à i que la proposée a de racines comprises entre a H et
a^ . On peut poursuivre indéfiniment ces opérations et chacune des racines de la proposée qui sont comprises entre a et a + i se trouvera exprimée par une fraction continue
P P dont les réduites ~» TT'' * * ' fourniront des valeurs de
plus en plus approchées.
Quant aux transformées successives (2), (3), etc., chacune d'elles se déduit de la précédente par une règle uniforme ; on a effectivement
et la transformée en x sera
ainsi, Ton aura
Remarquons enfin qu'on peut toujours faire en sorte, si on le juge à propos, que Féquation proposée n'ait qu'une seule racine comprise entre deux entiers consécutifs; car il suffira, pour atteindre ce but, de multiplier toutes les
35o COURS d' ALGÈBRE SUPÉRIBCIIB.
racines de cette équation par un nombre conTenablemeDt choisi: alors chacune des transformées (2), (3), etc., n'aura qu^ine seule racine positive et supérieure à i .
i65. La méthode précédente serait d^une longueur rebutante dans la plupart des cas, si, en la proposant, Lagrange n'avait indiqué un procédé très-simple qui permet de déterminer sans tâtonnement la suite des quotients a, ai, ^t, . • •, lorsque quelques-uns des premiers termes sont connus. Yoici en quoi consiste ce procédé.
Soit — ^ la (« -hi)**"** réduite de la fraction continue
formée avec les quotients a, ai,. . • (n° 2); la racine x dont cette fraction est le développement aura pour valeur
on tire de là
OU, à cause de
Q« Q«(Pn — Q„^)
Si Ton remplace x par chacune des racines x, x\ x"^... de la proposée, il est évident que la formule précédente donnera les racines correspondantes x», x„ , x^, 7* • • de la transformée en x„; on aura donc aussi
< -H -— = ^t-tt: zr—T.- •>
et en ajoutant ces dernières égalités, il viendra
Mais, dans la transformée en a:„, savoir
Al J? -f- A \r 4- . . . =: o ,
la somme des racines est ^ ; on peut donc remplacer
Aj
x„-H :r^H- . . . par — ar„ rjr » dans Tégalité précédente,
et si Ton fait en outre, pour abréger,
-^-a/ lï ar" ^-x"' Q» Qn Q.
il viendra
enfin si Ton pose
on aura
*ii=Ç« +
Par conséquent, dès qu'on sera arrivé à une réduite — teUe, que l'on ait
l'erreur commise en prenant
sera moindre que -r en valeur absolue, et si ft a une valeur suflBsamment grande, on connaîtra directement, par la formule (3), le quotient entier a„ contenu dans x„. Ceci suppose que A est connue; mais il est évident qa une valeur médiocrement approchée de cette quantité suffit
pour notre objet. Or, les réduites — ^ s'approchent rapidément de x, et A diffère d'autant de moins de la quantité
X — X .r — ar X — or
.que n est plus grand; on a d'ailleurs (n^ 49)
/(XJ X — ar X — x' X — ^'' X — 0?"
et, pour X = a: + A, le premier membre de cette formule se réduit, à cause def(x) = o, à
expression qui tend vers la limite ^f. quand h tend vers zéro. On a donc
et à la condition (4) on pourra substituer la suivante
(6) Q«>v/±Tm.
Désignons par ^ la valeur approchée de x qui répond a Xn=z ^„; on aura, d'après la formule (i),
SECTioH I, — ciàpithk tii. 353
d'où
le second membre de cette formule (7) diffère peu de la
quantité
laquelle donne ainsi la mesure de Terreur commise quand OD prend ^ pour valeur approchée de x.
On peut conclure de là que si le développement en fraction continue est assez avancé, la formule (3) donnera non-seulement le quatient incomplet a„, mais encore quelques-uns des quotients suivants, et on obtiendra ceux-ci en poussant le développement de ^„ en fraction continue jusqu'à une certaine limite qu'il est facile d'évaluer approximativement. Pour cela, supposons qu'on ait réduit ^„ en fraction continue et que l'on ait écrit les quotients obtenus à la suite de ceux qui ont été déjà trouvés; prolongeons au moyen de ces quotients la suite des
réduites, et soit - Tune d'elles. Il est évident que -- sera
Pane des réduites de ^^ si donc on nomme a le quotient
complet qui lui correspond et que — soit la réduite qui
précède —9 on aura
Pa -f- P' P
Qa + Q' Q^Q(Qa^-Q')^
la formule (7) deviendra donc
354 COURS d'algèbre SCPÉRIBUllS.
OU, à peu près,
Q «Q* < Qn
Soit maintenant S un nombre quelconque, et supposo
p le dénominateur Q de - tel que
ns
le second membre de la formule (8) sera inférieur en valeur absolue à
il sera donc inférieur à -^rr si Ton a
-H--<-- ou €> -,
et, dans ce cas, — sera certainenient l'une des réduites dex(n°8).
^ . Pn
On voit par là qu'à partir de la réduite rr^9 ledévelop-
pement de ^„ fournit les quotients nécessaires pour prolonger la suite des réduites, jusqu'à ce qu'elles aient environ deux fois autant de chiffres que celle d'où l'on est parti . Il faut cependant remarquer que cette conclusion peut être en défaut quand le quotient qui suit celui auquel on s'arrête n'est pas supérieur à 2.
166. Exemple. — Considérons l'équation ue nous avons déjà plusieurs fois prise pour exemple.
SBGTION lé --*- CHA.PITKE Ylt. 355
On a
L'équation proposée a deux racines comprises entre t
et a *, nous poserons
XZ=z I H 9
et nous aurons la transformée
jtJ — 4*1 "^ ^JCi H- I =0;
celle-ci a une racine comprise entre i et a et une autre entre a et 3; nous considérerons d'abord cette dernière racine et nous ferons
Jt, = 2 H -,
on a
/,(x,) — arj — 4jrJ-|- 3a:,-f-i, /; (x,) = 3 jrî - 8x, -h 3,
^ en remplaçant x^ par a dans ces formules, on aura les , coefficients de la transformée en Xt \ celle-ci est
x\-h x\— IX^ — I rr= O.
La racine positive x^ est comprise entre i et 2, on fera
donc
on a
^t la transformée en x% sera
La racine positive est comprise entre 4 et 5, oh fera doiic
on a
= xl — 3x1 — 4-2^3 —
ô JC^ o f
d'où résulte fa transformée en x^
xl — 20x] — gx] — 1 = o.
Maintenant l'opération est plus avancée qu'il n'est dccessaire pour pouvoir appliquer le procédé abrégé de Lagrange, et déterminer les quotients sans tâtonnement. Formons d'abord les réduites qui répondent aux quotients que nous avons obtenus
SECTIOH I. — CHÀPITaE VII. 357
La formule (2) du n" 165 donne, en rappliquant ici
au cas de n = 4?
i/"(^) la quanti lé A difli^re peu de M ou de - 777-T» et il est aisé
de s'assurer que M est inférieur à 3 . La somme des deux
3 20 fractions — I fournît le cinquième quotient 205 en
outre, on a
i^x^ -+- 3 et si l'on prend pour x^ la valeur
on obtiendra une valeur de j:, savoir :
dont l'erreur sera environ — ; — rr = 0,0000002, et, par
conséquent, si Ton réduit cette fraction en décimales, on
obtiendra un résultat dans lequel les six premiers chiffres
décimaux seront exacts ^ on trouve
gg=., 35689569..., ^
et les six premières décimales sont effectivement celles que nous avons obtenues au n° 161 .
Si l'on veut poursuivre le développement en fraction continue, on fera
jc^zz^ 20 H 1
358 COURS d'algebbe supérieure.
et on formera la réduite -^^ qui répond au quotient x%\
puis, des équations
/î (•^4)= 3ji?J — 404:4 — 9,
on conclura la transformée en X5, savoir .
181 xj — 391^1 — ^oj^i — i = Ot
la formule (2) du n^ 165 donnera ensuite
li 3qi a
' 283 T§7 îg3^ '
d'où il résulte que le sixième quotient est égal à 2 ; outre, on a
et si Ton prend pour Xt la valeur
on aura une valeur approchée de x dont Terreur sera inférieure à
4xa83*'
Si l'on applique la même méthode au calcul des deux autres racines de Téquation proposée, on obtiendra les
en
SECTTlOll I. CHAPITRE VU.
résultats suivants :
y' — 4arf -f- 3a/ -4- I :=ro,
< - 3< - 4. x^ — lox'^ — gjT
— I rr: O
«^iî
7Jt*'-h 7 r=r O
Ji/
X ^ — JC4 .
On voit que les trois racines a:, J?', x'' conduisent à une même transformée, et, en conséquence, les fractions continues qui expriment ces racines se terminent par les mêmes quotients ] on a
Jf =r I H-
.r( désignant la racine positive de Téquation
x\ — 20 xj — 9x4 — 1=0.
Nous étudierons dans la suite de cet Ouvrage les équations qui possèdent cette propriété remarquable.
