Soit Téquation

que nous représenterons aussi, pour abréger, par

et dont nous désignerons par a, 6, c, . . . , /i, 2 les m racines. Soit) en outre, X' la dérivée de la fonction X^ on aura

X'= maf^^'h(m — i) piOC^^ -^, . .-4- iip^^^x -^-pm-i-

On a aussi y par un théorème connu (n° 49),

et l'on trouve, par la division,

^"•^4-fll

jf^'

-HH-...-Hfl'"*'

•^Pia'

+/?,fl'"-'

Si, dans cette dernière équation, on remplace a successivement par chacune des autres racines, et qu'on fasse généralement

5« — rt" -I- ^" -4- c" -f- . . . -h X" H- /",

374 ' COURS d'àloèbeb supéaibuhe.

on aura^ en ajoutant tous les résultats, la valeur suivante de X',

II» j?*~*-4-*i

x*-»-f-fa

-hl»/?,

-f-yJa*—»

-hm/î.

H-Pm-If

■^nip^-i

La comparaison de cette valeur de X' avec celle écrite plus haut fournit les relations suivantes :

(l) { 5, -+-/ï,f,-hp,J, -h3y?, = o,

La première de ces formules fait connaître s^ ou la somme des racines, la deuxième fait connaître ^t ou la Somme des carrés des racines, et ainsi de suite, jusqu'à la dernière qui fait connaître 5^.1 • On trouve de cette manière

•f»=— /??-+- 3/?,/?, — 3pi,

*4 = ;>î — ^p]p^'^^ptPi -+- ^pl — iPij

^iPiPt—Pih

Voici maintenant comment on peut obtenir les sommes de puissances semblables, dont le degré surpasse m — i, et celles dont le degré est négatif. Soit n un nombre entier positif, nul ou négatif, et raulliplions l'équation pro-

posée par x^ ; elle deviendra

Remplaçons successivement x par chacune des racines a, &, c, etc., et ajoutons tous les résultats; on aura

En donnant à n les valeurs o, i , 2, etc., et observant que ^0 c= m, on obtient lés relations suivantes :

^m -+■ Pl^m^t •+• PiSm^i-h. • . H- Pm^x St •+• mpm = O, *iiM-2 -+"/'l ^«+1 -*- Pi^m -+-•.. H->»«-i *3 -+- Pm^2 = 0,

Les sommes s^ 5^,. •., ^^.i étant connues par les formules (i), la première des formules (2) déterminera s^^ la deuxième 5;„^i, et ainsi de suite.

Il importe de remarquer que les valeurs des sommes s^ , ^t) etc., ne contiennent dans leur expression aucun dé- Dominateur, et que si les coefficients^!, pt, etc., sont des nombres entiers, les sommes 5i, 5t, etc., sont aussi des nombres entiers.

Réciproquement, si Ton connaît m sommes de puissances semblables, par exemple ^1, ^s, . . . , ^^^ on pourra déterminer les coefficients ^1, ps, etc., à Taîde des formules (j) et (2), qui ont été données, pour la première fois, par Newton.

Pour calculer les sommes de puissances semblables des racines à exposants négatifs, il suffit de donner au nombre n, que nous avons introduit, les valeurs successives — I, — a, -^3, etc. ; mais à l'égard de ces sommes de puissances négatives, le moyen le plus aisé de les

trouver consiste à changer x en - dans l'équation pro-

posée, et à calculer ensuite les sommes de puissances

376 COURS d'aLGÈBEE 5UPÉEIEU&E.

semblables à exposants positifs, des racines de Téquation transformée.

On peut remarquer qu'en appliquant les formules (1) et (2) au cas de l'équalion binôme x^ — i =0, on retrouve immédiatement les résultats que nous avons obtenus au n° 106, par une voie différente.

Usage de la dmsion algébrique pour le même objet,

172. On peut employer, pour calculer les sommes des puissances semblables des racines d'une équation, une autre méthode qui n'exige qu'une simple division algébrique. Soit toujours

Xn^o

une équation ayant pour racines a, 6, c, . . . , Ar, /. Si X' représente la dérivée de X, on a, comme précédemment,

La fonction est développable en une série con-

vergente ordonnée suivant les puissances négatives et décroissantes de X, pour toutes les valeurs àex dont le module est supérieur au module de a ^ oix, trouve, par la di*

vision,

donc, en remplaçant successivement a par chacune des

autres racines, et ajoutant ensemble tous les résultats,

on aura

X' m sr Si

ou

X ^ s I if 3

SECTION II. — CHAPITRE I. Zny

Pour le calcul numérique, il .sera plus commode d'éviter les exposants négatifs : on changera alors x en -?

et la fraction -^ prendra la forme ~ 5 Zi et Z étant des fonctions entières de z ^ on aura

et l'on obtiendra toutes les sommes 5i, ^2, etc^, par la division des polynômes Zi et Z que l'on ordonnera suivant les puissances croissantes de ^.

On peut trouver de la même manière leô sommes ^|, ^.S) etc., des puissances semblables à exposants néga-

lifs. Effectivement, la fonction est développable

en série convergente ordonnée suivant les puissances I croissantes de x^ pour toutes les valeurs de x dont le module est inférieur au module a, et l'on trouve, par la di- I vision,

donc, en remplaçant successivement a par chacune des autres racines et en ajoutant les résultats, on aura

On obtiendra donc les sommes 5 i, J i, etc., en ordonnant les polynômes — X' et X suivant les puissances croissantes de x et en effectuant ensuite la division du premier polynôme par le second .

Le principal avantage de celle seconde méthode fondée sur la division algébrique consiste en ce que Ton peut

37^ COURS d^àlgèbue sdpérieuke.

eu déduire facilement, comme on le Verra plus loin, Texpression générale de s^ ou de s^^ eu fonction des coefficients de Téquation proposée. Les formules de Newton ne conduiraient que péniblement au même résultat.

Détermination des fonctions symétriques doubles^ triplés^ etc.^ des racines d^une équation,

173. Les formules établies au n° l7l permettent de calculer successivement les fonctions symétriques doubles, triples, etc., des racines d'une équation.

Soient a, &, c, . • ., Ar, / les m racines d'une équation

de degré m, et considérons une fonction symétrique

double, dont un terme soit a*i^; la fonction dont il sV git étant déterminée quand on en connaît un terme, nous

la représenterons, pour abréger, par ^^a^b\ et nous

continuerons de désigner par s^ la somme des puissances ^iimês jg toutes les racines.

Gela posé, si l'on multiplie entre elles les deux sommes s^ et 5g, on obtiendra un produit qui sera évidemment la somme des deux quantités s^ ^ et'Vû*^ ; on a donc

On voit que toute fonction double "V a" b^ est exprimable, sous forme rationnelle et entière, par les coefficients de l'équation proposée, puisque 5^, 5g et 5^^g le

sont; en outre, si les coefficienls de l'équation sont des nombres entiers, ^ ^^ ^^ sera aussi un nombre entier.

SECTIOIi II. — iSHAPITlUI .1. 879

La formule (i) n\a plus liefi. quand S := a ; qp voit» çin effet, que si 6 devient égal à «, les termes de ^^a^b^ seront égaux deux à deux, en sorte que cette quantité se réduira à a^ a* b^] on a donc

En remplaçant s^ et s^^ par leurs valeurs, on oL-

tiendra une expres^ioiU de ^a^b^ qui uecondendra jdus

le dénominateur 2. Cette proposition n^çst pas évidente, mais nous ne nous arrêterons pas ici à Tétablir, parce qu^elle résultera, comme on le verra plus bas, des méthodes proposées par Waring et par Gauchy, pour la détermination des fonctions symétriques des f a£ine$4'|il|ie équation.

Une fonction $ymélriqi;e .triple, qui renfermele terme

a^b^cP^y pourra être représentée par ^^ï*^^^'^- Si l'on

multiplie la fonction double ^ a* b^ par s^ , on trouvera pour produit

ou a donc

Cette formule fait connaître la fonction triple ^^a^b^c^^

car le second membre ne contient que des fonctions dou^ibles que Ton sait calculer. Si Ton veut avoir l'expression

38o COURS d'algèbre supérieure.

de la fonction triple, au moyen des sommes de puissances semblables, il suffira de remplacer les fonctions doubles par leurs valeurs connues; on trouvera ainsi

et Ton voit que les fonctions triples s'exprimeront comme les fonctions simples et doubles, sous forme rationnelle et entière, par les coefGcients de Téquation proposée.

La formule (3) ne subsiste pas, si deux des exposants ou tous les trois deviennent égaux entre eux; mais on peut en déduire aisément les valeurs des deux fonctions

2û«^«cy et ^a'^b'^c''.

On voit, en effet, que si 6 devient égal à a, "Va^J c'

se réduit à a^a^'b^'c^ et à 2,3.2«**"<^% «i en même temps y devient égal à a ; on a donc

et

(5) ^a-b-c-=l{sl^3s^,s^^'^s,^).

En suivant la même marche, on calculera successivement les fonctions du quatrième ordre, puis celles du cinquième, et ainsi de suite. Il est presque superflu d'ajouter que quand on aura calculé, en général, Texpression d'une fonction symétrique entière et homogène dan '^ ordre, si [x exposants deviennent égaux entre eux, il faudra diviser par i . a . 3 . . .fx la valeur qu'on aura trouvée.

On voit par là que toute fonction symétrique entière et homogène des racines d'une équation peut s'exprimer rationnellement par les coefficients de cette équation, et que la même chose a lieu, d'après les remarques faites précédemment, pour une fonction rationnelle et symétrique quelconque.

Méthode de TF'aring pour calculer une fonction symétrique rationnelle et entière des racines d^une équation.

174. Waring a indiqué^ dans ses Meditationes algehraicœ [*)j une méthode par laquelle on peut former directement l'expression d'une fonction symétrique et entière quelconque des racines d'une équation en fonction . des coefficients de cette équation. Nous allons faire connaître ici cette méthode, qui, dans un très-grand nombre de circonstances, devra être préférée à celle que nous Tenons d'exposer.

Soit l'équation

af^-^px af^* -^ Pi af^^ -h . . .-hpm-t *-»-/>«=o, dont les m racines sont

{ly Of Cy • t • y A*, if

et supposons qu'il s'agisse de trouver la valeur d'une fonction symétrique et entière V de ces racines.

Pour plus de clarté, il convient d'imaginer que l'on ait ordonné la fonction Y de la manière que nous allons indiquer. Désignons par a l'exposant de la plus haute puîs- I sance à laquelle se trouve élevée chaque racine, et, en

(*) Editio tertia, p. i3.

38a coviis d'algèbre suIpérieure.

parlicuiier^ la racine a dans V ; pttr € l^e^posaiît de la plus haute puissance à laquelle se trouve élevée la racine i

dans la partie de V'qui contient le facteur a"; pSr y Fexpô9àu« dô'la plu^ haute' puissance à laquelle se trouve

élevée t danS la partie de V qui renferme le facteur a*i^; nt ainsi de suite, en sorte que X désignera finalemen^t Telposant de la plus haute puissance de / dans la partie de V

qui' contient le facteur a*i c'... A*. D*après cela, la fonction V contiendra un terme de la forme

auquel^ nous assignerons le premier rang; A est une constante donnée; il se peut que quelques-uns des eiposfttits

soient nuls; en outre, chacun de ces exposants peut être égal, mais non supérieur au précédent. Je dis, par exemple, qu'on ne peut avoir y^ê; en effet, la foiictioti

symétrique V qui renferme le terme Aa^b^c^.. .1^1

contient aussi le terine Aa*i^c...A^/^, qui se déduit du premier en permutant les lettres i et c; or, si Ton

avait 7>6, b ne serait pas, comme nous l'avons supposé, la plus haute puissance de b contenue dans la partie

de V qui renferme le facteur a* ; dohc on a nécessaire- Czc ! ment y <! Si>*^7 = S. Ce raisonnement s^applique évidemment aux autres exposants.

Le premier terme de la fonction V ayant été fixe comme il vient d être dit, noua appliquerons la même règle à la détermination du rang de chacun des autres termes, et nous écrirons

SECTIOiN II. — - CHAPITRE I. 383

Cela posé^ on a

(— !)'"/?« = abc, . Al.

Si l'on élève ces égalités aux puissances

respecii veulent, qu'on en fasse ensuite le produit et qu'on multiplie çnfia de part et d'autre par A, le premier membre de l'égalité résultante sera

A (.-^ ,)«i-€H-y-*-. . "^^p^-^p\-y, . . pIz!pIi-

Nous le représenterons, pour abréger, par P \ qu^pit au second membre, il sera une fonction symétrique des lettrea r7, i, c, . . ., Â, /, et, si nous l'ordonnons de la même manière que V, il est évident que son premier terme sera

Aa*i c*''. . .h^l^\ on aura ainsi

En retranebant la seconde des fonctions symétriques V et P de la première, on obtient une nouvelle fonction symétrique Vi telle que

Si Ton opère sur Vt comme on a opéré sur V, on obtiendra une troisième fonction symétrique Vj telle que

384 coi]Rs d'algèbre supérieure.

Pi désigne une quantité analogue à P, et qui est, comme celle-ci, Je produit d'une constante par diverses puissances des coefficients pi^ /7j,. . ., p^.

En poursuivant ces opérations, on voit qu'on obtiendra une suite de fonctions symétriques,

Vi, Vj, V3,. . . , v^,, v^^

telles que

chacune des quantités P, Pj, . . . , P est le produit d'une

constante par diverses puissances des coefficients pi, Ps9*-*9 Pm* ^^ outre, si l'on imaginé une fonction entière U formée des premiers termes des fonctions V, Vi,..., V

et ordonnée de la même manière que ces fonctions, il est évident, d'après le procédé que nous avons suivi, que le premier terme de l'une quelconque des fonctions^ Vi, Vj,..., V occupera, dans U, un rang supérieur au rang

du premier terme de la fonction précédente. Or, le nombre des termes susceptibles d'occuper, dans U, un rang supérieur à celui d'un terme donné est nécessairement limité; donc, dans la recherche des fonctions V^, Vj,...» on finira toujours par arriver à une constante, et alors l'opération sera terminée. Supposons, d'après cela, que V se réduise à une constante; il viendra, en ajoutantes égalités précédentes,

V = P-|-P.4-P,-f-...-l- P^, -f- V^ , formule qui. fera connaître r«xprèssion de la fonction

SECTJOKî II. CHAPITRE 1. i$85

symétrique proposée V en fonclion des coeflScienis ^i,

On peut conclure de là que toute fonction entière et symétrique V des racines d'une équation est exprimable rationnellement par les coefficients de Téquatioii, proposition que nous avons déjà établie (n^ 173) ^ mais on voit, en outre, que si les coefficients de l'équation sont des nombres entiers, ainsi que ceux qui multiplient les diffé* reflts termes de V, la valeur de cette fonction V sera également un nombre entier.