FORMULES GÉNÉRALES RELATIVES A LA THÉORIE DES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

Formule* de Lagrange,

49i. Lagrange a fait connaître danB les Mémoires dé V Académie de Berlin pour 1768, et plus tard dans le Traité de la résolution des équations numériques , Note XI, une formule ren^rquaWe qui donne immédiatement l'expression de la somme des puissances semblables, xi'un degré quelconque, des racines d'une équation. Nôu's allons établir ici cette foï-mul'e en stipposant avec l'illustre auteur que Ton ^it mis l'équation ^loposée sous la forme

(l) tt — j:-4-/(j?) =0,

Il désignant une constante et /(t) étant une fonction entière

dont nous représenterons la dérivée -çblv f'[x)^ conformément à l'usage (*).

On sait {toP 1/2) que si a, è, c, . . . , / sont les racines de Téquation

(1), la somme

Il 1

{*) Dans ce Chapitre et dans les suivants nous supposerons connus les principes fondamentaux du calcul différenliel et du calcul intégra), et nous ferons usage des notations généralement admises pour représenter les dérivées et les différentielles.

sera le coefficient de x" dans le développement de la fonction

en série ordonnée suivant les puissances croissantes de x. Soit la fonction plus générale

où <f(x) désigne un polynôme ayant pour valeur <p(a?) =r Bo -h B, J? 4- Bj.r* -h Bjo:'' -h . . . ,

et cherchons le coefficient de jc" dans le développeraeul de cette fonction. Si Ton commence par développer suivant les puissances croissantes de f(oc), il viendra

(2) yf^). ^ y(^) y(^)/(.^') , y(-^)[/(-r)f

u — x-h/(x) w — X [u — x)'^ (u — xY

et la série contenue dans le second membre de cette formule sera convergente pour toutes les valeurs de x telles

que le module de — ^— ^ soit inférieur à Tunité.

Considérons d'abord le premier terme du second membre, on a

et si Ton multiplie de part et d'autre par le polynôme (p (x), on trouvera que le coefficient de x" dans le dévelof-

, e>(jr) ,

pement de -^ — - a pour van

leur

ou

«""*"' ce" tt"~'

Do-f- B,/f -h B,w*-+-, .

SEGTIOÏI II. ?— CHÀVITAE II. 4^3

en sorte que ce coefficient pourra être représente par

pourvu qu'on ne retienne que les termes qui contiennent u en dénominateur.

Considérons maintenant un terme quelconque du second membre de Téquation (2), celui qui contient la puissance! de f(x) et qui a pour valeur

D'après ce qui a été dit plus haiuiy le coefficient de x^ dans le développement de

est égal à

pourvu qu'on ne retienne que les termes qui contiennent u en dénominateur. On a donc, avec cette restriction,

tm-m^rn-»

le signe Vs'étendant à toutes les valeurs entières nulle

ou positives de n. Et, comme la différentiation relsitive à tt ne peut introduire de puissances négatives de u dans les termes qui n'en contiennent pas, on aura^ en prenant les dérivées d'ordre i des deux membres de Tégalité précédente,

d'où il suit que le coefficient de or" dans le développement de

sera représente par Texpression

, 1 . 2 . . . i du*

où il ne faut retenir que les termes qui contiennent u en dénominateur.

D'après cela, si l'on représente par

P« H- P,x -f- P,x* H- PaX' -h . . .

le développement de la fonction

« — ar-l-/(j:)'

on aura

a"^' au 1.2 r/a'

pourvu, nous le répétons, qu'on ne retienne que les termes qui contiennent u en dénominateur. Supposons que la fonction cf (x) soit delà forme

et faisons, pour abréger,

la valeur de P« sera

du . du

I d^^(u)\/(u)Y i d'V{u)\/(u)]'/'iu} . 1 . 2 <//*' I . 2 r/«^

Or on a, en faisant — ~-~^ = V (//),

'-li!^^>,{„)f'iu)^^'^u)Au).,

on a aussi