I .2.3. . . (/JP — ï

C'est aussi à la résolution d'une équation de ce degré que

4a4 COURS d'ALGÈBHF StJPÉBIEUItE.

se trouverait ramenée celle de réquation proposée, car Téquation (5) n'ayant alors que deux termes pourrait être immédiatement résolue.

191 • La transformation de Tschîrnaûs donne la résolution algébrique des équations du troisième et du quatrième degré. En effet, soit d'abord l'équation du troisième degré

jp» -h px^ -h ^x -f- r =r o ; on posera

j = Uo -h tf j X -h «, X%

et Ton formera l'équation finale en j', savoir

/»H-P7»-hQ^-hR=o.

On déterminera les rapports de deux des quantités a^^ ai, a« à la troisième, au moyen des équations P = Or Q r= o, qui sont) Tune du premier degré, Fautre du deuxième; on pourra donc résoudre ces équations et exprimer les rapports dont il s'agit en fonction des coefficients de la proposée. L'équation en y se réduisant alors à

7^H-Rr=o,

on en tirera ces trois valeurs^

a et ê désignant les racines cubiques imaginaires de l'unité. Connaissant ainsi les trois valeurs dej^, on aura facilement, par ce que nous avons dit plus haut, les trois valeurs de x. D'après la proposition du n° 182, la transformation que nous venons d'effectuer revient à celle dont nous nous sommes occupé au n^ 63. Soit enfin l'équation du quatrième degré

r' -\- px^' -f- qx^ -4- rj: -f- j =r o ;.

SECTION II. CHAPITJIE I. 4^5

on posera, comme précédemment,

el Tqn aura une équation en y telle que

On déterminera deux des quantités «o > ^n «i au moyen des équations P = o, R = o, qui sont, l'une du pretnier degré, Faulre du troisième; on pourra donc résoudre ces équations et exprimer deux des inconnues en fonction de la troisième et des coefficients de la proposée. L'équation en j-, se réduisant à

elle pourra être résolue, car elle s'abaisse au deuxième degré en posant^' = z. Connaissant les quatre valeurs de y, on formera immédiatement les expressions des quatre racines de l'équation proposée.

application de la méthode de Tschirnaûs à r équation

du cinquième degré,

192. M. Jerrard, géomètre anglais, a démontré qu'on peut faire disparaître d'une équation quelconque le deuxième, le troisième et le quatrième terme en résolvant une seule équation du troisième degré. Nous allons établir ici ce résultat important ; à cet effet nous commencerons par démontrer la proposition suivante :

Théorème. — Une fonction homogène et entière du second degré de n variables est la somme des carrés de V fonctions linéaires; le nombre v étant égal ou in^ fcrieur an.

Soit V une fonction homogène el enlière du second

4'-i8 COURS d'alglbre supérieuhe.

numériques A, A',,., demeurent indéterminés, on trouvera

V = aX=»-f-6Y'H-7Z%

en faisant, pour abréger,

Y = ( AA' — B"') jr H- ( AB — B'B") z , Z z= z, et

a' A(AA'-B'")'

AA^A^-f- 2BR^B^^ — AB^— A^B^'~ A^^B^^» ^~ AA' — B"'

193. Passons maintenant à la démonstration du théorème que nous avons en vue. Soit l'équation

af* -h p, a^^' -+- /?, a?«-' -f- . . . -h /?,„, X -^ p„,z=z o,

et posons

Soit aussi

l'équation eny. D'après ce qu'on a vu au n^ 190, la somme des puissances p'^"*" des racines de Téquatîon en y est une fonction homogène et entière du degré p des cinq quantités ao, ^i, a^^ a^^ a^-y par suite, les coefficients ^i^ 929 •• «9 (Jm sont aussi des fonctions entières et homogènes des mêmes quantités, et les degrés de ces fonctions q sont précisément égaux à leurs indices. Cela posé, pour faire disparaître le second, le troisième et le quatrième terme dé l'équation en j^, il faut faire

La première de ces équations est linéaire^ tirons-en la valeur de «o en fonction de /7j, a^, «3, ai, pour la porter

sBOTioN II. — châ^pithe I. 4^19

dans les deux autres, et supposons que celles-ci deviennent

Les 'premiers membres de ces équations sont des fonctions homogènes des d^rés 2 et 3 respectivement des quatre quantités Oi, ûj, «5 , a,,. Or, d'après le théorème du n° 192, Téquaiion q\ = o peut se mettre souà la forme

/, gj A, k étant des^ fonctions linéaires, et celte équation sera satisfaite en posant

ou

f—gsl—^i à — A')/

Ces deux dernières équations sont linéaires^ si Ton eu tire les valeurs de a, et de a^ pour les porter dans l'équation g\= o, celle-ci deviendra

et son premier membre (f\ sera une fonction homogène et du troisième degré des deux quantités a^ et a*. L'une de ces quantités peut être prise arbitrairement et l'autre dépend, comme on voit, d'une équation du troisième degré; les quantités a^ et a^ étant déterminées, on en conclura les valeurs de a^, a,, a,, et l'équation en j^ deviendra

Par la même transformation on peut faire disparaître le deuxième,' le troisième et le cinquième terme d'une équation quelconque; seulement, la détermination des arbitraires a^^ a^j a^^' a^^ ai, exige la résolution d'une équation du quatrième degré au lieu de celle d'une équation du troisième degré.

43o COURS d' ALGEBRE SUPÉAlEU&fi.

Enfin, si a la transformatioii de Tschimaûs on jointla transformation qui consiste à remplacer l'inconnue par son inverse, on voit que, par le moyen d'une, seule équation du troisième ou du quatrième degré, il est possiiJie de faire disparaitc« d'une équation qtielcoiBque ie& ifds termes <qui précèdent le dernier on bien les deu^ qui précèdent le dernier avec celui t|ui précède ie dernier ée quatre rangs. Et, dans le cas particulier de Féquationdu cinquième degré, il est clair qu'on peut faire disparaifre ainsi trois termes quelconques enti^ te pi^mier et le -dernier. Ainsi, par la transformation dmit il sVgit, Téqudtion du cinquième degré peut toujours être ramenée à Tune quelconque des quatre formes

** -f- )yjt -h 7 = o,

JF* -4- p3C^ H- ÇF •= O^ xr" + px"" 4- r/ = O.

sfiCTîofc II. — chAPi'i'Rt: t!. 43 ï