du dw

438 covRS d'algèbre supérieure.

multipliée par j9 ou, comme il est facile de s'en

assurer, ëgal à

Maintenant, si les séries (6) et (7) restent convergentes quand on réduit chacun de leurs termes à son module, la série nouvelle que nous venons de former sera aussi convergente, par un théorème connu, et elle aura pour somme le produit des sommes des deux premières séries. D^ailleurs elle se déduit de la série (6) ou (7), comme on vient

C*) La réduction dont il s^agit ici résulte de la formule qui sert à exprimer la différentielle d^un ordre quelconque du produit de deux fooctioos. Si M et p désignent deux fonctions d'une variable indépendante jt, od a,

mais, t étant une fonction quelconque de x, on peut écrire aussi

df^-'it^du).^.

Cette formule se vérifie immédiatement quand /a = 1 ; pour établir sa

généralité il suffît donc de montrer que si elle a lieu pour les valeurs

I, 3, . . .m de /x, elle subsiste pour /u :s:m-H U Dans cette hypothèse, si l'on

if fait /i=:im — /et qu'on écrive t au lieu de u, ^r^^ au lieu de v, on aura

jm+l

Cela posé, si l'on différentiela formule («), après y avoir fait /*=», on

de le voir, en remplaçant dans celle-ci ¥ (m) ou II (u) par le produit II [u) ^ (ix) ^ donc on a

(8) [Yn] = [Y][n], et si Ton pose

n(«)Y(ie) = <ï>(//), n(«) = ||^,

on déduira de la formule précédente

(9) . [Y] = [i]' Posons

Y(w) = — > *(tt) = j d'où — i-T = tt'",

n et « — m étant des entiers positifs, on aura^ par la formule (5),

et de même

^ns + p^ +• • • + ^;p:s = [*l{n- »— );

troavera, en (jaisant usage de la formule {b), que le coefficient de d^ *'^* ^ so compose des deux parties suivantes :

|0 j i L- -^ d" (rdu):

Dans la seconde partie, le facteur entre crochets a pour valeur d^'^i^du), car ce facteur n'est autre chose que le second membre de la formule (a) quand on remplace fi par Ar— i, u par i et c par t'^^^du. La somme des deux parties dont nous venons de parler est donc

(i'où Ton conclut que la formule {a) subsiste pour /a = m + i *

44o couES d'algèbre sufâaieuhs.

la formula (g) deviendra alors

Supposons que le module de la racine a soit inférieur au module de chacune des autres racines, et faisons tendre n vers Tinfini, m restant constant; les rapports

• • • tendront vers zéro, et si les quantités e„,

Snwit s'évanouissent aussi pour n = 00 , on aura

c'est-à-^ire

du 1.2 r/«