Mff. sup,, I

594 COURS d\lgèbrr supéeieube.

Soient, comme précédemment, a, b, c, .,., l les m racines de Téquation proposée

(l) F(z) rrrz"» -4-y7,z'«-» 4- /7, z'"-» -f- . . .-hPm^xZ-^p„ = C; si Ton fait, pour abréger,

l'expression de la fonction y sera

Désignons par

Xo» Xi, . . ., X^^i

de nouvelles indéterminées, et posons

<D (3; n- x^ H- zXi H- z«X, -4- . . . -h «'"-;>X^,„,.

Nous ferons en premier lieu la substitution propre à rendre identique, relativement à l'indéterminée Zf Téquation

en égalant entre eux les coefficients des mêmes puissances de Zy on formerait les équations nécessaires pour exprimer les variables x en fonction des variables X. Mais ce calcul ne nous est pas utile, et il suffit de remarquer qu'en remplaçant z par chacune des racines a, b, ...,/, l'équation précédente nous donne

La fonctiony*, définie par l'équation (2), se changera dès lors en une fonction ^ des nouvelles variables, et Ton aura

(3) ^ = (û — i)<D«(tf) -h (^»—f)*«(ô) +...-+- (/-^ ri **(/).

SECTIOH II. GHAPITRB IT. SgS

Cette première transformation étant effectuée , nous en ferons une seconde, définie par les équations suivantes, où Zo, Zij . . . , 2rm-flésignent les nouvelles variables :

Xo = «/n-l + Pi */»-« -^P% *m-8 H- . . • -i-/^m-t «Oi Xi = ^OT-» -+- Pi ^m-i H- • • . -+-/?m-» *0>

Le quotient de F (2) par z — a est évidemment

•Pi - a

-hpia

et si Ton reAipIace, dans cette expression, les exposants de z par des indices de même valeur, on obtiendra, d'après les formules (4)» le résultat suivant :

Xo -h «Xl -f- «*X, -i- . . . + fl"»-» X;„^„

c'est-à-dire 4> (a). D'après cela, on peut écrire

pourvu que, les divisions ayant été exécutées, on remplace partout z®, z*, z^j ..., -z"»"* par «o» ^o •••, -^m-i. Pareillement on pourra écrire

zf étant une indéterminée à laquelle on doit appliquerez, qui vient d'élre dit relativement à z, en sorte que, la

596 COURS d'algèbre S1TPÊ11IEURE.

division faile, on remplacera toute puissance telle que z^ par z^.

D'après cela, la formule (3) deviendra

Y{z] Ffz')

le signe N se rapportant aux racines a^ by ...,/. Dans

cette formule symbolique, le second membre est une fonction entière des variables ^ et z' ; on peut Técrire de diverses manières, et le résultat définitif sera toujours exact, quand, la fonction § ayant été ordonnée par rapport à z et à z', on remplacera les puissances z^^ z!^ par Z|, Zj respectivement. Cela étant, on a successivement

z — z' \^z — a ^z' — a] On a d'ailleurs

V^— 2 / xV » / ^F'(«)

Fir^=('-*)2?3^=('-*')F|7y=

donc on a définitivement

^^(.-.)F(z)F(^')-(r-z')FV)F(z)^ ^ ' z — z'

expression de laquelle ont disparu les racines a, £, c,

Donc, pour avoir le nombre représenté par (^), il suffira de mettre le second membre de l'équation (5), sous la forme d'un polynôme ordonné par rapport aux puis-

sances de z et de J, Oii remplacera ensuite chaque puissance z^ ou z'' par zt et Ton obtiendra la fonction homogène ^, qu'on ramènera à une somme de carrés par la méthode connue; le nombre de carrés affectés de coefficienls positifs sera précisément («).

Lorsqu'on veut avoir le nombre des racines de Téquation F(^) == o comprises entre deux limites t^^ t^ données numériquement, il conviendra le plus souvent, pour obtenir les nombres (to) et(«i), d'opérer sur les expressions

(^o-z)r(z)F(z^)~(fo-zMFfgMF(z) z — z' '

dont les coefficients sont tous numériques, et non pas sur l'expression générale qui contient l'indéterminée f .

Exemple Supposons qu'on demande le nombre des

racines de l'équation

qui sont comprises entre o et i.

On a, dans ce cas, en faisant abstraction du facteur 3,

^- Tzr? ^ '

et cette formule symbolique donne la' formule exacte

i=zt[— Zz\ — 4^? — «î -h 2Zo2l -h2«oZ,)

Si l'on fait successivement t = o, « = i, on obtient les deux fonctions homogènes

Zl —z] — 9.Z^Z^-h 4ziZ^={Zo—Z^)^— (Zi — 2Z,)M-3SÎ,

5g8 COtTHS d'algèbre SUPéniEURC.

Il y a deux carrés affectés de coefficients positifs, dans la première de ces fonctions, tandis qu'il n'y en a aucun dans la seconde; donc l'équation proposée a deux racines comprises entre o et i .

On doit remarquer aussi que, si Ton donne à t une valeur positive infiniment grande, la fonction ^ divisée par t se réduira au polynôme

— 3«J — ^Z] — «î -H 2Zo Zj -;- 2Zo«8t

lequel peut être mis sous la forme

Comme on n'obtient, dans ce cas, aucun carré affecté de coefficient positif, le nombre des racines supérieures à l'infini, augmenté du nombre des couples de racines imaginaires, se réduit à zéro. On peut donc reconnaître, par ce simple calcul, que l'équation proposée a toutes ses racines réelles.

SECTION II. — chapithe V. 599