Considérons les m équations
dans lesquelles les coeflicients a sont des constantes réelles données satisfaisant à la condition
Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport aux variables x; et, si Ton désigne par F le déterminant
ri=
«1,1 g «f,l • • • ^mA
«ifijin g
Féquation en g^, F = o, qui est du degré m, sera le résultat de rélimînatîon des variables x entre les équations (i). Cette équation comprend comme cas particu tiers celle dont dépend la recherche des axes principaux des surfaces du deuxième ordre, ainsi que celles au moyen desquelles on détermine les inégalités séculaires des éléments elliptiques des corps célestes.
Nous nous proposons ici de démontrer une propriété fort importante de Téquation F = o ; elle consiste en ce que toutes les racines de cette équation sont réelles. On possède plusieurs démonstrations de cette proposition ; mais la plus remarquable est celle que Borchardt a présentée, dans le Mémoire que nous avons déjà cité, comme une application du théorème de Sturm. D'après ce théorème (n® 257), la réalité des racines d'une équation dépend des signes de certaines quantités que Ton sait former; dans le cas qui nous occupe, il se présente cette circonstance singulière, que chacune des quantités dont il s'agit est une somme de carrés. Nous croyons utile de reproduire ici la belle analyse de Borchardt.
Multiplions chacune des équations (i) par g et substituons, dans les seconds membres, à g^X|, gx%y ..., gXm leurs valeurs tirées des équations (i) : nous obtiendrons le nouveau système
S X\ = «1,1 ^1 -*- ût,i r, -+-.,. -h tf^^, ar^,
où
58a cooKs d'algèbre supÊmEuinî.
Sî Ton multiplie chacune des équations (2) par gel que Ton substitue à gJCiy gx^, . . . leurs valeurs tirées des équations (i), on obtiendra un troisième système d^équations qui se déduira du système (i) en remplaçant g par g^ et les quantités aij par
En continuant ainsi, nous obtiendrons le système d'équations qui correspond à la puissance /•'*"** de g :
où
A(')=/n AW = m ACO=w
AO):r=l A<^ = 1
Si Ton multiplie les équations du système (r) parg'^ et qu'on substitue, dans les seconds membres, les valeurs de g^Xiy g'^x^, ..., tirées du système d'équations (1^), le résultat obtenu devra être identique avec le système d'équations (r-H/''), et Ton aura, en conséquence,
OU, en écrivant q et r — 9, au lieu de r et z'',
hz=i
Cette équation (3) subsistera pour toutes les valeurs de 9 moindres que /•, savoir, i , a, . . . , /- — i ; dans le cas des valeurs extrêmes, on doit supposer
(4) "Vi- = '«/./•
L'équation (3) subsistera même pour les valeurs ^ = o, ç = r, si Ton convient de faire
/ ^ . \ a^j r= o, quand / et J sont inégaux,
( = ii quand /::=y.
Cela posé, revenons à l'équation r = o; le premier membre F est ce que devient le déterminant
lorsqu'on diminue de g chacune des m quantités On aura donc
et, par' suite, la somme s^ des racines de Téquation r :— o sera
•= 1 En appliquant le même raisonnement au système d*é-
^1 —gl-^gt-^'" -^- gm =
COUnS D^ÀLGEBIIE SUPÉRIEURB.
qualions (r) qui conduit à une équation du degré m en g**, nous obtiendrons
ou, à cause deTéquation (3),
tsi
q ayant une valeur quelconque de zéro à r. Soit maintenant, comme au n° 237,
Pv^=
^1*— 1 -^J*. ^Ji-Hl
*ÎH^Î
d'après l'équation (6), les quantités dont se compose ce déterminant peuvent être représentées de la manière suivante :
tl^iM'i'
Sx =
vl-i^r
l<^VT.r
--V/,(>*^»> x,^^) . — v..^»^»> .i(»> c — V/.^''-lJil^''les sommes se rapportant à toutes les valeurs i, 2, ..., m
des Indices i et /. D'après cela, si Ton fait
on aura
, == \ =±:ao,o«i,i.--«i
et y en -appliquant aux jum^ quantités
le théorème du n? 244 (Corollaire) , on mettra p^ sous la forme
(') p^= S [I^ «''!}•<'•</' • • • "in,/,.-.. ]
i, j, i', /, i"^ fy . . . , i^*"-*), jff'*-*^ représentant u systèmes quelconques de deux indices z, 7 et la somme W
se rapportant à toutes les combinaisons fx à ji des /n^ systèmes i, j.
La formule (7) montre que chacune des quantités p^ est une somme de carrés. Ces quantités sont donc toutes positives; il en résulte, comme on Ta vu au n*^ 257, que Féquation F = o a ses m racines réelles.
Méthode de M. Hermite pour déterminer le nombre des racines réelles d'une équation qui sont comprises entre deux limites données,
2o9. Nous nous proposons d'exposer ici une méthode extrêmement remarquable de M. Hermite pour déterminer le nombre des racines réelles d'une équation, comprises entre deux limites données. Celte méthode
586 couBS d'algèbhe supérieure.
repose sur les propriétés des fonctions homogènes da deuxième degré qui ont été établies dans ce Chapitre. Soient
une équation du degré m à coefficients réels, et
Qy b, c, , .., k^ l ses m racines.
Désignons par t une indéterminée et considérons la fonction homogène du deuxième degré
j^^ (:ro -f- bx^ -h 6«.r, -{- . . -h b'^-'^x^^^Y
des m variables x©, J:<, . . . , J^m-i* H est évident que j est une fonction symétrique rationnelle des racines de Téquation (1); on pourra donc l'exprimer rationnellement par les coefficients de cette équation, et comme ces coefficients sont supposés réels, la fonction y sera également réelle, pourvu qu'on attribue à l'indéterminée /des valeurs réelles. Au reste, on peut calculer trèssimplement les coefficients aij de la fonction /"ramenée à la forme
On a efiectivement
rfi+J h^-hj ll^J
SECTION II. — CHAPITRE IV. SSj
or, si Ton décompose la fraction rationnelle en fractions simples, on trouvera
rzrE(/)-h— — -h- -r-^' '-^'---.y ^ ' t — a t — b t — /
E(e) étant le quotient entier de la division de i'+>P(f) parF(f); donc, si Ton désigne par ¥ij[t) le reste de cette division y on aura
et, par suite,
i;=im — 1 jssm — l i =0 7«=0
Désignons par /^m^i Tinvariant def; d'après ce qu'on a vu au n° 247, cet invariant sera égal au produit de
par le carré du déterminant
1 fl fl* . . . û'"-' !
lequel est égal (n*» 239) à
dr[a - b)(a-c). . .{a-l)(b- c). . .{A- - l);
on a donc
(a^b]*{a — c)\..{a - iy(b - c)«...f/- >^ l]\
588 COTJHS d'algèbre SUPÉniEURE.
ce qui montre que Fin variant de y ne sera jamais nul sî Féquation proposée n'a pas de racines égales.
On peut encore tirer l'expression de A^-* d'une autre considération qui fournit en même temps Finvariant
de la fonction à laquelle se réduit y*^ quand on y suppose nulles les ^ — i variables
La fonction dont il s'agit sera donnée par la formule (3), si l'on suppose que les indices i etj ne varient que de zéro à m — fx; la formule (4) donnera les coefficients aijy et, comme elle peut s'écrire
Finvariant ^m^^ sera égal (n** 244) à la somme des produits obtenus en multipliant l'un par l'autre les déterminants formés respectivement avec m — fx -h i colonnes verticales des tableaux dont les lignes horizontales sont représentées généralement par
a', b\ ..., /' et
chacun des indices i et y ayant les valeurs o, i, a,
m — ji. Si l'on suppose que les racines
soient au nombre de*m — jut 4- i, le premier des déterminants dont il s'agit sera égal à
SECTION II. CH.iPlTBE IV. dSq '
et le second sera égal au quotient de la même expression par
on aura donc
{a^t)ib — t)...{à-
le signe \ se rapportant à toutes les combinaisons
m — fx-hi km — fx-hi des m racines a, b, c, . . . , /.
Enfin, si l'on suppose que toutes les variables de^s'annulent à Fexception de Xo, et qu'on désigne par Ao le coefficient du carré de la variable restante, on aura
La fonction y étant réelle, eUe peut être ramenée, comme nous l'avons vu, par une substitution réelle, à la forme
(9) /=:A,X| + ^XÎ + ^XÎ-+-...+ ^lX,î,,.
260. Cela posé, nous démontrerons, d'après M. Hermlte, le théorème suivant :
Théorème. -^ Etant donnée V équation F(z) = o du degré m, à coefficients réels et dont les racines supposées inégales sont a, i, c, ...,/, soit la fonction homogène réelle
tSgo COURS d'algèbre supérieure.
des m variables Xo-, X|, ..., x^-i et dans laquelle t désigne une indéterminée réelle; si, par une substitution réelle, on ramène lajonctionf à une somme de carrés de Jonctions linéaires réelles, le nombre des carrés affectés de coefficients positifs sera égal au nombre des couples de racines imaginaires de V équation F (z) = o, augmenté du nombre des racines réelles supérieures à t.
D'après ce qu'on a vu au n^ 259, rinvariant de la fonctiony*n'est pas nul, et si Ton désigne par Xo, X| , . . . . Xin i m nouvelles variables, les équations
■ ax^ -\- €^.r.^ •
aro -i- àx^ -h 6»x, -f- . . . -h 6'"-* J^w-i = X„
pourront être résolues par rapport aux variables x ; en substituant ces valeurs, l'expression de f deviendra
Si toutes les racines a, b^ c, ..., l sont réelles, la substitution (2) sera également réelle, et Ton voit que, dans la formule (3), le nombre des carrés afiectés de coefficients positifs est précisément égal au nombre des racines qui sont plus grandes que f. D'ailleurs, toute autre substitution, réduisanty à une somme de carrés, donnera le même nombre de coefficients positifs (n° 2S4); donc le théorème énoncé se trouve établi, dans le cas où les racines a, b, . . . , / sont toutes réelles.
Si les racines a, i, c, ..., /ne sont pas toutes réelles, la substitution (2) ne sera plus réelle, mais il est facile d'en déduire une autre qui le soit; car^ supposons quc/z et b forment un couple de racines imaginaires conju-
giiéesy et que Ton ait
a = r(cosa -h v/ — i sina), b z=z r(cosa — ^ — i sina) ;
aux indéterminées Xo et X| substituons-en deux autres Yo, Y| telles que
Xo = Yo + Yiv^^, Xi=Yo-Y,v/^^.
11 est évident que les deux premières des équations ( a ) seront équivalentes aux deux suivantes :
jro-f-rjp,cosa-+-f*a:,coS2a-f-..,-f-r^""*jr^4COs(m — i)ar=.Yo, /•.rjsina-l-r'j:,sinaa-|-...-f-r^"*^,»— isin(/n — i)a=:Yi,
lesqueUes ne renferment que des quantités réelles. On opérera de la même manière pour chaque couple de racines imaginaires, et il est évident que la substitution (2) deviendra réelle par le simple changement de Xo, X| , . . .,
en Yo -t- Y< ^ — i, Y© — Y| y — h
Les deux racines imaginaires conjuguées a et b donneront dans y la partie
rindéterminée t étant réelle, posons
z=p[co5ff -h^— isïnç), T =rrp(cos^ — ^ — I sinç),
la partie de y* que nous considérons deviendra
p [(ces ^ + ^=T sia î) (Yo -h Y, ^/~i}J
^- p [(ces I - v^=7smî) (Yo - Y, ^^)Jy ou bien
2p ( Yocos 5^ — Y4 sin ^ j — 2p ( Yosin ^^ -f- Yj cos - j »
Sgn couKs d'algèbue supÉniEuiiB.
ce qui montre que, par notre substitution, deux racines imaginaires conjuguées introduisent dans /deux carrés dont l'un, est affecté d'un coefficient positif et l'autre d'un coefficient négatif.
On peut donc conclure que toute substitution réelle qui ramènera f à une somme de carrés de fonctions réelles introduira autant de carrés affectés de coefficients positifs qu'il y a d'unités dans le nombre des racines imaginaires de l'équation F{z) = Oy augmenté du nombre des racines réelles supérieures à t; ce qui est précisément le théorème énoncé.
Coaollàihe. — Si l'on désigne par {t) le nombre total des carrés affectés de coefficients positifs dans la Jonction/, le nombre des racines de V équation F(z) = o comprises entre deux nombres donnés f o et ti > to sera égalà{to)-{t,).
Car, si l'on désigne par No le nombre des racines supérieures à toy par N| le nombre de celles qui sont supérieures k ti, et par 2I le nombre des racines imaginaires, on aura, par le théorème précédent,
d'où
261 . Le théorème de Sturm peut être regardé comme un corollaire du précédent théorème. En effet, les quantités Ao, A|, ..., Ani^i étant définies comme au n°259, la fonction /peut être mise sous la forme
le nombre désigné par (t) exprime donc combien il y a de quantités positives dans la suite
Ao ^X Aj àrrt^x — , __, __, ..., ..
SECTION II. CHAPITRE IT. 5q3
Nous avons donné au n** 259 les expressions des invariants A„,j^, et Ton voit, en se reportant à ces expressions et au théorème de M. Sylvester, que si Ton désigne par V| la dérivée du polynôme V = F(f), et par V2, V3, . . . , Y m les restes changés de signe que l'on déduit de V et V|, par l'opération du plus grand commun diviseur, on a
donc le nombre (t) exprime aussi combien il y a de quantités négatives dans la suite
et il est égal, en conséquence, au nombre des variations contenues dans la suite
On conclut de là que le nombre des variations perdues par la suite précédente, quand on passe de t = tQ à t = ti^ to, est égal au nombre des racines de l'équation V = o, qui sont comprises entre to et ti, ce qui est précisément le théorème de Sturm. La démonstration nouvelle de ce célèbre théorème est bien remarquable, car on n'y emploie, comme le remarque M. Hermite, aucune considération de continuité.
262. J'arrive maintenant à la méthode pratique donn<5o par M. Hermite pour déterminer le nombre représente parle symbole {t). D'après ce qui précède, il suffira, pour remplir cet objet, de ramener à une somme de carrés, par une substitution réelle quelconque, la fonction désignée par^et que nous savons former.
