Cas de deux éqtjatioks. — Soient deux équations
6oo COURS d'algèbre supérieurg.
entre les deux inconnues x ely, et
les systèmes de solutions communes à ces deux équations. On nomme fonction symétrique de ces solutions communes toute fonction qui ne change pas de valeur quand on y permute les groupes (^<j^i), (^^2^2)7 - • • • les uns dans les autres; nous considérerons seulement les fonctions symétriques rationnelles. Une fonction de cette espèce est toujours exprimable rationnellement par les coefficients des équations proposées.
Par un raisonnement tout semblable à celui que nous avons fait au sujet des fonctions symétriques des racines d'une équation à une inconnue, on fera voir que la détermination d'une fonction rationnelle et symétrique des solutions {jCi^i), (xaj^a), ... se ramène à celle de fonctions symétriques entières, homogènes, et dont les différents termes se déduisent les uns dès autres, en changeant les indices des lettres x et j^, mais sans changer leurs exposants. Les fonctions symétriques auxquelles on est ainsi ramené seront dites simples ou du premier ordre, doubles ou du deuxième ordre, etc., suivant que chacun de leurs termes contiendra les lettres d'un, de deux, etc., groupes {x^y^), (j^aj^a)» •••• La forme générale des fonctions simples sera
p ou q pouvant être nul. Nous représenterons une pareille fonction par \ ■^cf/^- La forme des fonctions doubles sera
jf.p 7 p' .V L. >.^ V ^^p' r^ -4-
SECTION II. CHAPITRE V. 6oi
nous la représenterons par y -^1^1^% xl * ^^ ^i^^sî de suite.
Voici la méthode donnée par Poisson pour calculer la
fonction simple^ •'^f^f •
Désignons par t une nouvelle variable, par a une indéterminée, et posons
t=zx -h oLjTj d'où x=: t — ay;
en substituant cette valeur de a: dans les équations proposées, celles-ci deviennent
/('— «r,7) = O» F(t—ay,jr) = o,
et, en éliminant j^, on a une équation finale en f ,
qui contient dans ses difierents termes l'indéterminée a. Cette équation en £ a pour racines
et elle est, par conséquent, du degré n. D'ailleurs, la somme des puissances semblables de degré |utdes racines de l'équation en t peut s'exprimer rationnellement (n®.171) par les coefficients de cette équation, c'està-dire en fonction de a et des coefficients des équations proposées. On aura donc
(■^1 + «ri Y'-^- (.r, -h a/, j»' -h ... -h (*„ -H OLXa]' = Ao-4-Aja-h A, a* -f- ..,
formule où Aq, A|, ... désignent des quantités connues et exprimées rationnellement par les coefficients des équations proposées. Cette équation ayant lieu quel que soit «, les coelficients des mêmes puissances de a
603 COURS D^ALGÈBKE SUPÉRIEUEE.
doivent être égaux dans les deux membres, et il en résulte cette suite d'égalités :
x^ -4- ar'; -4- . . . -h . ^i; = A
qui feront connaître les fonctions simples \ -"^^ xl ^® degré p -{-(/= yi.
Le calcul des fonctions doubles, triples, etc., peut être exécuté de la même manière que dans le cas des fonctions symétriques ordinaires. Par exemple, pour avoir la fonction double \ ^iX^'^i xf^ on multipliera ensemble les
deux fonctions simples > -^f J^ et\ ^^' y*( \ le produit
se composera de la fonction simple \ Jt^^' yf^ et de la fonction doubl-e qu'on veut trouver. On aura donc
Seulement il ne faudrait prendre que la moitié de cette i;xleur, si Ton avait à la foisp'= p, y'= q.
Les fonctions triples, etc., se calculeront d'une manière analogue.
Ce qui précède suffit pour établir, comme nous l'avions annoncé, que les fonctions symétriques et rationnelles des solutions communes à deux équations peuvent s'exprimer rationnellement par les coefficients de ces équa-
SECTION II. CHAPITBE V. 6o3
tions, et l'on voit que leur détermination exige seulement l'élimination d'une inconnue entre deux équations.
265. Cas d'un :i« ombre quelconque d'équations, — La même méthode s'applique à un nombre quelconque d'équations. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trois équations à trois inconnues
f[x,jr, «) = o, F(x, r, z)=:o, (p(x, j, 2) = o,
et soient
les systèmes de solutions communes à ces trois équations. Conservant la classification que nous avons adoptée des diverses fonctions symétriques, la forme générale des fonctions simples sera
celle des fonctions doubles sera
et ainsi de suite. Et c'est à la détermination des premières que se ramène celle de toute fonction symétrique et rationnelle.
Désignant par t une nouvelle variable, par a et 6 deux indéterminées, nous poserons
/= jr -h a^ -4- 6 a, d*où xzrzt — aj — 6a
Ayant substitué cette valeur de x dans les équations proposées, nous éliminerons j>^ et z ; nous obtiendrons ainsi* une équation finale en r,
6o4 COURS d'algebue supérieure.
contenant les indéterminées a et 6, et dont les racines seront
La somme des puissances jx»«"" de ces racines pourra s'exprimer rationnellement par les coefficients de Téquation en f , c'est-à-dire en fonction des indéterminées a et S et des coefficients des équations proposées. On aura ainsi une équation de la forme
-\- ajr^ H- 6zj )l*.-.r: \ A^,, (Z^€
OÙ le coefficient A^^^ désigne généralement une quantité connue. Le signe sommatoire 2 du premier membre s'étend aux n racines de l'équation en t, celui du second membre à toutes les valeurs de q et de r, telles que
y -i- /•-— ou <C pt.
En posant p—-.^ — q — r, et égalant les coefficients de «^ S'' dans les deux membres, on aura
