fx \ P <i r __

c'est la formule qui fera connaître les fonctions simples.

Pour former les fonctions doubles, triples, etc., on procédera comme dans le cas des deux équations. La forme du calcul est la même, et Ton voit qu'en général les fonctions symétriques et rationnelles des solutions communes à plusieurs équations s'exprimeront toujours rationnellement par les coefficients de ces équations.

Il faut remarquer que la détermination des fonctions symétriques des solutions communes à trois équations exige l'élimination de deux inconnues entre trois équations, et généralement la détermination des fonctions

SBCTION II. GHAPITHE V. 6o5

flymétriques des solutions communes à Â: équations exige Télimination de A: — i inconnues entre k équations.

Extension de la méthode d^ élimination par les fonctions symétriques, au cas d'un nombre quelconque d'équations,

266. La méthode que nous allons exposer, d'après Poisson, donne le moyen d'éliminer A: — i inconnues entre A: équations, lorsqu'on sait éliminer k — 2 inconnues entre k — 1 équations, et, par conséquent, cette méthode ramène tous les cas, en dernière analyse, à l'élimination d'une inconnue entre deux équations.

Pour fixer les idées, nous considérerons quatre équations seulement, entre quatre ou un plus grand nombre d'inconnues ; mais on verra sans peine que notre raisonnement est général et qu'il s'appliquerait sans modification au cas d'un nombre quelconque d'équations.

Soient donc les quatre équations

If[x, y,z, u, . .) = o, ^['-^^ X^ «» ", ...) = o, ?(^, 7, «, «, ...) = o,

entre quatre ou un plus grand nombre d'inconnues Xyjy ZjUj . . . , et proposons-nous d'éliminer trois inconnues, jr, j-, z par exemple, entre ces équations.

Considérons en particulier les trois premières des équations (1),

I/(x, J, 2, M, ...) — o, F(^, /, 2, u, ...)==o, ff{x,jr, z, u, .. .) — o,

et, en regardant Xy y y z comme fonction des autres va-

606 COURS d'algèbre SUPÉRIEURB

riables, Uf . . . , désignons par

{^uXu »i)» (*î' Jsi «2)1 • •» (^ii.r«i «»)

les /z systèmes de solutions communes aux équations (a). Gela posé, remplaçons {x,y, z), dans la quatrième des équations (i), successivement par chacun de ces n systèmes, et désignons par V le produit des résultats ainsi obtenus, en sorte qu'on ait

(3) V=4>(.r„ji,Zi,tt,...)*(j:„jï.«2,«v.-)--.*[-'^».rn'»«.«t— )î

Téquation

sera l'équation finale résultant de l'élimination de j:,^ et z entre les équations (1), car cette équation (4) exprime la condition nécessaire et suflisante pour que les équations (1) admettent un système (or, ^, z) de solutions communes. D'ailleurs V est une fonction symétrique et entière des solutions communes aux équations (2); on pourra donc l'exprimer rationnellement par les quantités indépendantes de x, y, z qui entrent dans les équations (i). Pour cela, désignant, comme précédemment, par t une nouvelle variable, par a et 6 deux paramètres indéterminés, nous poserons

tz— X -r olx -r-^z^ d'où x.-t—oiy — tz\

en substituant cette valeur de x dans les équations (a), on aura les trois suivantes :

If\^~ «r — 6», r» ». «» . . ) = o» F(r— aj- 6«, j, 2, tt, . . . — o, y(r aj— es, j, 5, tt, .. .; = o,

entre lesquelles il faudra éliminer y tX. z. C'est donc à l'élimination de deux inconnues entre trois équations

SECTION II. CHAPITRE V. 6o7

que nous ramenons l'élimination de trois inconnues entre quatre équations. L'équation finale en t qui résulte de l'élimination dej^el dez entre les équations (5) aura pour racines

et son degré sera égal à «. Supposons cette équation formée, et ordonnons-la par rapport à t\ elle sera

(6) /« -i- py^ /«-* -f- p^ /'»-* -+-... -^/?„-i t-^Pn-^ o,

Pi, pa, . . . étant des fonctions rationnelles de u, . . ., qui contiennent aussi les paramètres a et 6. Cette équation (6) servira, comme nous l'avons vu précédemment, à calculer les diverses fonctions symétriques des solutions communes aux équations (a), dont l'expression de Vest composée, et le problème sera enfin résolu.

Cette méthode conduit, dans les applications, k des calculs d'une longueur rebutante ; mais nous allons en conclure aisément une démonstration nouvelle du théorème de Bézout, relatif au degré de l'équation finale, ce qui est l'objet principal que nous avions en vue.

Théorème de Bézout sur le degré de l'équation finale.

267. D'après ce qui précède, n étant le nombre des solutions communes {x,jy z) aux équations (2), on obtiendra une équation finale du même degré n en éliminant deux inconnues quelconques entre les équations (a)'. Cela est d'ailleurs évident a priori, car, à cause de la généralité que nous supposons aux équations, tout est semblable par rapport à x, ^, z, m, . . . . Toutefois, il est important de faire cette remarque, parce que le contraire pourrait avoir lieu si l'on attribuait aux coefficients des valeurs particulières.

6o8 COURS d'aLGÈBKE âDPÉRIEUQE.

Lehmb. — Si n désigne le degré de l'équation finale qui résulte de l'élimination de deux inconnues entre les trois premières des équations (i) et m le degré de la quatrième équation (i), le degré de l'équation finale résultant de l'élimination de trois inconnues entre les quatre équations [i) est au plus égal à mn.

L*équation (6), qui résulte de rélimination de y et z entre les équations (5), étant du degré n, les coefficients pi, p2y • • • sont des fonctions entières de u, . . . , dont la première est au plus du premier degré, la deuxième du deuxième degré, etc. Cela posé, la somme des puissances semblables de degré |ui des racines de Téquation (6),

c'est-à-dire N (xj -i-aj^i -j-Szi)»*, peut s'exprimer sous

forme entière, en fonction des coefficients ^i, p», . . . , par une formule qui est au plus du degré ^ par rapport à a, ... ; donc une fonction symétrique simple, telle

que \ '^xXX^'x'* de degré p -i- q -i- r = (Xy s'exprimera

par une formule qui sera elle-même au plus de ce degré |ui, par rapport à m, .... Il résulte de là, et du mode général suivant lequel les fonctions symétriques et entières les plus compliquées se forment à l'aide des fonctions simples, que toute fonction symétrique et entière du degré yi des solutions communes (xi, jTo ^«)> • • • > ^^^ équations (2), s'exprimera par une formule entière qui sera au plus du degré ^jl par rapport au, .... Or chacun des termes de l'expression de V, donnée par l'équation (3), est le produit de puissances de w, . . ., dont les exposants ont une somme mn — /x inférieure à m/i, par une fonction symétrique et entière de degré /x des solutions communes (x<, y^y Z\)} - • • > aux équations (2). Donc, enfin, chacune de ces parties de V s'exprimera par une formule qui sera au plus du degré mn par rapport

SECTION n. — CHAPITRE V. 609

k Uy . . . , et, par suile, réquatioa V = o sera au plus du degré mn.

On pourrait faire à la démonstration précédente Tob* jection que voici : Le raisonnement suppose que les coefficients p«, p2f •.., sont entiers par rapport aux variables u, ..., ou, en d'autres termes, que Téquatîoa (6), qui est du degré n par rapport à chacune des variables t, u, , . . , est de ce même degré par rapport à toutes les variables. Or cela n'est pas tout à fait évident, quoique les équations (i) ou (5) soient supposées chacune la plus générale de son degré. Voici, ce me semble, la manière la plus simple de lever cette objection. Si quelques-uns des coefficients pt, p^j . . . étaient fractionnaires, quelques-unes des racines t de l'équation (6) deviendraient infinies pour certaines valeurs finies

des variables m, Or je disque cela ne peut avoir lieu,

tant qu'on laisse indéterminés les coefficients des équations (2) ou (5), et il suffit évidemment, pour justifier cette assertion, de citer un cas où cela ne soit pas. Supposons qu'on donne aux coefficients des équations (5) des valeurs telles, que chacune, restant du même degré, se décompose en facteurs linéaires de la forme

/ -f- «/ -f- ^z -H cw -f- . . . -f- /;

on pourra exprimer chacune des racines i de l'équation finale relative à ces équations particulières, en fonction de u, ..., par les formules qui servent à la résolution des équations du premier degré ; et ces valeurs de t, étant évidemment de la forme de g^a -i- . . . -f-y, ne pourront devenir infinies pour des valeurs finies de u, .... On déduit aisément du lemme qui précède la démonstration du théorème de Bézout.

Théorème. — Le degré de l'équation finale quiré^

S. - Als, sup., \. 39

6lO COURS d'algèbre SUPÉRtBURB.

sidte de V élimination de k — i inconnues entre k équa^ tions est égal au produit des degrés de ces équations.

Soient, en effet,

^i^ ^1% ^i^ • • •« "2jfc

les degrés des A: équations. Le degré de Féquation finale qui résulte de l'élimination d'une inconnue entre les deux premières sera égal àmi m2, ainsi que nous Favons établi au n® 186 : donc, d'après le lemme qui précède, si Ton élimine deux inconnues entre les trois premières équations, le degré de Téquation finale sera au plus nii m^Xniif ou mim^nii^ de même, si Ton élimine trois inconnues entre les quatre premières, le degré de Téquation finale sera au plus mi ma mj X w* ou m« mim^m^. Et Ton voit, en continuant ainsi, que le degré de l'équation finale qui résulte de l'élimination de k — I inconnues entre les A: équations sera au plus égal au produit des degrés de ces équations.

On peut ajouter que le degré de l'équation finale sera précisément égal à ce produit, si les équations proposées sont chacune la plus générale de son degré, comme nous l'avons supposé. On s'en assure aisément en considérant un système de k équations décomposables chacune en facteurs linéaires, ainsi que nous l'avons déjà fait au n** 71.

Dés^eloppement d'une fonction algébrique implicite en série ordonnée suivant les puissances décroissantes de sa variable*

268. Les recherches que je vais exposer îcî font partie d'un Mémoire sur réliminalion, publié par Lîouviîlr dans le tome \1 du Journal de Malhémaùquf^s,

SBCTIOK II. CHAPITRE Y. 6ll

Soit (i) BI(x,^) = o ou M — o

nne équation du degré m entre deux variables xely* Si cette équation est du degré m par rapport k y^ elle aura m racines^, qui seront fonctions de x^ et que nous nous proposons de développer suivant les puissances décroissantes de X, En réunissant les termes de même degré, l'équation (i) pourra s'écrire de la manière suivante :

ou, en posant - = a,

f^f\jj%y • . • désignent ici des polynômes dont le premier est du degré m ; les autres sont au plus des degrés m — I , m — a, . . . , respectivement. Dans le cas le plus général, ces polynômes sont précisément des degrés m, m — I*, m — 2, ....

Les m valeurs de u fournies par l'équation (3) sont des fonctions de x qui, pour x = oo , se réduiront aux /// racines de Téquation

on pourra donc poser généralement

(5) II — a-f-i,

e s'annulant avec - • Nous nous bornerons au cas où les

racines de Téquation (4) sont inégales, et, dans tout ce qui suit, cette hypothèse doit être maintenue. Portons dans Téquation (3) la valeur de u tirée de (5); on aura

(6) X'V(« -H «) -^ •^'"-'/l ^« -^ 0 •+• ^"'-Va (a -ht)-!-...:::- O.

6m cours d'algèbre supérieure.

Développant chaque terme par la formule de Tavlor, ayant égard à Téquation (4), et divisant par x*""* , il vient

faisons maintenant x = oo dans cette équation, et désignant par a' la limite de eor, il vient

d'où

Cotte valeur de û/ sera toujours finie, car, par hypothèse, IVquationy (a) = o n'a pas de racines égales.

Puisque ix a pour limite la quantité o/, dont nous venons de trouver la valeur, on pourra poser

ix=za'^€\

d'où

(lo;

t' s'annulant avec - • Par suite, la valeur (5) de u devient

(II) tt =r a H 1 •