OX X OU

en faisant, pour abréger,

63a C0DB8 d'algèbre supérieuhb. ,

F{u), F|(a), . . • sont des polynômes des degrés m — i, m — 2, ... ; car, dans F(i£) par exemple , les deux termes du degré le plus élevé, qui proviennent de mf[u) et de [a — u)f[u), se détruisent évidemment; et la même chose a lieu pour F| (a), ....

L'équation finale qui résulte de Télimination de y entre les équations (i) est la même que celle qui résulte de Télimination de u entre

•^v(«; -H ^'-''-Vi («) -^ . . .= o.

Si donc on désigne par \ x la somme des racines de Téquation finale, on aura (n° 269)

le signe \ s'étendant dans le second membre aux racines

de Téquation

et oi étant une quantité déterminée par Téquation

Pour avoir l'expression de ^ j: en fonction des quau-

tités données fy f\y . . . , différentions la première des équations (2); on aura

Les équations (2) et (3) donnent ensuite

on, comme la quantité «'/'(«] -+"/i(«) est nulle,

On aura aussi, en faisant 11 = a dans la première des équations (2), et en remarquant quey(«) est nulle,

Des équations (4) et (5) on lire

x' F'(a1 + F, (a) «'/"(«! -h/.(al.

par

suite.

la valeur de

:^xest

et Ton voit qu^elle est indépendante de a, La somme des distances à Taxe des j des points de contact de notre courbe avec les tangentes parallèles à la direction donnée est donc indépendante de cette direction; ce qui démontre le théorème énoncé, car Taxe desj^estune droite quelconque située dans le plan.

La démonstration précédente semble en défaut lorsque Féquationy (a rr= o a des racines égales; pour montrer que les conclusions sont cependant exactes dans ce cas, on peut employer un raisonnement dont nous avons déjà fait usage. Il suffira de changer infiniment peu les coefficients dey, de manière que f [a) =20 n'ait plus de racines égales, et de supposer ensuite ces changements nuls : on aura une courbe infiniment peu différente de la proposée, et pour laquelle le théorème aura lieu ; d'où Ton peut conclure qu'il a lieu, à la limite, pour la courbe proposée elle-même.