XX XX

on aura ainsi les deux premiers termes des séries dans lesquelles u et i^, ou J^ et ^, peuvent se développer, et Ton voit aisément qu'on pourra, de la même manière, obtenir les termes suivants.

Cette méthode s'applique, quel que soit /u, au cas do \k — I équations entre /x variables, pourvu qu'on écarte, comme nous l'avons fait jusqu'ici, en raisonnant sur des équations générales, quelques cas particuliers qui peuvent se présenter.

624 COUKS d'algèbre SVPÉUIEUIIB.

Formation de V équation finale qui résulte de l'élimination de deuXj trois, etc. y inconnues entre trois, quatre f etc., équations. Noux^elle démonstration du théorème de Bézout, Somme des racines de l'équation finale.

273. On peut, par l'analyse précédente, former autant de termes que Ton veut de l'équation finale qui résulte de rélimination de deux, trois, etc., inconnues entre trois, quatre, etc., équations.

Soient, par exemple, les trois équations générales

des degrés m, «, p respectivement, entre trois inconnues Xyj", z: en réunissant les termes de même degré, ces équations seront

y, F et 9 sont des polynômes des degrés m, n, p respectivement, par rapport aux deux variables qu'ils renferment ; y, , Fj , 9, sont respectivement des degrés m — i , n — I, p — I, et ainsi de suite.

Désignons par

les mn systèmes de solutions communes aux deux premières des équations (i), et posons

Y = P (x, Ji, z,]F (.r, Xt. 2i). . . P(.^, J'^nn, «m»);

SECTION II. CHAPITRE V. 6a >

Téquation finale résultant de Télimination de j^ et ^ entre les équations (i) sera

et c'est cette équation qu'il s'agit de calculer. On y parviendra en développant en série chacun des facteurs P ( x,^, z) de V, et il suffira de connaître autant de termes du développementde Pqu'on en veut avoir dans V. Nous nous bornerons ici, comme nous l'avons fait dans le cas de deux équations, à calculer les deux premiers termes de V, ce qui suilfit pour connaître le degré et la somme des racines de l'équation finale.

On a, en faisant, comme précédemment, - = «, - = ^/,

et, si l'on pose

Il = a -t- s, l'=r:6-f->I,

il vient

• P(x,j, z)=xP^[^,Z)-^xPY.,

E s'annulant avec -9 ainsi que e et >?. En mettant dans

l'équation précédente, à la place de x et jy leurs mn valeurs, il vient

p [^. rt^ 3,) =.«:/' <p(y.„ s,) H- xPE,,

Ef,E2, ..., Ejn/i étant des quantités infiniment petites avec -• Enfin, en multipliant toutes ces équations, on a la valeur suivante de V:

S.— jilg. sujf,, I. ^o

6af! coxms d'algèbre scpéribdre.

où H désigne une quantité qui s'annule avec - • Le premier terme de V est donc

H suit de là que le degré de l'équation finale qui résulte de Télimination dej^eiz entre les trois équations (i) est égal au produit des degrés de ces équations, ce qui fournit une nouvelle démonstration du théorème de Bézout.

Si Ton veut obtenir les deux premiers termes de l'équation finale V = o, il est nécessaire de calculer les deux premiers termes du développement de P(j:,j^,^) en série ordonnée suivant les puissances décroissantes de x. Pour cela, dans l'équation

nous poserons

c' etr/ désignant toujours des quantités qui s'évanouissent avec -> a'^et & des quantités déterminées par les équations

La valeur deP(j:, j^, s) pourra alors s'écrire de la manière suivante :

SECTION II. — chafithe V. 627

en désirant par E une quantité qui s'annule avec -; on aura donc

Dansces équations nous avons mis, pourabréger, ~ -, . • .

à la place de -^^^— '-' • • • î ^', > '^'j» • • • désignent les

.valeurs de af qui correspondent aux valeurs ofi, «o, ...

de a; enfin, E|, E2, . . . sont des .quantités infiniment

petites avec-' En multipliant toutes ces équations, on aura la valeur suivante de V :

V z= j:«»J'^(aj,6i) ç(a„ 6,). . . ^[c^mn. 6,„n)

-*- ^'«'»/'-» H, OÙ H désigne une quantité qui s'annule avec -? et où le

signe \ s'étend à toutes les solutions communes («, é) des deux équations

Le second terme de V est donc

628 couBS d'algèbre supérieure.

cl sî Ton désigne par \ x la somme des racines de Téqualion finale V= o, on aura

En remplaçant, dans celte formule, J el 6' par leurs valeurs écriles plus haut, -et en faisant, pour abréger,

on aura cette expression

où les sommes du second membre sont relatives à tous les systèmes de solution^ communes aux deux équations

Le calcul des deux premiers termes de Téquatlon finale, qui résulterait de Télimination de /x — i inconnues entre fx équations, n'offrira pas plus de difficulté, quel que soit fx, que dans les deux cas particuliers qui ont été développés ; la marche à suivre est toujours la même, et Ton peut considérer comme générale la nouvelle démonstration que nous avons donnée du théorème de Bézout pour les cas de deux et de trois équations

Démonstration d^ une formule de Jacobi.

274. Pour obtenir Téquation finale V=-o, nous avons porté, dans la troisième des équations données, les valeurs

SECTIOM IT. CHAPITRE V. 629

dey et de z, tirées des deux premières ; mais on aurait pu opérer de deux autres manières différentes : par exemple, en portant dans la première équation les valeurs dey et de Zy tirées des deux dernières, on aurait obtenu une

expression différente de \ x, qui peut évidemment être

tirée de celle déjà trouvée, en changeant Tune en Tautre y et y, yi et 0| , .... On a donc

mais ici les sommes qui figurent dans le second membre sont relatives aux solutions communes des équations

çfy, ^; = o, <?(7, J)=0.

Égalons les deux valeurs trouvées pour \ x, et supposons que les polynômes F| et/i soient identiquement nuls ; on aura

en se rappelant que le signe N s'étend, dans \è ffremier

membre, aux solutions communes dey(a, 6=^0, F(a, f ) = o, et, dans le second membre, aux solutions communes de F(7, ^"l == o, (^(y, (î) = o. On peut, dans cette formule, considérer les polynômes^, F et <j> comme absolument arbitraires; et, quant au polynôme ©i, il n'est assujetti, par notre analyse, qu'à la seule condition d'être d'un degré inférieur à celui de y. Supposons

la somme du second membre de l'équation précédente

63o COURS d'algèbre supérieure.

sera alors relative aux solutions communes des deux

équations

¥(y,$)=.o, C(7, iî)^o,

et, par conséquent, chacun de ses termes sera identiquement nul. On aura donc

Zjà/

doL ô^ âoL do

le si^ne \ s'étendant aux solutions communes des deux

équations

Cette formule remarquable, où cpi désigne un polynôme

quelconque de degré inférieur à celui de t- -ït — -^ tv

est Textension de celle que nous avons démontrée au n** 217 et que nous avons rencontrée de nouveau au n"* 271 . Elle a été démontrée pour la première fois par Jacobi, et Liou ville y a été conduit naturellement, CQmme nous venons de le faire voir, dans ses recherches sui* l'élimination.

jé ppUcation de la théorie précédente à une question de Géométrie,

275. Liouville a déduit des résultats qui précèdent la démonstration d'un théorème curieux de Géométrie que nous allons présenter ici :

Théouème. — Si l'on mène à une courbe algébrique la série des tangentes parallèles à une direction donnée.

» SECTION H, CHÀPITEE V. 63l

le centre des moyennes distances des points de contact sera indépendant de cette direction.

Soit

M(.r, r) =zr O

Téquation d'une courbe algébrique; les coordonnées réelles ou imaginaires des points de contact de cette courbe avec les tangentes parallèles à la droite y =:^ ax seront les solutions communes aux deux équations

Si l'on pose- = «, et qu'on représente la courbe par

Tcquation <p(a:, u) = o, les coordonnées x et u seront les solutions communes aux deux équations

Soit donc, conformément aux notations du n** 268,

^(.r, u) = .rV( ") -H .'-'"-Vi («) -*-...,

j\ f\j • • . , désignant des polynômes des degrés m, 7/1 — I , ... ; on aura

et, par suite,

^ + fJZif |l =^«-.F(„) H-:r'»-'F,(«) + . . .,