THÉORIE DES FRACTIONS CONTINUES

Définition des fractions continues.

1. Désignons par x une quantité positive, rationnelle ou irrationnelle y et posons , . I I I

(Ij ar = flH 9 .r^z=za^-\ , ...» :r„i=a„,H , ...,

a, Ui, ^2 9 . . . étant les plus grands entiers qui soient contenus dans x, j:i, ^2, . . . respectivement. Le premier de ces nombres a peut être nul, mais chacun des suivants est au moins égal à i .

Si la quantité x est rationnelle, Tun des nombres de la suite x, X|, x^, ... sera entier, et il terminera la suite; carie nombre suivant serait Tinfini, diaprés la loi de formation. Pour justifier cette assertion, supposons que l'on ait

A et A| étant des entiers premiers entre eux. Soient A2, A), . . . , A„y I les restes successifs auxquels conduit la re< cherche du plus grand commun diviseur des nombres A et A|, et a, ai, ... , a„^i les quotients fournis par cette opération ; on aura

A=Aitf-+-A,, At = A2fli-+-A3, ..., A„i = A„ât„.j-Hi,

d'où, par la définition des nombres Xi, Xj, . . .,

Mais, si la quantité x est irrationnelle, aucun terme de ta suite Xy X|, x^j ... ne sera entier ni même rationnel, et l'on pourra en conséquence prolonger cette suite indéfiniment. En effet, si quelqu'un des nombres x, j:i , x^, ... est rationnel, il est évident que tous ceux qui le précèdent le sont aussi.

Si l'on élimine les quantités x^, j?2, • . ., Xn^i entre les n premières des égalités (i), la valeur de x prendra la forme

««-iH ;

lorsque x est un nombre rationnel, il existe, comme on vient de le voir, une valeur de n pour laquelle Xn est 00 ,

on peut alors supprimer la fraction — dans l'expression

précédente. Il n'en est plus ainsi lorsque x est une quantité irrationnelle, mais il sera démontré que, après la suppression de la fraction — , le second membre de la for-

mule (2) converge vers la valeur de x quand on fait croître le nombre n indéfiniment.

Nous sommes ainsi conduits à étudier les expressions de la forme

oCi a, ai, ^Z], ... désignent des entiers positifs dont le

SECTlOir I. CHAPITRE I. 9

nombre est limité ou illimité, et parmi lesquels le premier seulement peut être zéro. On donne à ces expressions le nom àe fractions continues.

Lorsqu'on réduit ainsi une quantité x en fraction continue, on donne le nom de quotients complets aux quantités Xy Xij Xi, . . . dont les valeurs sont fournies par les formules (i) ; les entiers a, a^yU^y . . . contenus respectivement dans les quotients complets sont dits quotients incomplets. Enfin on nomme fractions com^ergentes ou réduites les valeurs que Ton obtient quand on arrête la fraction continue à un quotient incomplet quelconque. Ainsi, dans la fraction continue (3), a est la première

réduite, «H est la deuxième, a -\ est la

troisième, et ainsi de suite.

On considère, dans certaines questions d'Analyse mathématique, des fractions continues plus générales que celles dont il vient d'être question et qui ont la forme

Of ai, ^Sf •••> ^o ^3< ••• étant des quantités quelconques. Mais ces expressions nouvelles ne sont d'aucune utilité pour l'objet que nous avons en vue, et il n'en sera point question dans ce qui va suivre.

De la formation des réduites, 2. La première des formules (i) donne

lo coins d'algèbre supériburk.

et, si Ton remplace x^ par la valeur -î— ^ — - tirée de la deuxième formule, il vient

on peut de même remplacer le quotient complet x^ par sa valeur tirée de la troisième formule (i), et ainsi de suite. En général, la valeur de x exprimée par le moyen du quotient complet x^^i , aura la forme

P/i-i, Qn-i, Pff-a, Q/i-2 étant des nombres entiers. En effet, on vient de voir qu^il en est ainsi lorsque n — i est égal à I ou à 2; et en conséquence, pour justifier notre assertion, il suilGt de constater que, si elle s^applique au quotient x^^iy elle subsiste aussi pour le quotient x,,. Or, en remplaçant, dans la formule (6), Xn^t par sa valeur

a«.i H ou ^ '' 9 il vient

( Qn-l «»-l -4- Qn-, ) ^n + Qa-l '

notre proposition est donc établie. On voit en outre que, si Ton pose

( 7 ) P„ = Pn-i «»-l 4- P„-„ Qn = Q«-l ^n-t "h Qn-î,

Texpression précédente de x prendra la forme

et celle-ci se déduit de Texpression (6) par le changement de /i en n -H I •

Pour avoir la réduite de rang /i, il est évident qu'il suffit de remplacer, dans la formule (6), le quotient com-

SECTION I. CHÀPITEE I. II

plet Xr.i par le quotient incomplet correspondant an^i ,

on voit alors, par les formules (7) , que cette réduite a pour

p valeur -r^ • Au reste, il faut remarquer qu*on peut Tob-

tenir aussi en remplaçant Xn par 00 dans la formule (8). Les formules (7) peuvent donc être employées pour calculer le numérateur et le dénominateur des réduites successives, et Ton peut énoncer à ce sujet la proposition suivante :

Le numérateur de la réduite de rang n est égal au produit du numérateur de la réduite de rang n — i par le 7i'*'"« quotient incomplet, augmenté du numérateur de la réduite de rang n — 2. Et de même le dénominateur de la /ï'^'»* réduite est égal au produit du dénominateur de la réduite de rang n — i par le /i»^"»* quotient incomplet, augmenté du dénominateur de la réduite de rang n — 2.

L'application de cette règle exige que les deux premières réduites aient été formées; on a, par les formules (4) et (5),

V^ = a, Qi = i,

maisy 81 Ton pose

Po=i, Qo = o,

les formules (7) seront vérifiées pour n = a ; d'où il ré-

p suite que l'on fera rentrer la deuxième réduite -^ dans

p t la règle générale, en introduisant la réduite fictive ;r = -'

que l'on peut regarder comme occupant le premier ranj; dans la suite des réduites ; c'est ainsi que nous procéderons désormais, et, en conséquence, pp représentera la réduite de rang « + 1 . Au moyen de cette conven-

Gouns d'algèbre supérieure.

lion, on peut disposer comme il suit le calcul nécessaire pour la formation des réduites :

fl«, -4- 1

Les quotients incomplets a, a^ja^^a^, • • . sont écrits sur une première ligne horizontale. Au-dessous des deux premiers quotients a et Ut, on place les deux premières

réduites -> -; on forme ensuite chacune des réduites suio I

vantes, en opérant conformément à la règle, et Ton écrit

le résultat au-dessous du quotient qui lui correspond.

Propriétés des réduites.