Théorème I. — Les réduites étant supposées for

p mées d'aptes la règle précédente, et ^ désignant gé-

néralement la réduite de rang w -H i , on a

En effet, soit an^\ le n'*"»* quotient incomplet, on aura

P» = P»-i û«-i + P„-„ Q„ = Q„-i rt«-i -^ Q„-s ;

si l'on ajoute ces égalités après avoir multiplié la première par Qw-< et la seconde par — Pw-i, il viendra

(Pi.Q«-i~Q«P»-i) =- (P»-iQ«-i-Q/.-iP»-2), ce qui montre que la quantité

a la même valeur, quel que soit n ; mais cette quantité

SECTION X. CHAPITRE 1. l3

est égale à i quand ti = i , car Qo = o et Q< = P© = i ; donc elle est égale à i, quel que soit n.

CoaoLLAiRE I. — Les nombres P» et Q„ sont pre-

F miers entre eux, et en conséquence la fraction ^ est irréductible.

L'égalité qu'on vient d'établir prouve efifectivement que les nombres P„ et Q^ ne peuvent avoir aucun diviseur commun autre que l'unité. C'est en raison de cette propriété que Ton a donné le nom de réduites aux frac- Pi.

tiens ^•

Corollaire II. — La différence entre deux réduites consécutives est égale à une fraction qui a pour numé^ râleur l'unité, et pour dénominateur le produit des dénominateurs des deux réduites.

En effet, si l'on divise par le produit Q/iQ^.:* l'égalité qui fait l'objet du précédent théorème, il vient

^n Pn.l^(~l)" Qi» Qn-1 Q«Q«-t,"

4. Tbéorème II. — Si Von réduit une quantité quelconque X en fraction continue et que l'on forme les réduites successii^es, la valeur de x sera toujours comprise entre deux réduites consécutives et chaque réduite ap^ prêchera plus de x que la réduite précédente.

p En effet, ^ étant la réduite de rang n + 1 et x,i le

quotient complet correspondant, on a

l4 COURS D^ÀLGÈBRE SUPÉRIEVRE.

Si l'on résout cette équation par rapport à Xn on trouve

Cette formule montre : i® que les différences x — ^ *

On— 1 P

et— ^ — X sont de même signe, d'où il résulte que x est

comprise entre j^-^ ®^ K^ ? ^^ ^^ ^^ valeur absolue de la

seconde différence est moindre que la valeur absolue de

la première, car les quantités -p^ et X;,, dont le produit

forme le premier membre de la formule précédente, sont Tune et Tautre supérieures à Tunité.

5. Théorème III. — Si Von réduit une quantité quelconque x en fraction continue, la différence entre une réduite quelconque et la valeur dex sera moindre qu'une fraction ayant pour numérateur l'unité et pour dénominateur le produit des dénominateurs de la réduite considérée et de la réduite suivante.

En effet, d'après le théorème II, x est comprise entre

P P les deux réduites pp-î^ et t~: par conséquent, la différence

entre x et rr^^ est moindre que la différence entre -^

et ^r^—^ 5 mais, d'après le théorème I (corollaire II), cette

Vn— 1

dernière différence est égale à -^ — pr- ^ si donc on désigne

par 6 une quantité comprise entre zéro et Tunité^ on pourra écrire

Pn-1

SECTION I. CHÀPITBE !• l5

Comme Qn est supérieur à Q/i.iy on a aussi

9 désignant encore une quantité comprise entre zéro et I , mais qui n'a pas ici la même valeur que dans la précédente égalité.

C^tte dernière formule exprime que, si l'on prend une réduite quelconque pour valeur- approchée de la quantité X, l'erreur commise sera moindre que l'unité divisée par le carré du dénominateur de la réduite.

Remarque. — On peut encore démontrer le précédent théorème en partant de la valeur de x exprimée en fonction du quotient complet Xn- On retrouve par ce moyen la limite supérieure que nous venons d'assigner à la différence ( — i)" ( X — ^r^^ ) » et l'on obtient en même temps

une limite inférieure de la même différence. Cette dernière limite a moins d'importance que l'autre, mais elle mérite cependant d'être mentionnée. On a

Q«-I Q« '^n + Q1.-I Qn-1 Q«-i (Qn^« + Q«-l )

OU, d'après le théorème I,

Or Xn est compris entre i et 00 ; donc la différence

est comprise entre

i=Z2Ï. et (-')"

Q-.Q» Q„-.{Q„-4-Q,-iJ

i(S COURS d'algèbre supérieure.

Corollaire. — Si la quantité x est irrationnelle, on pourra toujours former une réduite qui différera de x d'une quantité plus petite qu'une quantité donnée t.

En effet, pour être assuré que la différence entre x et la réduite -^^ est inférieure à e, il suffît que Ton ait

— — < «, d'où Q„i > -:,

et, puisque les nombres entiers Qi, Q2, Qs, • • • croissent sans limite, on voit que l'inégalité précédente sera vérifiée si Ton prend une valeur de n suffisamment grande.

6. La première réduite r-^ étant - ou 00 , et la deuxième Qo o

— i étant égale à a on voit qu'on peut énoncer la proposition suivante, qui résume les résultats principaux que nous avons obtenus :

Lorsqu'on réduit une quantité quelconque x en fraction continue, les réduites de rang pair, toutes inférieures à X, forment une suite croissante, tandis que les réduites de rang impair, toutes supérieures à x, forment une suite décroissante. Ces deux suites se terminent quand x est un nombre rationnel ; mais, dans le cas contraire, elles sont illimitées et les réduites de chacune d'elles com^ergent vers la valeur de x dont elles se rapprochent indéfiniment.

C'est en raison de cette propriété que les réduites ont reçu le nom de fractions convergentes. On voit que, si a ai , a2, ^3, ... désignent les quotients incomplets obtenus dans la réduction de x en fraction continue, il est permis

d'écrire

ar = a -4-

puisque Texpression contenue dans le second membre

de cette formule tend vers une limite égale à Xf quand le

nombre qui marque le rang du quotient auquel on la

P suppose terminée augmente indéfiniment. La rédaite p-

a pour valeur

Q. VQî qJ VQ, qJ \Qn Q«-,A

et par suite la quantité x est la limite de la série convergente

QiQî QtQ» •• Qn-iQn